Глава 2. Фокусы с матрицами

Магические квадраты занимают воображение математиков уже более двух тысячелетий. В традиционном магическом квадрате суммы чисел в каждом столбце, каждом ряду и по каждой диагонали одинаковы. Совершенно иной тип магического квадрата изображен на рис. 8. На первый взгляд может показаться, что он составлен без всякой системы и числа в нем расположены случайным образом. Тем не менее этот квадрат обладает магическим свойством, вызывающим удивление не только у человека, далекого от науки, но и у профессионала-математика.

Рис. 8

Это свойство лучше всего демонстрировать с помощью пяти монет и 20 бумажных фишек. Попросите кого-нибудь выбрать любое из чисел вписанных в клетки квадрата. Положите на это число монету и закройте все остальные числа, стоящие в одной строке и одном ряду с выбранным, фишками.

Попросите теперь того же человека выбрать любое Из чисел, вписанных в незакрытые еще клетки, положите на выбранное число другую монету, а числа, стоящие в той же строке и в том же столбце, что и выбранное во второй раз число, снова закройте фишками. Повторив эту процедуру еще два раза, вы обнаружите, что незакрытой осталась лишь одна клетка. Положите на эту клетку пятую монету.

Если теперь вычислить сумму чисел, накрытых монетами (напомним, что на первый взгляд числа кажутся выбранными наудачу), то она будет равна 57. Это не случайно: сколько бы вы ни повторяли эксперимент, сумма всегда будет одной и той же.

Если вы любите решать математические головоломки, то можете остановиться на этом месте, чтобы попытаться самостоятельно раскрыть секрет удивительного квадрата.

Рис. 9

Этот фокус, как и многие другие, после объяснения оказывается до смешного простым. Квадрат представляет собой не что иное, как самую обычную таблицу сложения, правда, составленную весьма замысловатым образом. Строится такая таблица с помощью двух наборов чисел: 12, 14, 18, 0 и 7, 0, 4, 9, 2. Сумма всех этих чисел равна 57. Написав числа первого набора над верхней строкой квадрата, а числа второго набора слева от самого левого столбца, вы сразу же поймете, как получаются числа в клетках квадрата (рис. 9). Так, число в левом верхнем углу (стоящее на пересечении первой строки и первого столбца) равно сумме чисел 12 и 7. Точно так же получаются и все остальные числа: для того чтобы узнать, какое число следует вписать в ту или иную клетку, нужно просто вычислить сумму чисел, стоящих у той строки и того столбца, на пересечении которых находится интересующая нас клетка.

Совершенно аналогичным образом можно построить магический квадрат любого размера с любыми числами. Сколько клеток в квадрате и какие числа выбраны для его построения, никакой роли не играет. Числа в исходных наборах могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными, рациональными или иррациональными. Получившаяся таблица всегда будет обладать волшебным свойством: проделав описанную выше процедуру с монетами и фишками, вы всегда получите сумму чисел, входящих в оба исходных набора. В частности, в рассмотренном нами случае можно было взять любые восемь чисел, дающих в сумме 57.

Теперь уже нетрудно понять основную идею фокуса. Число, стоящее в любой клетке квадрата, равно сумме каких-то двух чисел в исходных наборах. Положив монету на выбранное число, вы тем самым как бы вычеркиваете эти два числа. Каждая новая монета кладется на пересечение другой строки с другим столбцом, поэтому пяти монетам соответствует сумма пяти пар выбранных нами исходных чисел, которая, разумеется, равна сумме всех десяти исходных чисел.

Рис. 10

Один из наиболее простых способов построить таблицу сложения с помощью квадратной матрицы заключается в следующем. Впишем в левый верхний угол 1 и будем продолжать нумерацию клеток слева направо последовательными целыми положительными числами. Заполненную матрицу 4×4 можно рассматривать как таблицу сложения для двух наборов чисел: 1, 2, 3, 4 и 0, 4, 8, 12 (рис. 10). Сумма чисел, оказавшихся под монетками, в такой матрице всегда будет равна 34.

Получающаяся сумма, разумеется, зависит от размеров квадрата. Если число клеток, умещающихся вдоль стороны квадрата, обозначить через n, то сумма будет равна

Квадраты с нечетным n дают сумму, равную произведению n и числа, стоящего в центральной клетке. Если нумерацию клеток начать с числа a, большего 1, и продолжать по порядку, то сумма окажется равной

Интересно заметить, что точно такой же будет сумма чисел в любом столбце и в любой строке традиционного магического квадрата, составленного из тех же числовых элементов.

