Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

9. О спортивных классификациях

9.1. Принципы построения спортивных классификаций


Всякая спортивная классификация, основанная на упорядочении спортсменов по их силе (по результатам соревнований), связана с присвоением каждому из них определенной оценки, выражающейся в виде числа очков, набранных в турнирах, или в виде так называемого рейтинга - условного числового коэффициента.

В пределах отдельных соревнований этими оценками служат очки, набираемые участниками. Именно так обстоит дело в соревнованиях по спортивной и художественной гимнастике, фигурному катанию, в тяжелой атлетике и т. п.

Однако в спортивных играх, таких, например, как шахматы, теннис, бадминтон, целесообразно иметь не разовую, а интегральную оценку, в которой учитываются (в определенном смысле суммируются) результаты серии встреч с различными противниками в разных турнирах на протяжении определенного отрезка времени. Такие интегральные оценки используются в шахматных, теннисных и других классификациях. Рассмотрение действующих классификационных систем позволяет сделать некоторые заключения общего характера о принципах их построения.

Остановимся на системе классификации на основе рейтингов.

Оставим пока открытым вопрос о том, какие соображения учитываются при присвоении игрокам, входящим в классификацию исходного рейтинга (исходного места в классификации). Предположим, что вопрос этот тем или иным способом решен,

Рассмотрим встречу двух игроков. Обозначим оценки класса, т. е. рейтинги игроков U и V через r(U) и r(V) соответственно.

Введем в рассмотрение переменную величину t, характеризующую различие в классе игроков U и V. Величину t можно предположить зависящей, например, от отношения r(U)/r(V) рейтингов игроков U и Кили же от их разности r(U) - r(V).

В качестве исходного примем предположение, согласно которому отношение m/n среднего числа m побед игрока U к среднему числу n его пораженки в сериях из N встреч с игроком V находится в экспоненциальной зависимости от разности рейтингов игреков U и V.

Естественность такого предположения подтверждается статистическими данными о результатах шахматных турниров, теннисных и других игровых спортивных соревнований, а также, что не менее убедительно, нашими последующими результатами.

Итак, мы принимаем, что

m/n = at.

где основание a экспоненты at - некоторое число, большее единицы, a t = r(U) - r(V), В этих обозначениях вероятность Р (победа U) победы игрока U в рассматриваемой встрече игроков U и V равна отношению среднего числа выигрываемых U встреч к общему числу встреч с игроком V, т. е.


Ясно, что величина Р (победа U) является функцией t. Так как переменная t равна разности r(U) - r(V) рейтингов соперников, то непосредственно видно, что при t = 0 (т. е. при равном классе игроков) вероятность P(0) = 1/2: обе противоборствующие стороны могут выиграть встречу с равной вероятностью.

При неограниченном увеличении t (т. е. при неограниченном возрастании рейтинга игрока U по сравнению с рейтингом игрока У) вероятность P(r) стремится к единице: игрок U почти наверняка выиграет у У Если же t становится отрицательным (r (U)<r(V)) и неограниченно убывает, то вероятность P(t) победы U над V неограниченно приближается к нулю.

Графики функций P (t) в зависимости от значения параметра a показаны на рис. 31. График функции расположен при a1>a выше графика

при t>0 и ниже его при t<0.

Рис. 31
Рис. 31

Теперь вся проблема построения классификации сводится к выбору числового значения параметра a и масштаба для оценивания разности в классе (рейтингов) игроков.

С этой общей позиции можно объяснить идею построения уже ставшей классической (но пока не получившей в публикациях четкого обоснования) системы классификации шахматистов, предложенной американским профессором А. Эло и принятой Международной федерацией шахмат (ФИДЕ) в 1970 г.

Статистика шахматных турниров свидетельствует о том, что если один из соперников на один разряд (на одну ступень) в шахматной иерархии стоит выше другого, то первый выигрывает у второго, в среднем, 75 очков из 100 возможных, т. е. с вероятностью, равной 0,75.

При построении кривой p(t), т. е. при выборе значения параметра a, этот факт следует учесть следующим образом. Предположим, что различие между игроками, принадлежащими к двум соседним ступеням (разрядам) шахматной иерархии, составляет λ единиц рейтинга. Иными словами, при t = r(U) - r(V) = λ величина вероятности победы U над V равна P(λ) = 0,75. Это предположение приводит к соотношению для определения значения a:


или aλ = 3. Допустив, например, что λ = 200 из a200 = 3, найдем a = 1,0055.

