11. Пропорции музыкальной гаммы

Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет еще существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут все еще служить источником новых музыкальных мыслей.

П. Чайковский

Если окинуть взглядом 2500 лет истории европейской музыки, от Пифагора и до наших дней, то слова П. И. Чайковского, вынесенные в эпиграф, обретают особый смысл. В самом деле, каких только переворотов в мировоззрении, сознании и бытии человечества не произошло за это время! Но основа музыки - музыкальная гамма - остается практически неизменной. Музыкальная гамма даже в наш бурный век представляется незыблемым утесом в клокочущем море новых идей и теорий.

Но в чем причина такого завидного долголетия музыкальной гаммы? Почему из всего обилия звуков с частотой от 16 до 20000 Гц, которые способно воспринимать наше ухо (в области до 4000 Гц мы отличаем звуки, отстоящие друг от друга по

частоте всего на одно колебание в секунду, т. е. почти 4000 звуков!), в музыке используется всего 7 октав по 12 звуков, т. е. всего 84 звука^*?

^* (Для педантов уточним, что концертный рояль имеет до 90 клавиш (звуков). )

Объяснить, почему музыкальный звукоряд содержит именно 7 октав, нетрудно. В самом деле, возьмем самую нижнюю ноту звукоряда - ля - субконтроктавы, частота которой равна 27,5 Гц, т. е. находится у нижней границы слышимости звуков. (Подходить ближе к границе слышимости не стоит, так как у каждого человека она своя и, значит, некоторые люди не услышат более низкие звуки.) Рассмотрим 8 октавных повторений этой ноты:

^* (Частота ноты ля первой октавы - 440 Гц - является эталонной при настройке фортепиано и проверяется по камертону. Относительно этой ноты сохранилось интересное предание: в Древнем Египте около города Фивы находилась огромная статуя эфиопского Царя Мемнона. Статуя была повреждена во время землетрясения и каждое утро на рассвете якобы издавала звук ля,, который считался голосом Мемнона. Фивские музыканты приходили к статуе настраивать свои инструменты. К сожалению, в начале нашей эры голос Мемнона звучать перестал и проверить правоту предания невозможно.)

Легко видеть, что восьмая октава выходит далеко за границу четкой различимости высоких звуков (4000 Гц), и, таким образом, в диапазоне до 4000 Гц укладывается чуть более 7 октав. Выходить же за границу 4000 Гц нет смысла, так как звуки там плохо различаются по высоте и мелодия будет теряться.

Итак, в диапазоне от 16 до 4000 Гц укладывается чуть более 7 октав. Октав-ные звуки воспринимаются как подобные, родственные (это объясняется, как мы уже знаем, совпадением большого числа их гармоник) и служат своего рода масштабными метками в музыкальной шкале. Следовательно, построение музыкальной шкалы сводится к искусному делению октавы на составные части.

Почему октава разделена именно на 12 частей, мы уже объяснили в предыдущей главе. Как показала история развития музыки, только при таком делении октавы достигается та "строгая соразмеренная гармония всех частей, объединяемых тем, чему они принадлежат,- такая, что ни прибавить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав хуже". Эти слова, как мы знаем (с. 17), являются определением красоты по Альберти. Красота же вечна. Таким образом, именно в пропорциональном гармоничном делении октавы на составные части и заключается источник красоты музыкальной гаммы, а значит, и секрет ее трехтысячелетнего долголетия.

Мы уже отмечали некоторые пропорции музыкальной гаммы. Мы также знаем, что пропорциональность и симметрия являются объективными признаками красоты. Однако чем ближе всматриваешься в музыкальную гамму, тем полнее раскрываются все новые закономерности ее пропорционального строения, а значит, и объективные законы ее красоты. Остановимся подробнее на некоторых из этих закономерностей.

Рассмотрим вначале равномерно-темперированную 12-ступенную хроматическую гамму (9.1), имеющую наиболее простое строение:

(11.1)

Легко видеть, что ступени равномерно-темперированной гаммы (11.1) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Тогда

или (11.2)

Следовательно, каждая внутренняя ступень гаммы (11.1) является средним геометрическим своих соседей. Назовем это локальной геометрической симметрией с коэффициентом симметрии (отношением входящих в пропорцию членов) .

Кроме того, гамма (11.1) обладает глобальной геометрической симметрией, т. е. произведения членов (11.1), равноудаленных от концов, равны квадрату среднего члена b₆:

или откуда имеем

(11.3)

Таким образом, седьмая ступень (11.1) b₆=, так называемый тритон, равный увеличенной кварте или уменьшенной квинте, является средним геометрическим любой пары равноудаленных от концов ступеней. Назовем тритон b₆=, центром глобальной геометрической симметрии гаммы (11.1). Глобальная геометрическая симметрия связывает интервал и его обращение через интервальный коэффициент октавы.

