6.9. Организация тренировочного процесса: на улице или в помещении?

Постановка рассматриваемой задачи носит чисто иллюстративный характер. Однако на том же пути могут быть построены математические модели и выданы рекомендации в ситуациях реальных, менее условных, чем разобранная ниже.

Итак, речь идет о распределении времени между тренировками на открытом воздухе и в спортивном зале в целях получения наибольшей общей эффективности. Предположим, что нам известны (в условных единицах):

1. средняя по различным видам спорта эффективность одного часа тренировки на воздухе и в помещении;
2. нагрузка, испытываемая спортсменом за один час тренировки определенного вида;
3. максимальные допустимые нагрузки для каждого вида тренировки.

Все данные сведены в табл. 9.

Таблица 9

Обозначим через x₁ и x₂ неизвестные пока объемы (в часах) тренировок на воздухе и в помещении. При этом их общая эффективность составит

Задача состоит в максимизации Ф(X) при ограничениях

Возникновение этих ограничений совершенно естественно. Так, например, первое из них означает, что общая нагрузка спортсмена при x₁-часовом беге на воздухе и x₂-часовом - в помещении - не должна превышать допустимой. Аналогичный смысл имеют остальные ограничения (48).

Мы вновь пришли к задаче линейного программирования. Однако, в отличие от предыдущей, поставленная задача имеет не каноническую, а стандартную форму. В то же время описанный ранее метод рассуждений приспособлен для задачи линейного программирования в канонической форме. Учтем это и перейдем к требуемому виду, введя дополнительные неизвестные:

Как требует метод, от максимизации Ф (X) перейдем к минимизации

В результате возникла задача линейного программирования в канонической форме: среди неотрицательных решений x_j≥0, j = 1, ..., 5, системы (49) найти те, которые сообщают линейной функции Ф₁(Х) наименьшее значение.

Естественно на первом шаге в качестве свободных неизвестных принять x₁ и x₂, так как все остальные неизвестные и Ф₁ (X) через них уже выражены. Получим исходное допустимое базисное решение Х₀:

при котором Ф₁(Х₀) = 0.

В выражение (50) обе свободные неизвестные входят с отрицательными коэффициентами. Поэтому увеличение любой из них вызовет уменьшение Ф₁(X). Начнем, для определенности, увеличивать x₂ (за x₁ сохраняем нулевое значение). Увеличивая x₂, необходимо следить за тем, чтобы значения базисных переменных не стали отрицательными. При x₂ = 5 базисная неизвестная x₅ обращается в нуль, а остальные базисные переменные еще остаются положительными. Дальнейшее увеличение x₂ невозможно.

Выберем теперь новую пару свободных неизвестных: x₁ и x₅. Выразим через них x₂, x₃, x₄, x₆ и Ф₁(X). Получим:

Допустимым базисным решением X₁, отвечающим такому выбору свободных неизвестных, является решение

При этом решении значение формы уменьшилось и стало равным Φ₁(Х₁) = - 25. Значение это можно вновь уменьшить за счет увеличения неизвестной x₁, которая входит в (53) с отрицательным коэффициентом. С отрицательными коэффициентами x₁ входит также в выражения базисных неизвестных x₃, x₄, x₅ из (52). Поэтому увеличивать x₁ можно лишь до тех пор, пока какое-либо из этих неизвестных впервые не обратится в нуль. Это произойдет с x₃ при x₁ = 2 (переменные x₄, x₅ еще останутся положительными). Примем теперь за свободные неизвестные x₃ и x₅ и выразим через них остальные. Найдем, что

Выпишем соответствующее допустимое базисное решение X₂:

значение формы вновь уменьшилось и стало равным Ф₁(X₂) = -39.

Далее вновь проводим аналогичные рассуждения. Увеличиваем x₅ до значения x₅ = 6 (при котором x₄ = 0), принимаем в качестве нового набора свободных неизвестных x₃ и x₄ и выражаем через них остальные неизвестные:

Так как свободные неизвестные входят в последнее выражение для Ф₁(X) с положительными коэффициентами, то их увеличение приведет только к возрастанию формы. Следовательно, допустимое базисное решение X₃:

уже является оптимальным. Оно доставляет форме наименьшее значение: min Ф₁ = Ф₁(Х₂) = -50.

Теперь следует вернуться к исходной задаче. В ее условии фигурировали лишь два неизвестных x₁ и x₂ (время тренировок на воздухе и в спортзале). Их оптимальные значения x₁ = 5, x₂ = 3 содержатся в решении X₃. При этом максимальное значение эффективности тренировок max Ф(X) = 50.