Обратная и противоположная теоремы

Пусть дано верное высказывание А ⇒ В. По нему может быть сформулировано обратное предложение. Для этого нужно "поменять местами" условие (посылку) и заключение данного высказывания (сделать условие заключением, а заключение условием). Получим В ⇒ А. Обратное предложение может оказаться и неверным. Очень часто это может быть обнаружено с помощью примера. Достаточно привести пример конкретного обратного высказывания, в котором условие было бы выполнено, а заключение оказалось бы неверным.

312. Для каждого из приведенных ниже предложений сформулируйте обратное и установите, будет оно верным или нет:

1) Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5.

2) Если каждое из двух слагаемых число четное, то сумма их - четное число.

3) Сумма трех нечетных чисел является нечетным числом.

4) Если а - целое число, то 6а также целое число.

5) Если число делится на 10, то оно делится на 5.

313. Для каждого из следующих высказываний сформулируйте обратное и установите, верно оно или нет:

1) Если углы вертикальны, то они равны.

2) Всякий равносторонний треугольник равнобедренный.

3) Всякий равносторонний треугольник равноугольный.

4) Если в треугольнике один угол тупой, то два остальных острые.

5) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

6) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

7) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

314. Для каждого из приведенных ниже верного или неверного предложений сформулируйте обратное и установите, верно оно или нет:

1) Если один из множителей равен 0, то произведение их также равно 0.

2) Если длины диагоналей четырехугольника равны, то такой четырехугольник является прямоугольником.

3) Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то такой четырехугольник является ромбом.

4) Если стороны одного острого угла соответственно перпендикулярны сторонам другого острого угла, то такие углы равны.

5) Симметричные относительно оси фигуры равны.

315. Для теоремы: "Четырехугольник, в котором диагонали точкой их пересечения делятся пополам, является параллелограммом", сформулируйте обратное предложение. Верно ли оно?

Для теоремы "А ⇒ В" можно сформулировать предложение, составленное с помощью импликации из отрицаний высказываний А и В, т. е. | А ⇒| В. Такое предложение называют противоположным данному (т. е. противоположным А ⇒ В). При верной данной теореме противоположная ей может оказаться как верной, так и неверной.

316. Для теоремы: "Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам" сформулируйте обратную теорему и докажите ее. Сформулируйте предложение, противоположное данному и противоположное обратному. Верны ли они?

317. Для теоремы: "Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9" сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Верны ли они?

318. Верно ли утверждение: "Четырехугольник, у которого один из углов прямой и диагонали равны, является прямоугольником"?

319. О треугольниках ABC и A₁В₁С₁ ( известно, что АВ = A₁В₁, АС ≠ А₁С₁ и ВС ≠ А₁С₁. Равны ли эти треугольники?

320. Верно ли следующее высказывание: "Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то эти треугольники равны"?

321. Для предложения "Прямые углы равны" сформулируйте противоположное, обратное и противоположное обратному. Какие из них верны?

322. Приведите примеры такого неверного высказывания, противоположное которому также было бы неверным.

323. Приведите пример такого неверного высказывания, обратное которому было бы неверным.