"Русский" способ умножения

Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то-есть того, что называется таблицей умножения. В старинной "Арифметике" Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - чуждых для современного слуха - стихах:

 Аще кто не твердит 
  таблицы и гордит, 
 Не может познати 
  числом что множати 

 И во всей науки, 
  несвобод от муки, 
 Колико не учит, 
  туне ся удручит 

 И в пользу не будет, 
  аще ю забудет. 

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:

 32 Х  13 
 16 X  26 
  8 Х  52 
  4 Х 104 
  2 X 208 
  1 X 416 

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения зтой операции получается искомое произведение:

32 X 13 = 1 X 416.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо - гласит правило - в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

 19 X 17 
  9 X 34 
  4 X 68* 
  2 X 136* 
  1 X 272 

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323.

На чем основан этот прием?

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

 19 Х 17 = (18 + 1)17 = 18 X 17 + 17, 
  9 X 34 =  (8 + 1)34 =  8 X 34 + 34 и т. д. 

Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.