Если прологарифмировать (11.1) - (11.3) по основанию 2, то эти соотношения примут наиболее простой вид

(11.4)

(11.5)

(11.6)

Здесь a_k = log₂b_k (k = 0, l, 2, ..., 12). Равенства (11.4) - (11.6) выражают тот простой факт, что логарифмическая октава [0; 1] разбита на 12 равных частей. Поэтому каждые три соседних члена (11.4) симметричны относительно среднего из них и отстоят от него на расстояние 1/12 (локальная симметрия), а середина логарифмической октавы а₆=1/2 является центром ее глобальной симметрии, т. е. для каждого а_n слева от а₆ существует симметричный относительно а₆ член a_12-n справа от а₆, так что расстояния a_12-n - а₆ и а₆ - а_n равны (n = 0, 1, 2, ..., 5).

Из равенств (11.1-3) или (11.4-6) очевидно, что при любых сдвигах (геометрических для (11.1) или арифметических для (11.4) структура равномерно-темперированной гаммы не нарушается, т. е. равномерно-темперированная гамма допускает модуляции в любые тональности. Эти возможности равномерной темперации, как отмечалось в главе 9, блестяще проиллюстрировал И. С. Бах в своем "Хорошо темперированном клавире".

Рассмотрим теперь лидийскую гамму пифагорова строя, или натуральный мажор (8.1), взяв в качестве дополнительных ступеней пониженные звуки (ре-бемоль, ми-бемоль, соль-бемоль, ля-бемоль, си-бемоль) и один повышенный звук (фа-диез) согласно (8.2):

(11.7)

Структура пифагоровой гаммы (11.7) значительно сложнее. Однако при ближайшем рассмотрении можно обнаружить, что пифагорова гамма состоит из трех геометрических прогрессий, переплетенных между собой, подобно Платонову гептахорду (7.1), причем все три прогрессии имеют одинаковый знаменатель :

Для этих прогрессий справедливы соотношения

Учитывая расположение членов прогрессии в (11.7), приходим к выводу, что пифагорова гамма, также обладает глобальной геометрической симметрией. Следовательно, является центром глобальной симметрии пифагоровой гаммы.

Но не является ступенью гаммы (11.7). Кроме того, в (11.7) осталась одна пара энгармонически неравных звуков соль-бемоль и фа-диез. Если в качестве энгармонически равного звука для соль-бемоль и фа-диез взять их среднее геометрическое , то оно оказывается в точности равным центру глобальной симметрии . Таким образом, мы получим 12-ступенную хроматическую пифагорову гамму с центром глобальной симметрии на седьмой ступени:

(11.8)

Легко проверить, что в гамме (11.8) можно взять чистые квинты на всех ступенях, кроме седьмой (), которая даст "волчью" квинту. Кроме того, сам интервал тритона (), как мы знаем, является резким диссонансом. Оба этих качества составили тритону печальную славу. В средние века тритон называли "дьяволом в музыке", и до XVI века употреблять его в церковных песнопениях строго запрещалось.

Рассмотрим теперь диатоническую 7-ступенную гамму чистого строя (8.7):

(11.9)

Мы знаем, что гамма чистого строя является наиболее благозвучной, а ее интервальные коэффициенты имеют самый простой вид. Но еще удивительнее то, что гамма (11.9) является и самой пропорциональной. В самом деле, среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и октавы (2) дают нам квинту и кварту:

Среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона и квинты образуют большую и малую терции:

Наконец, взяв среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона и большой терции, мы получим оба интервала тона чистого строя:

Таким образом, все главные интервалы чистого строя получаются как последовательная цепь средних пропорциональных, началом которой является пропорциональное деление октавы на квинту и кварту.

Перейдем к хроматической гамме чистого строя. Для построения дополнительных ступеней хроматической гаммы отложим полутон чистого строя (16/15) вверх от 1, 2, 4, 5 и 6-й ступеней диатонической гаммы (11.9), т. е. умножим их интервальные коэффициенты на 16/15, а также из соображений симметрии отложим полутон вниз от 5-й ступени. В результате получим 13-ступенную гамму:

Интервальные коэффициенты 45/32 и 64/45 можно заменить на более простые 7/5 и 10/7, которые приближенно им равны и также обладают геометрической симметрией относительно . В результате входящие в хроматическую гамму чистого строя интервальные коэффициенты выразятся с помощью отношения натуральных чисел, не превосходящих 16, которые можно трактовать как частоты первых 16 гармоник основного тона (1), или первые 16 ступеней натурального звукоряда:

(11.10)

Заметим, что, как и в диатонической гамме (11.9), интервальные коэффициенты хроматической гаммы (11.10) не содержат 11-й и 13-й обертоны, а печально известный "фальшивый" 7-й обертон входит только в два коэффициента (7/5 = 1,4 и 10/7≈1,428), которые приближенно равны интервальному коэффициенту тритона чья дурная слава известна в музыке не менее.

