Математизация знаний: проблемы и следствия (По материалам члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова) (Н. И. Карпова)

Математизация знаний: проблемы и следствия

Процесс математизации знаний (именно об этом мы собираемся говорить) начался не сегодня и даже не вчера. Его истоки теряются в античном мире. Геометрия Евклида, алгебра древних арабов, с которыми мы знакомимся еще в школе, оказали серьезное влияние не только на архитектуру и военное дело, на философию и историю. Возникновение на заре новой истории "исчисления бесконечно малых", появившегося почти одновременно в трудах Ньютона и Лейбница, также способствовало развитию других наук. Возможность изучать переменные величины, глубже понимать сущность движения сильно изменили механику и физику. Можно говорить о том, что в истории науки не было столь драматического и решительного поворота, чем этот. Ведь с открытием бесконечно малых на смену "статическому" мировоззрению приходит "динамическое". Возникает понятие функции, связывающей переменные, а вместе с ней и понятие производной. "Поворотным пунктом в математике,- пишет Энгельс,- была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем".

Применительно к механике первой производной становится скорость, а второй - ускорение. Именно расчет ускорений планет Солнечной системы помог Ньютону открыть закон всемирного тяготения. Все эти ускорения оказались направленными к Солнцу и зависимыми от расстояния до него. Далее следует упомянуть "воображаемую геометрию" Лобачевского и построенную Риманом математическую теорию пространства. Следствием этих великих открытий стал тензорный анализ, который послужил базой для создания теории относительности.

Таким образом, все развитие науки подтверждает эту тенденцию - математизацию знаний: и квантовая физика, опирающаяся на функциональный анализ, где вместо переменных величин рассматриваются переменные функции и переменные кривые, и теория управляющих систем, базирующаяся на дискретной математике, и быстродействующие вычислительные машины, несущие в своей сердцевине понятие алгоритма и достижения математической логики, и многое, многое другое. Развитие квантовой физики способствовало пониманию сверхпроводимости и сверхтекучести, созданию квантовой электроники и лазерной техники; а теория управляемых систем, составляющая ядро кибернетики, оказала сильное влияние не только на технику и промышленность, но экономику, биологию, физиологию, психологию и многие другие науки, включая лингвистику и искусствоведение.

И все-таки именно сегодня мы все больше и больше говорим о математизации знаний. Наверное, потому, что процесс этот очень ускорился. По существу, можно говорить уже об интенсивном внедрении математического мышления во всю систему человеческих знаний и деятельности, о глубоком преобразовании этой системы под его действием.

О проблеме математизации наук можно сказать много содержательного. В первую очередь - это выводы, которые уже сегодня можно сделать, учитывая расширение сферы применения математики.

Прежде всего нельзя не отметить, что новый процесс отразился на самой математике, а также характере деятельности работающих в ней ученых. Дело в том, что постановка задач прикладного характера требует весьма глубоких знаний, относящихся и к самой математике и к той области, в которой лежит изучаемая задача. Кроме того, объем знаний, требуемый прикладными задачами, часто превосходит возможности одного человека, поэтому стремительно растет значение коллективных научных исследований. А для них нужны специальные формы организации науки.

Каждый участник коллективной работы должен не только уметь хорошо делать свое дело, но и плодотворно взаимодействовать со своими товарищами. Отсюда совершенно неприменимой оказывается старая формула: каждый человек должен знать все о немногом и понемногу обо всем. Сегодня нужно знать если не все, то весьма многое о том, что относится непосредственно и к твоей профессии, и к смежным областям, с представителями которых предстоит взаимодействовать.

Помня об этих выводах, попытаемся теперь представить себе процесс математизации знаний. Нужно начать с того, что широкое внедрение математической мысли предъявляет новые требования к самим эмпирическим знаниям. Дело в том, что математический подход приводит фактический материал в некоторую цельную систему, а стало быть, гарантирует в определенных рамках достоверность знаний.

Надо оговориться только, что это справедливо при наличии определенных условий: исходный материал должен быть достоверным, объективным и полным. Это, правда, вовсе не исключает знаний описательного характера. Наоборот, тщательное описание эмпирического материала является необходимым этапом построения точной системы знаний. Но субъективность, вкусовщина, а также расплывчатые и неточные описания теряют всякий смысл.

