ГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА

ГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА - система материальных точек, либо не стесненная никакими связями, либо стесненная только геометрич. связями, накладывающими ограничения на положения точек системы и могущими быть представленными в форме конечных соотношений вида

f_s(x₁, ..., x_3N, t) = 0,s = 1, ..., k; f_s(x, t) ∈ C². (1)

Здесь t обозначает время, х_i - декартовы координаты точек, N - число точек системы. Если ∂f_s/∂t ≡ 0, то связи наз. стационарными, в противном случае - нестационарными. Всякое положение системы, для к-рого координаты точек удовлетворяют уравнениям (1), наз. возможным для данного момента t. Связи (1) налагают ограничения не только на положения x_ν, но и на скорости v_ν и ускорения w_ν точек вида

(2)

Скорости и ускорения, удовлетворяющие уравнениям (2), наз. кинематически возможными в данном положении x_ν системы для данного момента t. Бесконечно малые перемещения δ_ν, удовлетворяющие условиям вида

(3)

представляют собою возможные (виртуальные) перемещения системы, в отличие от действительных перемещений dr_ν, совершаемых системой за время dt под действием приложенных к ней сил и удовлетворяющих условиям вида

(4)

Для стационарных связей действительные перемещения находятся среди возможных, для нестационарных - вообще говоря, не находятся. Возможные перемещения способны перевести голономную систему из одного возможного для данного t положения системы в любое другое бесконечно близкое положение, возможное для того же момента t.

Число независимых вариаций координат точек системы наз. числом ее степеней свободы, для голономной системы оно совпадает с числом n = 3N - k независимых произвольных параметров q_i, с помощью к-рых уравнения (1) связей можно представить в форме конечных соотношений вида

x_ν = x_ν(q₁, ..., q_n, t), ν = 1, ..., 3N, x_ν(q, t) ∈ C². (5)

Параметры q_i носят название обобщенных, или лагранжевых координат системы; их называют также голономными координатами, в отличие от неголономных координат, или квазикоординат π_s, вводимых неинтегрируемыми соотношениями вида

(6)

Связи, аналитически выражаемые уравнениями (1), носят название удерживающих, или двусторонних связей, в отличие от неудерживающих, или односторонних связей, выражаемых неравенствами вида

f(x, t) ≥ 0,

и накладывающих следующие условия на возможные перемещения

Возможные перемещения системы с двусторонними связями обратимы, среди возможных перемещений систем с односторонними связями имеются необратимые (см. [1]).

Движения голономных систем описываются Лагранжа уравнениями (1-го и 2-го рода), Гамильтона уравнениями в лагранжевых координатах и импульсах, Аппеля уравнениями, Пуанкаре уравнениями или Четаева уравнениями в лагранжевых координатах и квазикоординатах.

Лит.: [1] Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М., 1944.

В. В. Румянцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.