Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

6.9. Организация тренировочного процесса: на улице или в помещении?


Постановка рассматриваемой задачи носит чисто иллюстративный характер. Однако на том же пути могут быть построены математические модели и выданы рекомендации в ситуациях реальных, менее условных, чем разобранная ниже.

Итак, речь идет о распределении времени между тренировками на открытом воздухе и в спортивном зале в целях получения наибольшей общей эффективности. Предположим, что нам известны (в условных единицах):

  1. средняя по различным видам спорта эффективность одного часа тренировки на воздухе и в помещении;
  2. нагрузка, испытываемая спортсменом за один час тренировки определенного вида;
  3. максимальные допустимые нагрузки для каждого вида тренировки.

Все данные сведены в табл. 9.

Таблица 9
Таблица 9

Обозначим через x1 и x2 неизвестные пока объемы (в часах) тренировок на воздухе и в помещении. При этом их общая эффективность составит

Ф(X) = 7x1 + 5x2. (47)

Задача состоит в максимизации Ф(X) при ограничениях

2x1 + 3x2 ≤ 19, 2x1 + x2 ≤ 13, 3x2 ≤ 15, 3x1 ≤ 18, x1≥0, x2≥0. (48)

Возникновение этих ограничений совершенно естественно. Так, например, первое из них означает, что общая нагрузка спортсмена при x1-часовом беге на воздухе и x2-часовом - в помещении - не должна превышать допустимой. Аналогичный смысл имеют остальные ограничения (48).

Мы вновь пришли к задаче линейного программирования. Однако, в отличие от предыдущей, поставленная задача имеет не каноническую, а стандартную форму. В то же время описанный ранее метод рассуждений приспособлен для задачи линейного программирования в канонической форме. Учтем это и перейдем к требуемому виду, введя дополнительные неизвестные:

x3 = 19 - 2x1 - 3x2, x4 = 13 - 2x1 - x2, x5 = 15 - 3x2, x6 = 18 - 3x1. (49)

Как требует метод, от максимизации Ф (X) перейдем к минимизации

Ф1(Х) = -Ф(Х) = -7x1 - 5x2. (50)

В результате возникла задача линейного программирования в канонической форме: среди неотрицательных решений xj≥0, j = 1, ..., 5, системы (49) найти те, которые сообщают линейной функции Ф1(Х) наименьшее значение.

Естественно на первом шаге в качестве свободных неизвестных принять x1 и x2, так как все остальные неизвестные и Ф1 (X) через них уже выражены. Получим исходное допустимое базисное решение Х0:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 19, x4 = 13, x5 = 15, x6 = 18, (51)

при котором Ф10) = 0.

В выражение (50) обе свободные неизвестные входят с отрицательными коэффициентами. Поэтому увеличение любой из них вызовет уменьшение Ф1(X). Начнем, для определенности, увеличивать x2 (за x1 сохраняем нулевое значение). Увеличивая x2, необходимо следить за тем, чтобы значения базисных переменных не стали отрицательными. При x2 = 5 базисная неизвестная x5 обращается в нуль, а остальные базисные переменные еще остаются положительными. Дальнейшее увеличение x2 невозможно.

Выберем теперь новую пару свободных неизвестных: x1 и x5. Выразим через них x2, x3, x4, x6 и Ф1(X). Получим:

x2 = 5 - 1/3x5, x3 = 4 - 2x1 + x5, x4 = 8 - 2x1 + 1/3x5, x6 = 18 - 3x1 (52)
Ф1(Х) = -25 - 7x1 + 5/3x2. (53)

Допустимым базисным решением X1, отвечающим такому выбору свободных неизвестных, является решение

x1 = 0, x2 = 5, x3 = 4, x4 = 8, x5 = 0, x6 = 18.

При этом решении значение формы уменьшилось и стало равным Φ11) = - 25. Значение это можно вновь уменьшить за счет увеличения неизвестной x1, которая входит в (53) с отрицательным коэффициентом. С отрицательными коэффициентами x1 входит также в выражения базисных неизвестных x3, x4, x5 из (52). Поэтому увеличивать x1 можно лишь до тех пор, пока какое-либо из этих неизвестных впервые не обратится в нуль. Это произойдет с x3 при x1 = 2 (переменные x4, x5 еще останутся положительными). Примем теперь за свободные неизвестные x3 и x5 и выразим через них остальные. Найдем, что

x1 = 2 - 1/2x3 + 1/2x5, x2 = 5 - 1/3x5,
x4 = 4 - x3 - 2/3x5, x6 = 12 + 3/2x3 - 2/3x5,
Φ1(X) = -39 + 7/2x3 - 11/6x5.

Выпишем соответствующее допустимое базисное решение X2:

x1 = 2, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 4, x5 = 0, x6 = 4;

значение формы вновь уменьшилось и стало равным Ф1(X2) = -39.

Далее вновь проводим аналогичные рассуждения. Увеличиваем x5 до значения x5 = 6 (при котором x4 = 0), принимаем в качестве нового набора свободных неизвестных x3 и x4 и выражаем через них остальные неизвестные:

x1 = 5 + 1/4x3 - 3/4x4; x2 = 3 - 1/2x3 + 1/2x4;
x5 = 6 + 3/2x3 + 3/2x4; x6 = 3 - 3/4x3 + 9/4x4;
Φ1(X)= -50 + 3/4x3 + 11/4x4.

Так как свободные неизвестные входят в последнее выражение для Ф1(X) с положительными коэффициентами, то их увеличение приведет только к возрастанию формы. Следовательно, допустимое базисное решение X3:

x1 = 5, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 6, x6 = 3

уже является оптимальным. Оно доставляет форме наименьшее значение: min Ф1 = Ф12) = -50.

Теперь следует вернуться к исходной задаче. В ее условии фигурировали лишь два неизвестных x1 и x2 (время тренировок на воздухе и в спортзале). Их оптимальные значения x1 = 5, x2 = 3 содержатся в решении X3. При этом максимальное значение эффективности тренировок max Ф(X) = 50.

предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru