Эстафета веков

Впервые задача эта была рассмотрена еще Ньютоном в его знаменитых "Началах". Первооткрыватель закона всемирного тяготения заметил, что закон этот может объяснить не только движение небесных тел, но и их форму. По известной гипотезе, каждая планета первоначально находилась в жидком состоянии, причем настоящую свою форму она приобрела еще до отвердения. Поэтому небесные тела должны иметь одну из тех фигур, которые принимает вращающаяся вокруг оси жидкая масса, частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона. Вопрос о формах равновесия вращающейся жидкости приобрел важное научное и мировоззренческое значение.

Исследования Ньютона показали, что под влиянием центробежных сил и сил притяжения вращающаяся жидкая масса должна принять форму шара, сжатого у полюсов. Такая фигура называется эллипсоидом вращения. В середине XVIII века шотландский ученый К. Маклорен математически доказал, что эллипсоид вращения действительно будет равновесной фигурой вращающегося жидкого тела. С тех пор эту фигуру равновесия стали называть эллипсоидом Маклорена.

Долгое время считали эллипсоиды вращения единственными фигурами равновесия вращающейся жидкости. Лишь почти сто лет спустя, в 1834 году, выдающийся немецкий механик и математик К. Якоби показал, что это не так. Вращающаяся жидкая масса необязательно должна принимать форму тела вращения, словно ее обрабатывают на гончарном круге. Фигурой равновесия может стать и трехосный эллипсоид, получающийся из шара, который сжимают не только у полюсов, но и по экваториальному диаметру. Вывод Якоби вызвал немалое удивление в научном мире. Он явно противоречил наглядным представлениям и физической интуиции. Делались даже попытки опровергнуть его доказательство. Но профессор Сорбонны Ж. Лиувилль, проведя полный математический анализ проблемы, подтвердил правильность этих результатов. В учении о формах равновесия вращающейся жидкости появился новый термин - эллипсоид Якоби.

После этих исчерпывающих, казалось бы, исследований задача снова была предана забвению на несколько десятков лет. Но в 1883 году вышло третье издание известной книги английских ученых В. Томсона и П. Тэта "Трактат о натуральной философии". Авторы ее пополнили коллекцию фигур равновесия вращающейся жидкости. Они показали, что при некоторых условиях эллипсоид Якоби, вытягиваясь, разделяется на два не связанных между собой тела. Эллипсоид перерождается в нечто совершенно отличное от всех прежних форм равновесия. Это были не только новые данные, но и новые проблемы. Сами авторы указывали на существенный пробел в своих изысканиях: ничего не было известно о промежуточных, переходных формах жидкости, предшествующих делению эллипсоида.

Желая восполнить недостающее звено в результатах Томсона и Тэта, Пуанкаре переключается с кольца Сатурна на новый объект. Но логика исследования увлекает его к более общей и фундаментальной задаче: проверить, не существуют ли наряду с эллипсоидами Маклорена и Якоби другие родственные им фигуры равновесия вращающейся жидкости. Он смело принимает эстафету, в течение полутора веков передававшуюся от одного поколения ученых к другому. Смело, поскольку после работ Лиувилля проблема считалась достаточно подробно рассмотренной и закрытой. Рассчитывать в этих условиях на открытие, подобное открытию Якоби, казалось многим неоправданным оптимизмом. К тому же математические трудности представлялись неодолимыми. Задача сводилась к весьма сложному нелинейному интегральному уравнению. Даже сейчас нет полной теории решения таких уравнений, а в конце XIX века не разработана была теория решения и более простых, линейных интегральных уравнений. Тем более удивительны те успехи, которых удалось достигнуть Пуанкаре.

Помимо эллипсоидов, он обнаружил новые фигуры равновесия, отличающиеся от эллипсоидальных. Среди них были даже грушевидные. Эти-то фигуры и позволили перекинуть мост от эллипсоидов Маклорена к двухмассовым равновесным формам, представленным Томсоном и Тэтом. Сам Пуанкаре иллюстрирует эту возможность следующим гипотетическим примером, непосредственно относящимся к астрономии. Вообразим расплавленную жидкую массу, вращающуюся вокруг оси и сжимающуюся при охлаждении. Вначале это будет эллипсоид вращения, очень близкий к сфере. По мере охлаждения сжатие возрастает, и фигура непрерывно меняется. Все более и более уплощаясь, она перерождается в эллипсоид Якоби с тремя неравными осями. При последующем охлаждений большая часть жидкости, стремясь принять шарообразную форму, будет скапливаться в одном месте большой оси эллипсоида, а меньшая часть, обособляясь, переместится к противоположному концу большой оси. Образуется новая фигура равновесия, имеющая вид груши. Так будет продолжаться до тех пор, пока фигура, все более и более сжимаясь в своей средней, самой узкой части, не распадется на два различных, неравных тела.

Свои исследования Пуанкаре опубликовал в серии заметок и статей и в обширном мемуаре, вышедшем в 1885 году в журнале "Акта математика". Новые неожиданные результаты по столь старой и, казалось бы, досконально изученной проблеме вызвали исключительный интерес. Особенно оживились астрономы, решившие применить эти результаты к решению своих задач. Они надеялись, что открытые Пуанкаре грушевидные фигуры равновесия помогут объяснить процессы образования двойных звезд. Некоторые из них думали, что двойные звезды типа беты Лиры представляют те самые переходные формы, которые рассмотрены в его работах. Но сам Пуанкаре понимал, что все рассуждения о фигурах равновесия применительно к небесным телам справедливы лишь в том случае, если эти фигуры устойчивы. Только тогда они могут сохраняться неограниченно долго. Между тем об их устойчивости и методах ее исследования в работах предшественников можно было найти весьма скудные сведения. Например, методы, разработанные Лапласом и Лиувиллем, годились только для некоторых частных случаев и в смысле точности оставляли желать много лучшего.

Все оценки устойчивости механических систем опирались на принцип Лагранжа, согласно которому устойчивое равновесие характеризуется наименьшей величиной потенциальной энергии. Отклоненный от вертикального положения маятник потому так упорно к нему возвращается, что среди всех его возможных положений оно наинизшее и потенциальная энергия в нем принимает наименьшее значение. Но не так просто было применить этот критерий к жидкому вращающемуся телу. Если мысленно отклонить его от равновесной конфигурации, слегка деформировать, то очень трудно сказать наверняка, вернется ли оно, подобно маятнику, в границы прежних своих очертаний или, наоборот, будет неуклонно удаляться от них до тех пор, пока не успокоится, приняв новую, на этот раз устойчивую форму. Смещения частиц жидкости приводят к появлению новых сил, называемых гироскопическими, которые существенно усложняют всю картину. Бессилие принципа Лагранжа заключалось именно в том, что он не мог учесть действия этих дополнительных сил.

Не всегда решение научной проблемы, долгое время не поддававшейся усилиям исследователей, связано с рождением новых методов. Долгожданный эффект приносит порой переосмысление старых, испытанных средств. Такой подход к решению проблемы устойчивости фигур равновесия продемонстрировал Пуанкаре, обобщив принцип Лагранжа на новые, не входившие ранее в круг его рассмотрения ситуации. В качестве критерия устойчивости он принял не потенциальную энергию, а некоторую ее модификацию, как бы дополненную потенциальную энергию, учитывавшую влияние гироскопических сил. Каждой фигуре равновесия ему удалось сопоставить некоторые числовые величины, которые были названы им коэффициентами устойчивости, потому что только в том случае, когда эти коэффициенты положительны, выполняется условие устойчивости. Меняются очертания фигуры, меняются и значения коэффициентов, оставаясь положительными, если она не выходит за пределы своей устойчивости. Но если хотя бы один из коэффициентов обратится в нуль, это уже предостерегающий сигнал. Это значит, что Данная фигура равновесия лежит на распутье и от нее ответвляется семейство других фигур равновесия. Перейдя этот рубеж, старые равновесные формы становятся неустойчивыми, зато обнаруживается устойчивость у новой серии фигур. Оба семейства фигур равновесия как бы обмениваются на стыке своей устойчивостью.

Александр Ляпунов (1886 г.)

Такие же результаты были получены несколько раньше другим ученым. В далеком Петербурге молодой математик А. М. Ляпунов, два года работавший над задачей устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости, защищает в январе 1885 года магистерскую диссертацию. Но в то время Пуанкаре еще ничего об этом не знал.