Теперь можно подсчитать, что при разности рейтингов t = 5


при t = 10 P(10) = 0,514; при t = 15 P(15) = 0,520; при t = 20 P(20) = 0,527 и т. д.

Подсчитав соответствующие вероятности P(t) для разностей рейтингов в пределах от t = 0 до t = 735 (и больше), придем к таблице A. Эло (табл. 10) (она приведена, например, в [24]).

Таблица 10
Таблица 10

Величина ΔK - разность между коэффициентами Эло игроков равна в наших обозначениях значению t. Величины hδ и hМ из таблицы Эло (проценты, которые «полагается» набрать шахматисту с большим и, соответственно, с меньшим рейтингом) являются в действительности найденными выше вероятностями P(победа U) и P(победа V) = 1 - P (победа U),

Полученное совпадение говорит о том, что в качестве отправной разницы в рейтингах в системе Эло принято число 200.

Подчеркнем, однако, что можно предположить, вопреки Эло, что разница λ в рейтингах между представителями двух соседних ступеней шахматной иерархии должна составлять не 200, а, скажем, 250 (или даже 300) единиц рейтинга. Это привело бы к другому, меньшему значению параметра a = 1,0044, определяемому из уравнения a250 = 3, и, естественно,- к другой таблице, подобной, однако, таблице Эло.

Весьма возможно, что пересчет рейтингов игроков после завершения турнира с помощью новой таблицы окажется более удачным, чем по таблице Эло. Единственным обоснованием («оправданием»!) выбора значения λ = 200 может послужить изучение объемного статистического материала, накопленного в многолетних шахматных баталиях.

Так или иначе, имеется возможность построения целого семейства классификаций, подобных друг другу. Так, в частности, можно предполагать, что разница в рейтингах между представителями каждых двух соседних разрядов не должна быть постоянной, а меняться по мере продвижения вверх (от третьего разряда до гроссмейстера). Правда, это несколько усложнит процесс пересчета рейтингов и потому вряд ли окажется практически целесообразным.

Но вернемся к системе Эло. Она завершается правилом пересчета рейтинга шахматиста. Это правило формализуется в виде линейной зависимости

rн = rст + μ(N - Nож),(1)

выражающей новый рейтинг (по завершении всего турнира) rн через старый рейтинг rст (предшествующий турниру) и через разность между числом N очков, фактически набранных шахматистом, и числом очков Nож, которое ему «полагается», в силу его квалификации, набрать в турнире.

Если фактически набранное число N очков совпадает с ожидаемым Nож, то из (1) следует, что рейтинг шахматиста остается без изменения: rн = rcn.

При N>Nож, т. е. при N - Nож > 0, его рейтинг возрастет, при N <Nож - станет меньше предматчевого.

В системе Эло в качестве коэффициента μ выбрано число 10. Поэтому при N - Nож = 1 из формулы

rн = rст + 10(N-Nож)

следует, что рейтинг игрока возрастет на 10 единиц. Иными словами, одному очку, набранному сверх ожидаемых, соответствует 10 единиц рейтинга. Это обстоятельство является также своего рода «произволом». Можно положить, например, μ = 15 или μ = 20.

Реализация пересчета рейтинга требует знания величины Nож. Числовое значение Nож находится следующим способом (оно всегда округляется до полуочка и потому рейтинги всегда оказываются целыми числами).

Допустим, что шахматист A, имевший рейтинг rст (А) = 2280, встретился в турнире с игроками В, С, D, E, имевшими рейтинги соответственно равные: rст (B) = 2280, rст(C) = 2285, rст (D) = 2270, rст (C) = 2260. Тогда вероятность победы А над В составит 0,5 (отождествляется со средним числом выигранных очков), вероятность победы А над С равна 0,49 (так как rст(С) - rст(A) = 5), вероятность победы А над D равна 0,514 (так как rст(A) - rст(D) = 10), и, наконец, вероятность победы А над E равна 0,527 (так как rст(А) - rст(E) = 20). Следовательно, можно ожидать, что шахматист А во всех упомянутых встречах наберет

Nож(A) = 0,500 + 0,490 + 0,514 + 0,527 = 2,031 очка.

