Шесть единиц

В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры - число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111111 = 111 X 1001.

Но 111 = 3 X 37, а 1001 = 7 X 11 X 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен*, состоящий из одних лишь единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число - 111111:

  3 Х (7 Х 11 Х 13 Х 37) =  3 X 37037 = 111111 
  7 Х (3 Х 11 Х 13 Х 37) =  7 X 15873 = 111111 
 11 Х (3 Х  7 Х 13 Х 37) = 11 Х 10101 = 111111 
 13 Х (3 Х  7 Х 11 Х 37) = 13 Х  8547 = 111111 
 37 Х (3 Х  7 Х 11 Х 13) = 37 Х  3003 = 111111 
 (3 Х 7) Х(11 Х 13 Х 37) = 21 Х  5291 = 111111 
 (3 Х 11)Х (7 Х 13 Х 37) = 33 Х  3367 = 111111 и т. д.

^* (Феномен - редкое явление, выходящее за пределы обычного или нормы.)

Вы можете, значит, засадить 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111.

То же число, 111111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумать число однозначное, то-есть одну цифру, и повторить ее 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.

На примере числа 111111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.

Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие - 1 и 11 - простые, остальные - составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:

         111 = 3 X 37 
        1111 = 11 X 101 
       11111 = 41 X 271 
      111111 = 3 X 7 X 11 X 13 X 37 
     1111111 = 239 X 4649 
    11111111 = 11 X 73 X 101 X 137 
   111111111 = 9 X 37 X 333667 
  1111111111 = 11 X 41 X 271 X 9091 
 11111111111 = 21649 X 513239 
111111111111 = 3 X 7 X 11 X 13 X 37 X 101 X 9901 

Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4, из 5, из 6, из 8, из 9, из 12 единиц более или менее пригодны для этой цели. Образчики использования их для отгадывания будут даны в конце следующей главы.