39. Сумма натуральных чисел

Найти сумму п первых натуральных чисел. Решение. С частными случаями этой задачи мы уже встречались в предыдущих задачах. Представим теперь идею решения геометрически. Возьмем прямоугольник; боковую сторону его разделим на n равных частей, а основание на n+1 частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Получим сетку, разбивающую его на n(n+1) маленьких равных прямоугольников (рис. 44).

Рис. 44

Рисунок выполнен для случая n = 8. Заштрихуем теперь клетки так, как показано на рисунке. Число заштрихованных клеток выразится суммой

Но и количество белых клеток, если считать их по столбцам справа налево, равно тому же числу. Значит,

откуда и получаем ответ: