40. Сумма нечетных чисел

Посмотрите на таблицу:

Может быть, эта закономерность (сумма, подряд стоящих нечетных чисел, начиная с 1, равна квадрату их числа) сохраняется и дальше. Как это проверить?

Решение. Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n². Это можно сделать различными способами. Мы предпочли геометрический.

Возьмем квадрат из n² клеток и заштрихуем клетки так, как это сделано на рис. 45 для n = 6. Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй - из 3 клеток, третий - из 5 и так далее, последний n-й участок состоит из 2n-1

клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно

Рис. 45

Это убеждает нас, что нужное равенство выполнено всегда.

С помощью геометрических представлений можно вычислять и многие другие суммы.