Существует несколько видов математизации материала. В качестве первого отметим подход математической статистики. Она позволяет рациональным образом обобщить эмпирические факты, оценить объем эмпирических работ, а также сопоставить между собой данные равного происхождения. Последнее необходимо для того, чтобы квалифицированно судить об однородности или неоднородности материала, который относится к различным статистическим выборкам. Все эти операции заканчиваются постановкой математической задачи.

Чтобы понять сущность второго вида, вспомним, что очень часто бывает так: одна область науки использует устоявшийся материал, разработанный другой областью. Например, в различных технических науках широко используют механику или электротехнику, а в экспериментальных работах биологического или технического характера представления, относящиеся к области физики или химии.

Этим, разумеется, не исчерпываются все виды математизации. За последнее время очень широкое распространение получил третий вид. Он относится к тем случаям, когда нет сложившихся представлений и новые теоретические концепции приходится вырабатывать одновременно с эмпирическими исследованиями. В таких случаях приходится разрабатывать систему необходимых математических понятий и выяснить те внутренние связи между объектами и явлениями, которые могут составить основу теории.

В связи с этим большое распространение получает аксиоматический метод. Именно он позволяет в отчетливой форме зафиксировать и классы главных объектов, и классы решающих отношений между ними. Здесь приходится пользоваться идеей последовательных приближений, когда сконструированная первая математическая модель исследуется и дополняется до тех пор, пока не получают достаточно точного соответствия между аксиоматической моделью реальной картины и картиной, наблюдаемой в действительности.

Этот путь сейчас широко используется в технических науках, при исследовании проблем экономики и социологии, в вопросах биологии и лингвистики, а также в тех разделах, которые еще несколько десятилетий тому назад казались недоступными для математического изучения. Например, в начале этого века итальянский математик Вольтерра построил простейшие математические модели борьбы за существование. Это были определенные типы функциональных уравнений, которые описывают кинетику сообщества живых существ.

В последние годы эта работа получила новое развитие. В частности, И. П. Полетаев и его сотрудники сумели описать с помощью уравнений аналогичного типа значительно более сложные типы ценозов (т. е. сообществ). В самое последнее время сделаны попытки изучения биологических сообществ с учетом их пространственной неоднородности, что особенно важно, например, при изучении водных сообществ, где распределение живых организмов существенным образом меняется с глубиной. Для таких сообществ написать систему уравнений в первом приближении удается. Правда, возникает необходимость дополнить эмпирический материал, но в общем складывается впечатление, что естественнонаучные представления и эмпирические данные, необходимые для такой математической теории, получить возможно.

Совсем иначе обстоит дело с разработкой более детальной теории сухопутных сообществ. Исследования наткнулись на неожиданное препятствие. Оказалось, что естественнонаучные представления о движении соков в растениях недостаточно полны, чтобы их можно было положить в основу при составлении таких уравнений. После некоторых дебатов математики и биологи пришли к выводу, что этот вопрос должен быть подвергнут детальному лабораторному изучению. Нужно выяснить еще сам эмпирический материал, необходимый для построения математической теории.

Таким образом, выявление неполноты естественнонаучных представлений с помощью математики можно считать полезным ее вкладом в естественные науки. Ведь разработка математических моделей выявляет дисгармонию в развитии эмпирических знаний. Так, изучение структур элементов в таких областях, как физиология, учение об онтогенезе, биогеоценология, а также теория эволюции и учение о биосфере в целом привлекают к себе гораздо больше внимания, чем изучение их функционирования. В то же время для использования на практике существенно именно понимание функционирования структур.

Еще более разительные примеры можно назвать из области организации производства. Математические подходы к ее проблемам нередко показывают, что для целесообразного управления производством оказываются необдимыми такие данные, которыми в действительности ни-о никогда не пользуется. В то же время выясняется, что многие потоки информации, па обеспечение которых затрачивается огромный труд, не оказывает почти никакого влияния на управление производственными процессами.

Детальное математическое моделирование позволило бы выяснить, какие звенья системы управления не нужны и вообще какова более рациональная система управления в целом.

Но это не все. Математизация знаний предъявляет новые требования и непосредственно к научной теории. Напомним, что можно выделить четыре разных их уровня. Первый - это эмпирическое обобщение. Сюда относятся теория эволюции Дарвина, рефлексология Павлова, учение о биосфере Вернадского, хромосомная теория наследственности, которые все вместе составляют теоретическое естествознание. На почве этих общих представлений формируются уже различные математические методы, образующие математическое естествознание.

