§ 2. Динамическая меиотраслевая модель с переменными матрицами

2.1. Формулировка модели и результаты

Рассмотрим модель - частный случай модели , когда технологические множества имеют вид: , где - неотрицательная квадратная матрица размерности n*n, элементы которой интерпретируются как коэффициенты затрат продукции i-й отрасли на выпуск единицы продукции j-й отрасли в периоде t. При этом есть вектор продукции, затрачиваемой на вектор выпуска y в периоде t + 1, эти затраты покрываются за счёт выпуска х в предыдущем периоде и не должны превосходить его.

Таким образом, траектория в рассматриваемой модели является допустимой, если и только если выполняется

(2.1)

Модель является упрощённым вариантом модели Неймана-Леонтьева - одной из первых, для которых (в стационарном случае: ) была доказана теорема о магистрали /32/. Б работе /28/ свойство магистральности было доказано для рассматриваемой здесь модели с изменяющимися матрицами при условии кх равномерной ограниченности, формулируемом ниже.

А.2.1. найдутся матрицы , размерности , причем - примитивная^*, такие что для t = 1,2,... справедливо

^* (См. /3, глава XIII/.)

Известно /3, глава XIII/, что найдётся натуральное r, такое что . Обозначим через минимальный элемент матрицы , через - максимальный элемент матрицы

Везде далее в этом параграфе будем считать предположение А.2.1 выполненным.

Легко видеть, что модель удовлетворяет всем условиям, наложенным в § 1 на модель , кроме условий равномерной выпуклости А.1.4. В противоположность этому условию технологические множества Z_t в модели являются многогранными конусами. Однако при выполнении предположения А.2.1 здесь также справедливо утверждение о приближённой оптимальности скользящего планирования, аналогичное теореме 1.1.

Теорема 2.1.

Для любого ε > 0 существует натуральное Т(ε), такое что для всякого скользящего плана с горизонтом Т₀ ≥ Т(ε) и начальным состоянием х(0) > 0 и любой оптимальной - траектории выполняется

(2.2)

для

Замечание. Поскольку умножение матрицы А_t на скаляр не повлияет на соотношения координат векторов оптимальных траекторий, то утверждение теоремы сохранит силу, если предположение А.2.1 видоизменить следующим образом: , где q(t) - числовая функция с положительными значениями (функция масштаба).

Доказательство теоремы 2.1 помещено в § 2.2. Общая идея доказательства та же, что и в § 1. Оно также основано на теореме о магистрали (доказываемой здесь с помощью той же техники, что и в /28/) и использует понятие эффективного функционала, причем в данном случае эффективные функционалы удаётся аналитически выразить через равновесные векторы выпуска.

Введём следующие обозначения - произведение матриц, где N - натуральное число; С(t, N) - конус, состоящий из векторов вида , где

Известно /20/, что если - проективная метрика в - матрица размерности мха с положительными элементами, то оператор А является сжимающим в проективной метрике в , т.е. найдётся константа , такая что для любых . Кроме того, известно, чтд величина конечна. Исходя из этих фактов, в /29/ для проективной метрики вида при выполнении предположения А.2.1, доказано следующее утверждение.

Лемма 2.1. Существуют положительные константы ν > 0 и C, для которых справедливо для любых - целая часть числа.

Отметим, что этот результат может быть применён при доказательстве утверждений о близости между векторами в угловой метрике, поскольку имеет место

Лемма 2.2.^* Пусть . Тогда выполняется . Из леммы 2.1, в частности, следует, что для любого номера предел убывающей последовательности вложенных конусов является лучом с вершиной в нуле, лежащим в .

^* (Доказательства этого и всех последующих утверждений параграфа приведены в § 2.3.)

Лемма 2.3. Для любого существует единственная последовательность , такая что . При этом найдётся такое положительное число c, что

(2.3)

Для удобства будем далее считать, что . Очевидно, является допустимой траекторией.

Возьмём n-мерный вектор-строку и рассмотрим последовательность . Поскольку , то для любого допустимого (в смысле выполнения (2.1)) процесса имеет место . При этом .

Обозначим . Ясно, что последовательности удовлетворяют (1.2) - (1.5), т.е. образуют разновесную систему. Нетрудно доказать, что последовательность ограничена сверху и снизу некоторыми положительными константами (, соответственно). Действительно, в силу А.2.1 имеем:

1) , откуда , так что

(2.4)

2) , следовательно, , откуда в силу (2.4) . Итак .

Следовательно, если заменить модель эквивалентной ей , где матрица А_t заменяется на , то если положить , то

Отсюда и из рассуждения в примечании к § 1.1 следует, что, не умаляя общности, можно считать α_t = 1 для t = 0,1,... и тем самым

Справедливо утверждение, аналогичное лемме 1.2:

Лемма 2.4. а также его следствие, в доказательстве которого в § 1 предположение А.1.4 о равномерной выпуклости не использовалось:

(2.5)

Положим для любого

(2.6)

Заметим, что тогда и только тогда, когда х > 0. Легко видеть, что каждый функционал , задаваемый формулой (2.6), положительно однороден, вогнут, непрерывен и монотонен.

Теорема 2.2.

Пусть - функционалы,запзглые формулой (2.6), тогда справедливы следующие утверждения:

1°. Последовательность функционалов является эффективной (см. определение 5).

2°. Для любых выполняется

(2.7)

3°. - траектория - является оптимальной тогда и только тогда, когда на ней в каждом периоде t функционал q_t достигает условного максимума вида (2.7), т. е.

Кроме того, если оптимальна, то для (где r - минимальный показатель, такой что ) выполняется

4⁰. Функционалы равностепенно липшицевы с константой ¹/_с, где с - величина из леммы 2.1,т.е. для любых имеет место

для t = 0,1,... .

Лемма 2.5. Пусть - оптимальная - траектория, , тогда для выполняется

Из леммы 2.3, определения последовательности и лемм 2.1 и 2.2 непосредственно следует утверждение, которое можно назвать теоремой о магистрали.

Теорема 2.3. Для любого ε > 0 найдётся натуральное l(ε), такое что если , то для всякой оптимальной траектории , где выполняется

где

Заметил, чтo доказательства следствия 1.1 и предложения 1.2 в § 1 сохраняют силу и в данном случае, тем самым имеет место

Следствие 2.1. Для любого δ > 0 существует такое натуральное , что для всякой оптимальной траектории , где выполняется

для

Отсюда, согласно определению 4 и так как для любого допустимого процесса (x,y) выполняется , легко получить

Следствие 2.2. Для любого , натурального N всякого скользящего плана с горизонтом где T₀(⋅) - из следствия 2.1, выполняется для любых