Четырьмя двойками

Задача

Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.

При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?

Решение

Возможны 8 комбинаций:

 2222, 2222, 2222, 2222, 

 2222 , 2222, 2222, 2222.

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.

Первое - 2222, - очевидно, меньше трех прочих. Чтобы сравнить следующие два -

2222 и 2222,

преобразуем второе из них:

2222 = 222×11 = (222)11 = 48411.

Последнее число больше, нежели 222², так как и основание, и показатель у степени 484¹¹ больше, чем у степени 222².

Сравним теперь 22²² с четвертым числом первой строки - с 2²²². Заменим 22²² большим числом 32²² и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2²²².

В самом деле,

32²² = (2⁵)²² = 2¹¹⁰

- степень меньшая, нежели 2²²².

Итак, наибольшее число верхней строки - 2²²².

Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел - сейчас полученное и следующие четыре:

2222, 2222, 2222, 2222.

Последнее число, равное всего 2¹⁶, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 22⁴ и меньшее, чем 32⁴ или 2²⁰, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей

222, 484 и 220+2 (= 2 10×2 × 22 ≈ 106 × 4)

последний - явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

2222.

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

210 ≈ 1000.

В самом деле,

 222 = 220 	× 22 ≈ 4 × 106, 

 2222 ≈ 24000000 > 101200000.

Итак, в этом числе - свыше миллиона цифр.