В свою очередь, в рамках математического естествознания можно выделить тоже три уровня теорий. К первому следует отнести математические модели индивидуальных явлений. Например, математическая теория движения муравьев в окрестности муравейника, математическая теория движения крови в сосудах, математическая модель сердца.

Далее идут математические теории некоторых классов явлений, допускающих единое математическое описание. Изучение ламинарного потока жидкости, изучение магнитного, гравитационного или электростатического полей при помощи гармонических функций; описание тех или иных физических явлений, обладающих определенными свойствами симметрии, а также описание задач типа математической физики на языке функционального анализа. Характерным для этого подхода является то, что сначала строится общая математическая концепция, адекватно описывающая целый класс явлений, и изучаются ее свойства. А потом этот математический язык используется для описания тех классов явлений, где соответствующая концепция приложима.

Наконец, третьим уровнем абстракции в рамках математического естествознания являются такие модели, где формальному описанию подлежат не только свойства изучаемых объектов, но и процедура логического обращения с ними. Это бывает нужно в тех случаях, когда природа вопроса такова, что логические средства оказываются поневоле ограниченными. Изучая функционирование человеческого сознания, мы можем описать отдельные акты, выполняемые сознанием, но мы не можем составить их перечень. Описывая структуру человеческого общества, мы можем описать отдельные его ячейки или отдельные закономерности, которые мы наблюдаем, но не можем составить полного описания всей структуры человеческого общества. В таких случаях нам приходится рассматривать математические модели, в которых формализуется не только изучаемый материал, но и сами процессы его изучения. Другими словами, если предыдущий уровень требовал представлений теоретико-множественного характера, то данный уровень требует представлений логико-алгоритмического характера.

Существенные требования к построению научных теорий предъявляет и сам характер эмпирических знаний, которые приобрело человечество в последние десятилетия. Отличительной их чертой является тот факт, что, изучая определенное природное явление, исследователь вынужден вмешаться в него, нарушить естественный ход. Примеров тому множество. Так, для того чтобы пронаблюдать состояние некоторой частицы, физик-экспериментатор должен ударить ее другой частицей и зафиксировать происшедший эффект. Состояние первой частицы при этом изменяется. В теории относительности приходится считаться не только с системой координат изучаемого объекта, но и с системой координат наблюдателя. А в биологии для изучения процессов, протекающих в клетке, приходится умерщвлять ее и только косвенным образом (рассматривая сохранившиеся структуры) делать заключение о процессах жизнедеятельности.

Еще более разительные явления происходят в сфере изучения человеческого сознания. Наблюдения за его функционированием осложняются тем, что точная передача от одного человека к другому того, что происходит в сознании первого, чрезвычайно затруднена. Чтобы облегчить этот процесс, приходится наблюдать самого себя. В то же время известно, что если человек наблюдает работу своего сознания, то его сознание работает не так, как обычно. То есть получается: изучаемый объект оказывается существенным образом неотделим от процесса его изучения. Пожалуй, в наиболее резкой форме это обстоятельство проявляется в рамках математической логики, которая занимается изучением общих принципов умозаключений и при этом сама пользуется теми же умозаключениями.

Понятно, в таких условиях получение фактического материала и его математическая обработка оказываются в совершенно особом положении. Очень часто получается так, что без хорошей математической модели из фактического материала вообще невозможно извлечь достоверные сведения.

Вышесказанное наводит на мысль о том, что разработка новых областей требует очень больших фактических знаний, относящихся, с одной стороны, к изучаемой области, с другой - к математике, а с третьей - к вычислительной технике. А поскольку сейчас нет людей, которые в равной степени являются специалистами всех трех областей, то совершенно необходимым оказывается тесное взаимодействие представителей разных профессий. Как правило, союзы математиков, инженеров-электронщиков и специалистов области, о которой идет речь, оказываются просто необходимыми.

Надо признаться, что ни система образования, ни система организации науки такой совместной работе не благоприятствуют. Наше высшее образование подготавливает чаще узких специалистов. Это чрезвычайно затрудняет развитие тех направлений, которые требуют взаимодействия разных специальностей.

Но если в области техники это препятствие как-то преодолено, а в области экономики многое делается для его преодоления, то в таких областях науки, как лингвистика, социология, языкознание, история, а до недавнего времени и философия, контакты с математикой развиваются очень плохо. За последнее время в сфере философии происходят значительные сдвиги. Широкие круги философов начинают интересоваться математическим подходом, а среди математиков все больше и больше появляется людей, живо интересующихся проблемами философии.