Подсчет Nож упрощается путем введения так называемого рейтинга r(m) турнира, равного среднеарифметическому рейтингов всех его участников.

Очевидно, что чем сильнее состав играющих, тем рейтинг турнира больше. Вообще, для рассмотрения (квалификации) турнира в системе Эло требуется, чтобы не менее двух третей его участников состояло в квалификационных списках (т. е. уже обладали присвоенными им рейтингами) до начала турнира и чтобы рейтинг турнира был не меньшим 2250.

Вступающему в турнир шахматисту, еще не обладающему рейтингом, присваивается начальный рейтинг rнач = 2200.

Вслед за этим, вместо того чтобы находить значения параметра t для всех встреч A, B, C, D, E (как это сделано выше), его находят лишь единожды, как разность rст (А) - r (t) между рейтингами шахматиста А и турнира. Этим самым предполагают, что шахматист играет n - 1 партию (при n участниках) с некоторым фиктивным партнером, обладающим рейтингом r(т) турнира.

Так, например, допустив, что в турнире играют только шахматисты А, В, С, D, Е, найдем рейтинг турнира r(т) = 1/5 (2280 + 2280 + 2285 + 2270 + 2260) = 2275.

Шахматист А имеет рейтинг rст (A) = 2280. Разность t = 2280 - 2275 = 5. Раньше уже было подсчитано, что P(5) = 0,510. Так как А встречается с фиктивным партнером в четырех партиях, то для него ожидаемое число очков Nож(A) = = 0,510×4 = 2,040 ≈ 2.

Допустим далее, что фактически А набрал в турнире N (А) = 3,5 очка. Тогда rн(А) = 2280 + 10(3,5 - 2) = 2280 + 15 = 2295, и, следовательно, рейтинг А возрос на 15 единиц.

Классификационная система Эло основана, как можно заключить из предшествующего, на трех предположениях:

  1. отношение среднего числа выигранных к общему числу сыгранных шахматистом со своим противником партий находится в экспоненциальной зависимости от разности рейтингов играющих сторон;
  2. разница в рейтингах шахматистов двух соседних разрядов шахматной иерархии составляет 200 единиц рейтинга;
  3. одному набранному (свыше ожидаемого числа) очку соответствует 10 единиц рейтинга.

Таким образом, система Эло имеет определенное Теоретико-статистическое обоснование. Ее правомерность подтверждена статистической достоверностью прогнозов.

Еще за семь лет до принятия ФИДЕ его системы (в 1963 г.) Эло подсчитал рейтинги выдающихся шахматистов со времен П. Морфи (рейтинг - 2690). При этом рейтинг r ≥ 2600 получили 28 шахматистов (Э. Ласкер, X. Капабланка, М. Ботвинник, М. Таль и др.).

Для того чтобы получить звание, например, международного мастера (гроссмейстера), правила ФИДЕ требуют повторного набора нормативного количества очков, зависящего от категории сложности турниров, в которых эти очки набираются.

В зависимости от рейтинга различают турниры шестнадцати категорий сложности.

Первая категория определяется рейтингом в диапазоне от 2251 до 2275. Шестнадцатая категория соответствует рейтингу в пределах 2626-2650.

Претендующий на звание международного мастера (гроссмейстера) должен набрать, например, в турнире десятой категории сложности (рейтинг 2476 - 2500) не менее 47 (соответственно 67) процентов максимально возможного числа очков.

Повторно нормативное количество очков претендующий может набрать в турнире иной категории сложности - в согласии с принятой ФИДЕ шкалой.

В принятой ныне в СССР классификации шахматистов, основанной на системе Эло, подсчет рейтингов (коэффициентов) отличается тем, что

  1. ожидаемое количество очков Nож округляется до 0,1 очка;
  2. действует своя шкала сложности турниров и свои нормативы, достижение которых необходимо для получения спортивных званий;
  3. для участника соревнований, обладающего исходным рейтингом rст = 2200, новый рейтинг rн устанавливается по правилу
    rн = 2100 + 200 N/NM,
    где NМ - нормативное число очков мастера, а N - фактически набранное участником количество очков. Это правило позволяет удачно выступившему участнику значительно повысить свой рейтинг. Так, например, при выполнении им нормы мастера рейтинг его возрастет на 200 единиц.
предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru