ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - гладкое распределение на гладком расслоенном пространстве Е со структурной группой Ли G (т. е. гладкое поле линейных подпространств в касательных к Е пространствах), к-рое определяет связность в Е в том смысле, что все горизонтальные поднятия всех кривых базы являются его интегральными кривыми. Г. р. А должно быть трансверсально к слоям, т. е. в любой точке у ∈ Е имеет место прямое разложение Т_y(Е) = Δ_y ⊕ T_y(F_y), где F_y - слой, содержащий у. Эффективные условия на трансверсальное распределение, достаточные, чтобы оно было Г. р., в общем случае весьма сложны. В частном случае, когда Е является главным расслоенным пространством Р, они должны гарантировать инвариантность распределения относительно действия группы G на Р. В этом случае условия даются с помощью формы связности, аннулятором к-рой является Г. р., и находят свое выражение в теореме Картана-Лаптева. Из соответствующих структурных уравнений следует, что если гладкие векторные поля X и Y на Р таковы, что Х_y, Y_y ∈ Δ_y в любой y ∈ Р, то [XY]_y имеет на Т_y(Е_y) компоненту Ω_y(X, Y), где Ω - форма кривизны. Следовательно, Г. р. инволютивно тогда и только тогда, когда определяемая им связность в Р плоская.

Г. р. на пространстве Е, присоединенном к Р, является всегда образом нек-рого Г. р. Δ на Р при канонич. проекциях тех факторизации, с помощью к-рых строится Е, исходя из Р. В общем случае, когда Е получается факторизацией из Р × F по действию G согласно формуле (y,f) ⋅ g = (y ⋅ g, g^-1 ⋅ f) и следовательно возникает канонич. проекция π : Р × F → E, каждое Г. р. на Е получается как образ π*Δ̅, где Δ̅ - естественное поднятие Δ с Р на Р × F. В более частном случае, когда F является однородным пространством G/H, пространство Е отождествляется с P/Н и каждое Г. р. на E получается как образ π*Δ при канонич. проекции π : Р → Р/Н.

Лит.: [1] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [2] Бишоп Р., Криттенден Р., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Лумисте Ю. Г., «Матем. сб.», 1966, т. 69, № 3, с. 434-69.

Ю. Г. Лумисте.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.