Нарисованная картина "математизации знаний" неизбежно приводит к некоторым следствиям. Важнейшее из них касается системы народного образования. Общий уровень математических знаний в нашей стране еще очень низок. Например, в курсе средней школы изучение арифметики идет на уровне "во сколько вопросов будем решать задачу?". Сегодня это недопустимо.

Перспективный путь преодоления недостатков в преподавании - в использовании опыта, накопленного в экспериментах. Сейчас мы имеем хорошо разработанные системы преподавания математики. На уровне детских садов детей приучают к языку теории множества и математической логики. Далее, этот язык широко используется во всех предметах школьного курса. Кроме того, в программу младших классов включаются интуитивная геометрия, буквенная символика и решение уравнений.

Классическая геометрия излагается теоретико-множественным языком; ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления идет одновременно с их применением к задачам физики и механики; общее осведомление с учением об алгебраических операциях - с простейшими аксиоматическими системами; основа теории вероятности и статистики преподается на теоретико-множественной основе; наконец, изучаются основы использования электронно-вычислительных машин.

Это тот материал, который должен быть включен во все варианты программ средних школ.

Недалеко то время, когда в общих анкетах демографического характера наряду с вопросом о грамотности будет предлагаться вопрос об умении пользоваться электронными вычислительными машинами. Ведь дети, которые сейчас учатся в школе, будут трудиться в такое время, когда мастер на заводе, а может быть, даже квалифицированный рабочий завода будет обязан повседневно общаться с различного рода автоматами. То, что мы их сейчас к этому не готовим, является недопустимым. По существу, будущее человечества, обороноспособность государства, возможно, и судьба технического прогресса самым непосредственным образом зависят от того, в какой мере широкие массы трудящихся будут в состоянии общаться с электронной автоматикой и вычислительными машинами. При этом задача философии состоит в том, чтобы прогнозировать эту картину и нащупать пути подготовки людей для работы в этих новых условиях.

Если говорить о программе высшей школы, то необходим целый ряд новых профилей образования. Система специальностей сложилась давно. Может быть, по этой причине она плохо соответствует потребностям сегодняшнего дня. Науке и промышленности нужны люди, владеющие не только аналитической геометрией, основами математического анализа, теорией дифференциальных и интегральных уравнений, но и теорией вероятностей, теорией множеств, математической логикой, спектральной теорией линейных операторов, программированием, топологией и многими другими новыми разделами математики. К примеру, в университетах Франции за последнее десятилетие созданы разнообразные факультеты технологического и инженерно-математического профиля, введена новая специальность информатика, связанная с использованием ЭВМ в сфере управления и научной информации, широко преподаются такие разделы математики, как функциональный анализ, топология, теория групп, полей, теория чисел и так далее.

Нужна фундаментальная перестройка и педагогического образования. (Оно должно быть рациональным образом согласовано с теми требованиями, которые приходится предъявлять школьному.) Необходимо повышение уровня математической подготовки в общетехнических высших учебных заведениях, расширение профиля инженерно-исследовательских учебных заведений, непременное введение математики в медицинские, экономические, сельскохозяйственные, биологические, а также гуманитарные высшие учебные заведения.

Нужно прислушаться к мнению американского педагога Поллака, который считает естественным строить курс математики так: "обучать ситуациям", т. е. задавать ситуации, в которых требуется поставить задачу, а потом уже ее решать. Следует наладить систематическую переподготовку учителей по всем возможным каналам и, в частности, устраивать курсы для учителей по телевидению с последующей сдачей экзаменов. Без этого мы обрекаем себя на культурное и техническое отставание, лишаем возможности использовать огромные преимущества, которые предоставляет наша социальная система. Кроме того, мы не должны забывать, что чем большие потенциальные возможности предоставляет для развития общества социальная система, тем большие требования она предъявляет к культурному уровню общества. Недооценка этого обстоятельства является весьма опасной.

Другое следствие математизации знаний - изменение подготовки людей науки, хорошо сформулировал бывший президент Королевского общества С, Хиншехвуд: "Для ученого,- сказал он,- очень важно, хотя и трудно, овладеть искусством формулировать проблемы в терминах математики... Не обязательно быть специалистом по дифференциальным уравнениям, вы можете пойти на консультацию к такому специалисту. Но вы не должны на-деятся, что математик переведет вашу проблему на математический язык. Необходимо с ранних лет развивать умение мыслить о реальных вещах, применяя математическую символику". Многие ученые прошлого обладали этим достоинством. Ярчайший пример - Исаак Ньютон, который не только умел математически формулировать свои идеи, но и, имея дело с формальными истинами, не терял из виду общую картину Вселенной.

