79. Равносторонний треугольник

Из бумажного квадрата сгибанием получить равносторонний треугольник.

Решение. Возьмем на средней линии квадрата такую точку, чтобы расстояния ее от двух вершин квадрата были равны его стороне, и сделаем сгибы, как выше. В таком случае получим равносторонний треугольник (рис. 71).

Рис. 71

Примечание. Требуемую точку на средней линии квадрата найти легко. Для этого надо над АА' (рис. 71) поворачивать основание АС около одного из его концов, А, пока другой его конец, С, не упадет на среднюю линию в В.

Сложим равносторонний треугольник, накладывая каждую из сторон на основание. Мы получим таким образом три высоты этого треугольника: АА', ВВ', СС' (рис.72).

Рис. 72

Вот некоторые свойства равностороннего треугольника, которые можно вывести из рассмотрения полученной нами фигуры на рис. 72.

Каждая из высот разделяет треугольник на два совпадающих при наложении прямоугольных треугольника. Они делят стороны пополам и перпендикулярны к ним.

Они проходят через одну общую точку.

Пусть высоты АА' и СС' встречаются в О. Проведем ВО и продолжим ее до встречи с АС в В'. Теперь докажем, что ВВ' есть третья высота. Из треугольников СОВ и BOA' находим, что |ОС'| = |ОA'|, и убеждаемся, что углы ОВС и А'ВО равны. Затем, из треугольников АВ'В и СВ'В следует, что углы АВ'В и ВВ'С равны, т. е. каждый из них есть прямой угол. Значит, ВВ' есть высота равностороннего треугольника ABC. Она также делит АС пополам в В'.

Можно, аналогично предыдущему, показать, что ОА, ОВ и ОС равны и что также равны ОА' ОВ' и ОС'.

Поэтому из О, как центра, можно описать окружности, которые пройдут соответственно через A, В и С и через A', В' и С'. Последний круг касается сторон треугольника.

Равносторонний треугольник ABC делится на шесть совпадающих при наложении прямоугольных треугольников, углы которых при точке О равны, и на три таких совпадающих при наложении симметричных четырехугольника, что около них можно описать окружности.

Площадь треугольника АОС равна удвоенной площади треугольника А'ОС; отсюда |AО|=2|ОA'|. Аналогично, |BО| = 2|ОB'| и |СО| = 2|ОС'|. Значит, радиус круга, описанного около треугольника ABC, вдвое больше радиуса вписанного круга.

Прямой угол А квадрата делится прямыми АО и АС на три равные части. Угол ВАС равен ²/₃ прямого угла. Углы САО и ОАВ равны ¹/₃ прямого угла каждый. То же относится к углам при В и С.

Шесть углов при О равны ²/₃ прямого каждый.

Перегните бумагу по линиям А'В', В'С и С'А' (рис. 73). В таком случае А'В'С есть равносторонний треугольник. Его площадь равна ¹/₄ площади треугольника ABC. A'B', B'C', С'А' параллельны соответственно АВ, ВС, СА и равны половинам их, АС'А'В' есть ромб, С'ВА'В' и СВ'СА' - также. А'В', В'С, С'А' делят соответственные высоты пополам.

Рис. 73