Взяв, как и в (11.8), в качестве энгармонически равного звука для соль-бемоль (7/5) и фа-диез (10/7) их среднее геометрическое , мы придем к 12-ступенной хроматической гамме чистого строя интервальные коэффициенты которой имеют вид

(11.11)

На этот раз интервальные коэффициенты в (11.11) не образуют никаких прогрессий. Однако, нетрудно обнаружить, что гамма (11.11) также обладает глобальной геометрической симметрией относительно , т. е.

Гаммы (11.8) и (11.11) не обладают локальной геометрической симметрией, поэтому не допускают сдвигов без искажений. Последнее означает, что модуляции в другие тональности в пифагоровом и чистом строе затруднены.

Подведем некоторые итоги. Прежде всего мы видим, что музыкальные гаммы представляют собой строго упорядоченную совокупность звуков, отобранную из всего многообразия звуков, которые способно воспринимать и различать человеческое ухо. Именно закономерное построение гаммы, а следовательно и лада, позволяет на ее основе составлять и более сложные музыкальные конструкции, также носящие закономерный характер и называемые мелодией. Можно сказать, что гамма есть основная мелодия лада.

Отметим еще одно важное обстоятельство. В каждой из рассмотренных нами хроматических гамм: равномерно-темперированной (11.1), пифагоровой (11.8) и чистого строя (11.11) - точно выполнен один тип симметрии и только приблизительно другой. Так, равномерно-темперированная гамма (11.1) обладает локальной и глобальной геометрической симметрией, но в ней только приблизительно соблюдены пропорции деления октавы на квинту и кварту, большую и малую терции и т. д. Пифагорова гамма и гамма чистого строя обладают глобальной геометрической симметрией, но локальная симметрия в них выполнена только приблизительно. Зато в обеих гаммах точно соблюдено условие пропорционального деления октавы на квинту и кварту, а гамма чистого строя обладает еще двумя парами пропорций деления, что, видимо, и делает ее наиболее мелодичной из всех трех типов гамм.

Таким образом, в строении гаммы наряду с точной симметрией мы находим и приблизительную симметрию. (О загадках приблизительной симметрии и ее роли в науке и искусстве мы уже вели речь в главе 4.) Следовательно, в законах построения музыкальной гаммы отражается противоборство симметрии и асимметрии, олицетворяющих покой и движение, закономерное и случайное, вечное и сиюминутное. Именно диалектическое единство двух противоположных начал - симметрии и асимметрии - наполняет гамму подлинной гармонией, является источником вечной красоты и юного изящества музыкальной гаммы.

Последние три десятилетия поисками математических закономерностей в музыке усиленно занимается московский композитор М. А. Марутаев. Еще в студенческие годы М. Марутаева занимала мысль найти объяснение принципам музыкальной формы и ладогармонического языка. Результаты многолетних изысканий М. Марутаева легли в основу развитой им теории качественной симметрии чисел, позволившей автору определить меру нарушения симметрии в музыкальной гамме.

На основании теории качественной симметрии чисел Марутаев строит концепцию "универсальной гармонии", т. е., проще говоря, пытается решить одну из вечных загадок: найти "формулу красоты", "универсальную гармонию", которую искали еще древние греки и которая связала бы воедино законы природы и законы искусства.

К сожалению, и на сегодня это фантастическая задача, ибо человечеству пока не известны ни единые законы природы, ни тем более законы искусства.

Вот почему у концепции Марутаева много как пылких сторонников, так и ярых противников. Мы не будем останавливаться на концепции Марутаева, которая во многом спорна, а местами и просто содержит математические огрехи (но у кого хватит смелости объявить себя специалистом и в науке, и в искусстве?!), а отметим лишь некоторые любопытные факты, установленные Марутаевым.

