Задача Эйлера

Стендаль в "Автобиографии" рассказывает следующее о годах своего учения:

"Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок... Это было для меня открытием. Я понял, что значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил...".

Вот эта задача из "Введения в алгебру" Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.

Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: "Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров". Вторая ответила: "А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера". Сколько яиц было у каждой?

Решение

Пусть у первой крестьянки х яиц, тогда у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем, 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продала яйца по цене

15/(100 - x)

за штуку.

Таким же образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене

6 2/3 : x = 20/3x

за штуку.

Теперь определяется действительная выручка каждой крестьянки:

 первой: x × 15/(100 - x) = 15x/(100 - x), 

 второй: (100 - х) 	× 20/3x = 20(100 - x)/3x. 

Так как выручки обеих одинаковы, то

15x/(100 - x) = 20(100 - x)/3x.

После преобразований имеем:

х2 + 160x - 8000 = 0,

откуда

х1 = 40, x2 = - 200.

Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; у задачи - только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Задача может быть решена еще другим, более кратким способом. Этот способ гораздо остроумнее, но зато и отыскать его значительно труднее.

Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свой яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в к² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:

k2 = 15 : 6 2/3 = 45/20 = 9/4;

отсюда

k = 3/2. 

Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.