Некоторые свойства целых чисел

В начальной арифметике изучаются некоторые свойства простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на единицу и на самого себя. Составные числа, делящиеся, кроме единицы и самих себя, еще хоть на одно другое число, разлагаются на произведение простых чисел единственным способом.

Таким образом, простые числа являются как бы теми кирпичами (атомами), из которых составляются все числа. Отсюда понятен интерес к простым числам.

Отметим попутно, что единица не является ни простым, ни состарным числом, так как она имеет только одного делителя.

Греческий математик Евклид (около 300 года до нашего летосчисления) доказал, что простых чисел неограниченное множество, что не существует наибольшего простого числа. Около ста лет после него другой греческий математик Эратосфен дал способ ("решето Эратосфена"), которым можно из чисел натурального ряда выделить простые числа. И доказательство Евклида и описание "решета Эратосфена" даются в учебниках.

"Решето Эратосфена" в настоящее время доведено до 10 миллионов, и имеются таблицы всех простых чисел между 1 и 10000000.

За пределами этой таблицы известны простые числа, но это числа определенного вида, например числа вида 2ⁿ - 1 или 2ⁿ + 1. Так, например, математик-самоучка И. М. Первушин (1883) доказал, что число

2⁶¹ - 1 = 2 305 843 009 213 693 951 - число простое.

Наибольшее известное в настоящее время простое число 2¹²⁷ - 1 =

= 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.

И. М. Первушин, кроме того, доказал (1878), что составным является число

2²²⁵ + 1, так как делится на 167 772 161

Число 2²²⁵ + 1 содержит 2 525 223 цифры. Если бы его напечатать обычным шрифтом, потребовалась бы строка длиною в 5 километров или книга обыкновенного формата в 1000 страниц. Результаты Первушина были проверены в Петербургской и Парижской академиях наук и подтверждены.

Таблица простых чисел между 1 и 10 000 000 показывает, что простые числа по мере удаления от начала натурального ряда встречаются в нем всё реже и реже, но внимательное рассмотрение деталей таблицы обнаруживает большие неправильности в распределении простых чисел.

Следующие таблицы дают некоторое общее представление об этих неправильностях.

Обозначим буквою х количество простых чисел, меньших, чем n, а буквою у - число простых чисел рассматриваемого промежутка натурального ряда.

Неравномерность распределения и убывания простых чисел ясно видна из третьих столбцов таблиц.

Пестрота картины распределения простых чисел увеличится еще более, если отметим, что существуют пары простых чисел, которые в натуральном ряду отделены друг от друга только одним числом (такие простые числа называются "близнецами"), как, например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 или 10 016 957 и 10 016 959 (самая большая известная пара "близнецов"); с другой стороны, существуют пары последовательных простых чисел, между которыми в натуральном ряду имеется много составных чисел. Так, например, все 153 последовательных числа натурального ряда от 4 652 354 до 4 652 506 являются составными числами.

Гениальный русский математик Чебышев П.Л. (1821-1894)

Самые выдающиеся математики стремились разгадать загадку распределения простых чисел. Они искали формул, с помощью которых можно было бы хотя приближенно определить число простых чисел, не превосходящих определенного натурального числа. Иными словами, они искали формул для решения вопроса: сколько простых чисел имеется в натуральном ряду чисел от 1 до 1000, от 1 до 100 000, от 1 до 1000 000 и т. д. В решении этого труднейшего вопроса математики единственный крупный результат принадлежит Пафнутию Львовичу Чебышеву, одному из самых гениальных математиков не только в России, но и во всем мире.