Вновь обратимся к гаммам. Прежде всего заметим, что, хотя мы все время говорили о 12-ступенных хроматических гаммах, мы везде фактически включали в рассмотрение 13-ю ступень (октавное повторение основного тона), которая на самом деле является 1-й ступенью следующей октавы. Если в гаммах (11.1), (11.8) и (11.11) октавное повторение основного тона не рассматривать, то получается действительно 12-ступенные музыкальные ряды, которые Марутаев называет качественными музыкальными рядами, поскольку они состоят из оригинальных качеств:

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Легко видеть, что качественная равномерно-темперированная гамма (11.12) сохраняет свойство глобальной геометрической симметрии, центр которой сместился из точки ≈1,41 в точку 2^11/24≈1,37:

А вот для качественных гамм пифагорова и чистого строя глобальная геометрическая симметрия нарушится и будет выполняться только приблизительно. В самом деле, вычисляя среднее геометрическое для равноудаленных от концов членов ряда (11.13)

и ряда (11.14)

мы видим, что эти числа слегка различаются, однако их среднее арифметическое с точностью до 5 знаков совпадает между собой и с точностью до 4 знаков - 2^11/24

Итак, число 1,37 является центром глобальной геометрической симметрии (точной для (11.12) и приблизительной для (11.13) и (11.14)) 12-ступенных музыкальных гамм. Далее, Марутаев напоминает, что в ботанике известен идеальный угол расхождения листьев, равный 137°30'. Это математически рассчитанный угол, на который должны поворачиваться листья при их винтовом расположении вдоль стебля, так чтобы получать наибольшее количество вертикально падающего света. Удивительным оказывается и тот факт, что идеальный угол получается при двух последовательных делениях по золотому сечению угла 360°.

Особую роль играет число 137 и в физике, где оно является безразмерной комбинацией фундаментальных постоянных природы. Вот что по поводу этого числа пишет один из крупнейших современных физиков, лауреат Нобелевской премии англичанин Поль Дирак, возглавлявший в 60-е гг. XX века в Кембридже знаменитую лукасовскую кафедру - ту самую, которую в 60-е гг. XVII века профессор Исаак Барроу уступил своему 26-летнему ученику Исааку Ньютону: "В природе существует несколько фундаментальных констант: заряд электрона (е), постоянная Планка, деленная на 2π(=h/2π), и скорость света (с). Из этих фундаментальных констант можно вывести число, которое не обладает размерностью: с/е². На основании экспериментальных данных установлено, что это число имеет величину 137 или весьма близкую к 137. Далее, нам неизвестно, почему оно имеет именно это значение, а не какое-нибудь иное. Для объяснения этого факта выдвигались различные идеи, однако никакой приемлемой теории не существует. Все же можно быть вполне уверенным в том, что физики когда-нибудь решат эту проблему и объяснят, почему это число имеет именно такое значение. Возможно, создадут такую физическую теорию, которая будет работать, если *с/е² равно 137, и не будет работать, если оно имеет любое другое значение".

Еще один пример из физики. При распаде урана образуются осколки неравной массы. Кривая распределения осколков по массам имеет два максимума при массовых числах порядка 102 и 140 (это наиболее вероятные массовые числа осколков при распаде урана). Взяв отношение этих максимумов, имеем 140/102≈1,37.

Наконец, Марутаев приводит многочисленные примеры анализа музыкальных произведений по их метрическим параметрам, в которых встречается число 1,37. Рассматриваются сонатные или трехчастные формы. Протяженность музыкального произведения во времени можно характеризовать, например, числом восьмых долей или числом тактов, если размеры тактов (т. е. число восьмых долей в такте) не изменяются. Тогда протяженность трехчастной формы можно представить в виде Т = а + b + с, где а, b, с - числа тактов (восьмых долей) в экспозиции, разработке (средней части) и репризе соответственно. Оказалось, что во многих известных произведениях выдающихся композиторов: Моцарта (Соната № 12, ч. 1), Бетховена (соната № 14 "Лунная"), Дебюсси ("Детский уголок", пьеса № 1), Шостаковича (Фуга № 1, оп. 87) - имеет место соотношение

Так что же это такое: открытие "универсальной гармонии" или игра чисел? Почти наверняка - второе. Однако не нужно спешить обвинять автора в числовых спекуляциях. Вспомним кружочки противоположного цвета в мудром символе Ин-Ян: каждое доброе дело содержит крупицу зла и даже зло несет в себе частицу доброты. В нашем случае мудрый древнекитайский символ говорит: даже неправильная научная теория является шагом вперед на пути к истине.

Не нужно забывать' и исторический пример Пифагора, которого со всех сторон и во все времена обвиняли в числовых спекуляциях, но тем не менее сегодня общепризнано, что закон целочисленных отношений для консонансов является первым физическим законом, получившим математическое описание. Исследования Марутаева, безусловно, продвигают нас хотя бы на шаг вперед на трудном пути постижения математических тайн музыки. Впрочем, так их оценивает и сам автор. Что же касается "универсальной гармонии", то она представляется нам столь же непостижимой, как "абсолютная истина" или "перпетуум-мобиле".