Постройте

678. Два поселка А и В расположены по разные стороны и на разных расстояниях от берегов реки. Где следует устроить переходный мост через речку, чтобы он одинаково отстоял от обоих поселков? (Берега реки считайте параллельными прямыми.)

679. На одном и том же берегу реки, на разных расстояниях от нее, расположены два села А и В. Где следует построить мост через реку, чтобы он отстоял от этих сел на одном и том же расстоянии?

680. Дан угол в 36°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99°?

681. Дан угол в 54°. Как с помощью циркуля и линейки разделить его на три равных угла?

682. Дан угол в 19°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 1°?

683. Постройте треугольник со сторонами а, b и с по трем данным отрезкам а + b, b + с и а + с.

684. Дан острый угол ВАС и на одной из его сторон точка М. Постройте на этой же стороне угла такую точку N, которая была бы одинаково удалена от точки М и от другой стороны угла.

685. Постройте ромб по диагонали и его высоте.

686. Дан угол и точка вне его. Постройте прямую, проходящую через данную точку и отсекающую от угла треугольник данного периметра.

687. Постройте множество центров всех окружностей, каждая из которых касается двух данных концентрических окружностей, имеющих радиусы r₁ и r₂ (r₁ > r₂).

688. Даны две параллельные прямые и между ними окружность. Постройте окружности, касающиеся данных параллельных прямых и данной окружности.

689. Одно плечо шлагбаума имеет длину 4 м, другое - 1м. На сколько поднимется конец длинного плеча, если шлагбаум повернется из горизонтального положения около оси вращения на 60°? На сколько опустится при этом конец короткого плеча? (Решите графически - с помощью построений и измерений.)

690. Дана полуокружность. На ее диаметре построены две равные полуокружности, касающиеся друг друга и данной полуокружности. Постройте окружность, касающуюся трех данных полуокружностей.

691. Постройте прямоугольный треугольник по медианам, проведенным к катетам.

692. Постройте треугольник по высоте, медиане и биссектрисе, проведенным из одной и той же вершины.

693. Задача Потенота^*. Наблюдатель, имеющий карту некоторого участка земли, находится в одном из пунктов этого участка. Он видит три заметных ориентира (например, ветряную мельницу (А), замок (В) и избушку (С), отмеченные на его карте (рис. 41)).

Рис.41

Из того же пункта (точка D), в котором находится наблюдатель, он измеряет два угла α и β, под которыми видны на местности отрезки АВ и ВС. Как наблюдателю нанести на карту ту точку на местности, где он находится?

^* (В общем виде эта задача заключается в определении положения какой-либо точки на местности по двум углам (с вершиной в этой точке), образованным направлениями на три точки, положение которых известно. Французский математик Л. Потенот (1660-1732) дал одно из геометрических решений этой интересной и практически важной задачи. Еще раньше, в начале XVII в., задача была решена голландским математиком и астрономом В. Снеллиусом, а некоторые способы решения были известны уже в XVI в.)