С помощью второй формулы легко найти, каким должно быть число в левом верхнем углу матрицы любых размеров, чтобы она давала наперед заданную сумму. Огромное впечатление производит следующий фокус, который можно показать экспромтом. Попросив кого-нибудь назвать любое число, большее 30 (это позволит избежать отрицательных чисел), вы тут же чертите матрицу 4×4, которая будет давать сумму, равную только что указанному числу! (Для быстроты, вместо того чтобы закрывать числа монетками, можно обводить их кружками, а строки и столбцы, на пересечении которых стоят выбранные числа, вычеркивать.)

Чтобы продемонстрировать этот фокус, вам придется проделать единственную выкладку (ее нетрудно произвести в уме): вычесть 30 из названного числа, а разность разделить на 4. Пусть, например, названо число 43. Вычитая 30, вы получаете 13. Разделив его на 4, находите число 3¹/₄. Вписав 3¹/₄ в левый верхний угол матрицы 4×4 и продолжив далее по порядку 4¹/₄, 5¹/₄ и т. д., вы получите магический квадрат с суммой, равной 43.

Рис. 11

Чтобы еще больше запутать зрителя, числа в квадрате следует переставить. Например, первое число 3¹/₄ можно вписать в клетку, стоящую в третьей строке (рис. 11), а три следующих числа (4¹/₄, 5¹/₄ и 6¹/₄) расположить в той же строке, но в произвольном порядке. Следующие четыре числа можно расположить в любой строке, но в том же порядке, в каком вы вписывали первые четыре числа. То же самое нужно проделать и с двумя оставшимися четверками чисел. В результате вы получите что-нибудь вроде квадрата, изображенного на рис. 12.

Рис. 12

Если вы не желаете иметь дело с дробными числами, но по-прежнему хотите получить сумму, равную 43, то дробь ¹/₄ у всех чисел можно отбросить, а к числам, стоящим в верхней строке, прибавить по единице (в результате чего в верхней строке окажутся числа 16, 17, 18 и 19). Точно так же, если бы дробная часть первого числа была равна ²/₄, к числам, стоящим в верхней строке, нужно было бы прибавлять 2, а если бы дробная часть оказалась равной ³/₄ - 3.

Перестановка строк и столбцов не меняет магических свойств квадрата, но делает матрицу более загадочной,- чем она есть на самом деле.

Фокус можно показывать и с таблицей умножения. В этом случае выбранные числа нужно не складывать, а умножать. Полученное произведение всегда равно произведению чисел, с помощью которых построена таблица.

Мне не удалось выяснить, кому первому пришла в голову мысль использовать эти забавные свойства таблиц сложения и умножения для фокуса. Основанный на этом принципе фокус с нумерованными картами описан в книге Мориса Крайчика^*. Начиная с 1942 года, было предложено несколько вариаций на ту же тему. Так, М. Стоувер заметил, что если на странице календаря обвести квадрат из 16 клеток, то получится таблица сложения, дающая сумму, которая вдвое превышает сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали.

^* (М. Kraitchik, Mathematical Recreations, 1942, p. 184.)

Широкие возможности открывает использование игральных карт. Например, можно ли так расположить карты в колоде, чтобы, сняв любую часть колоды и выложив содержащиеся в ней карты в виде квадрата, вы всегда получили одно и то же число? Этот принцип почти не исследован, и здесь предстоит еще открыть много интересного.

Новый вариант магического квадрата разработал С. Джеймс. Этот вариант позволяет "внушать" аудитории любое слово по вашему желанию. Допустим, вы задумали слово "Джеймс". Взяв 36 карточек с нужными вам буквами, вы раскладываете их в форме квадрата следующим образом:

(карточки повернуты обратной стороной вверх, и буквы зрителям не видны).

Попросив кого-нибудь выбрать одну из карточек, вы откладываете ее в сторону, не переворачивая. Остальные карточки, находившиеся в одном столбце и одной строке с выбранной, вы откладываете в другую сторону (они вам больше не понадобятся). Эта процедура повторяется еще четыре раза, после чего единственную оставшуюся карточку вы добавляете к уже отложенным. Перевернув отобранные карточки лицевой стороной вверх, вы показываете, что из них можно составить слово "Джеймс". Способ отбора гарантирует, что среди отложенных карт не будет лишних.

Один из читателей сообщил нам, что ему удалось найти еще одно неожиданное применение магических квадратов: он рисовал их на поздравительных открытках, которые посылал своим друзьям-математикам в день их рождения. Следуя содержавшейся в открытке инструкции, адресат складывал выбранные им числа и к немалому своему удивлению получал собственный возраст.