Главное требование, которое предъявляет к системе образования проблема подготовки людей науки - индивидуализация обучения. Школа должна быть гибкой. Нужно создать такие условия, чтобы одни, наиболее одаренные люди, оканчивали ее раньше, а другие - позже. Возможности людей ведь различны. И хотя Леонардо да Винчи говорил, что потенциально большинство людей в детском возрасте - гении, раскрываются их возможности неодинаково быстро. Например, один из моих первых учителей, академик Н. Н. Лузин, оказавший огромное влияние на развитие советской математической школы (достаточно сказать, что его учениками были П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, П. С. Новиков), был человеком медленно соображающим. Медленно он и развивался. Плохо успевал в школе, в частности по математике. Один из величайших математиков двадцатого века Д. Гильберт, по признанию многих, производил впечатление человека туповатого, медленно соображающего, с трудом усваивающего мысль собеседника. Иное Эварист Галуа. Будучи очень молодым (по-моему, ему не было еще и двадцати), в ночь перед дуэлью создал основы алгебры.

Наряду с индивидуализацией системы образования (наиболее общим следствием научно-технической революции) следует усилить (об этом мы уже отчасти говорили) общую математическую подготовку. Причем как в школе, так и в вузах и университетах. Здесь уместно вспомнить о программе А. И. Маркушевича. Он ввел в младших классах средней школы основы теории множеств, элементы! математической логики и теории вероятностей и некоторые другие новые математические дисциплины. Это очень расширило кругозор школьников. Комиссия ЮНЕСКО разработала систему обучения детей, в которой очень широко используется весь круг новых математических поняли. Примерно на уровне 10-12 лет дети знакомятся с векторами. Одновременно изучают сложение скоростей, сил, использование векторов в геометрии. Далее, довольно рано изучается систематический курс геометрии на теоретико-множественной основе, несколько позже - аналитическая геометрия, а в возрасте 15-17 лет - дифференциальное и интегральное исчисления, но, конечно, на сильно упрощенной логической основе. Некоторые подобные эксперименты проводятся и в целом ряде школ Советского Союза. В частности в физико-математической школе при Новосибирском университете. Однако эти шаги все еще недостаточно энергичны.

Больше всего новые эксперименты касаются преподавания математики. По-новому следует преподавать и другие предметы. Подрастающее поколение получает большой объем знаний просто из непосредственной жизни. Слушая радио, смотря телевизор, участвуя в разговорах взрослых, они узнают очень многое из того, что происходит в технике и вообще на белом свете. Нередко в школьном курсе излагают упрощенно и подчас в выхолощенном виде то, что школьники давным-давно знают из повседневной жизни.

Если обратиться к вузам и университетам, то здесь всех тревожит один вопрос: как уравновесить специальную и общую подготовку студентов? Думается, двух мнений здесь не может быть. Современный специалист, особенно если он закончил математический, механико-математический или математико-механический факультет, должен иметь представление о новых и новейших областях математики, понимать их язык, владеть соответствующим математическим аппаратом. Для этого, по всей видимости, разумно сократить лекционный материал по аналитической и дифференциальной геометрии и другим традиционным курсам. Однако здесь очень опасно перестараться, сделать программы узкими, чрезмерно практическими. В связи с этим в заключение хочется привести слова Френсиса Бэкона. "Прежде всего меня удивляет,- писал он около четырех столетий назад,- что столь многие замечательные учебные заведения Европы посвящены подготовке к профессии - и ни одно из них не предназначается изучению наук и искусств вообще. Ибо если люди полагают, что обучение должно направляться детальностью, то они правы, но при этом они впадают в ошибку, описанную в старой басне, Части тела сочли желудок бездеятельным, ибо он не выполняет ни двигательных функций, как конечности, ни мыслительных, как голова; тем не менее именно желудок переваривает пищу и распределяет ее для всех остальных. Точно так же, если полагают, что философия и универсальность - пустые занятия, то не принимают во внимание, что они обслуживают и поддерживают все остальные профессии. И я считаю основным препятствием прогрессу знания то, что фундаментальные науки изучаются только в отрывках, ибо, если вы захотите, чтобы дерево приносило больше плодов, чем прежде, вам нечего делать с его ветвями, а нужно взрыхлить землю и подложить новую почву под корни".