41. Найти число

Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту его последнюю цифру переставить на первое место, то число удвоится. Найти это число.

Решение. Так как при перенесении цифры 2 на первое место число удваивается, то предпоследняя цифра его должна быть 4(2*2 = 4), предшествующая ей должна быть 8(2*4 == 8), перед ней 6(8*2 = 16), затем 3(1+2*6= 13), затем 7 (1+2*3 = 7) и так далее. Наше число должно начинаться с 1. Поэтому следует остановиться, когда после удвоения цифры и добавления 1 от цифр предыдущего разряда мы получим 1. Искомое число

105 263 157 894 736 842.

Это одно из чисел, удовлетворяющих условию задачи. Все остальные (их бесконечно много) можно получить, продолжая указанный процесс далее. Легко видеть, что каждое из них будет состоять из повторяющейся несколько раз комбинации цифр, уже найденной нами.