ДИХОТОМИЯ

ДИХОТОМИЯ - свойство линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

x̅ = A(t)х, х ∈ Еⁿ, t ≥ 0,

с ограниченными непрерывными коэффициентами обладать такими положительными постоянными K, L, α, β, что существует разложение Еⁿ = Е^m + Е^n-m, для к-рого

х(0) ∈ E^m ⇒ ||х(t)|| ≤ К||х(τ)|| ехр[-α(t - τ)],

t ≥ τ ≥ 0;

x(0) ∈ E^n-m ⇒ ||x(t)|| ≤ L||x(τ)|| exp[-β(τ - i)],

τ ≥ t ≥ 0

(экспоненциальная Д.; при α = β = 0 - обыкновенная Д.). Наличие экспоненциальной Д. эквивалентно тому, что неоднородная система

х̇ = A(t) х + f(t)

при любой ограниченной непрерывной функции f(t), t ≥ 0, имеет хотя бы одно ограниченное на [0, ∞) решение (см. [1]). Теория Д. (см. [2]) перенесена на уравнения в банаховых пространствах, используется также для изучения потоков и каскадов на гладких многообразиях [4].

Лит.: [1] Реrrоn О., «Маth. Z.», 1930, Bd 32, № 5, S. 703-728; [2] Массера Х.-Л., Шеффер Х.-Х., Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, пер. с англ., М., 1970; [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [4] Аносов Д. В., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1967, т. 90.

Р. А. Прохорова.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.