Глава 12. Конец начала

Прошло три года с тех пор, как ребенок включился в учебные ситуации, но ведь эти три года практически составляют все время жизни ребенка 5 лет, собирающегося идти в школу. В течение этого периода он рос в десятках направлений - физически, умственно и эмоционально. Вы наблюдали за ним, когда он учился ходить, бегать, скакать на одной ножке, прыгать и карабкаться, самостоятельно есть и самостоятельно одеваться, ходить в туалет, говорить и петь, заводить друзей, собирать вещи и разбрасывать их. Понемножку помочи, на которых вы его держали, стали посвободнее. Если удалось, то вы устроили его в дошкольное учреждение, где он научился, как надо себя вести среди детей своего возраста. Он больше не требует, чтобы вы постоянно были поблизости, в пределах видимости и досягаемости. Все больше и все чаще другие взрослые и другие дети занимают его внимание и оказываются источником эмоций.

Все идет хорошо, и он готов сделать большой шаг, начиная свою официальную школьную карьеру. Большинство современных детских школ стараются облегчить этот шаг новичкам. В одних школах позволяют матерям оставаться с ребенком в течение одного или двух дней, пока он не освоится в новой для него обстановке. В других ребенку предлагают посещать школу в течение некоторого времени еще до начала занятий, чтобы он познакомился с местом и детьми, с которыми он останется, когда мамы не будет. Многие школы организуют специальный подготовительный класс или устраивают дошкольную группу. Обычно в наше время в хорошей школе создается раскованная, неофициальная атмосфера. По крайней мере, в первый год уроки будут ребенку казаться больше игрой, нежели работой. Многие школы используют методику свободной активности для младших детей, а может быть, и открытый план.

Но и в этом случае за кажущимся вам хаосом будет стоять тщательно разработанная программа. По мере того как ребенок переходит из класса в класс, он вовлекается в занятия, требующие напряжения его способностей и увеличивающие его умения. Он выучится чтению, письму и арифметике, едва замечая разницу между ними, если они преподаются в образной форме. Например, игра в "магазин" естественным образом объединяет эти три предмета, открывает ему смысл реальных жизненных терминов и убеждает его, что то, что он учит, очень нужно, чтобы стать взрослым. Он особенно страстно желает как можно скорее стать похожим на взрослого. По крайней мере, в той степени, в которой он представляет себе взрослого. Теневые стороны взрослого состояния он познает позже.

Весьма возможно, что ваш ребенок будет учиться в школе, где в программу введена новая математика. Вероятно, это будет большим сюрпризом для вас, чем для него. Если он усвоил понятия сохранения, которые лежат в основе математических действий, значит, он успешно усвоил формальные математические операции, в каком бы виде ему их ни преподавали. По всей вероятности, вы учились складывать и вычитать, умножать и делить традиционными методами. Поэтому вы можете почувствовать себя несколько неважно, когда ваш ребенок придет домой и начнет трещать о троичной системе счета или обратиться к вам за разъяснениями тонких вопросов теории множеств.

На самом же деле в новой математике нет ничего особо таинственного. Традиционная арифметика использует в качестве основания 10. Иными словами, мы используем десять последовательных символов - от 0 до 9 для нашего повседневного счета и записи чисел. Чтобы пройти дальше 9, мы снова используем те же цифры, передвигая их в следующий ряд. Десять записывается как 10, чтобы показать, что у нас один десяток и нет единиц. Четырнадцать записывается как 14, чтобы показать, что у нас есть один десяток плюс четыре единицы. По той же логике 37 говорит нам о том, что есть три десятка вместе с семью отдельными единицами. Когда доходим до 99, мы опять исчерпали все символы и должны сдвинуться в следующий разряд. Так, 100 представляет собой 10 десятков, что на одну единицу больше, чем 9 десятков и 9 отдельных единиц. Аналогично, 245 представляет две сотни, четыре десятка и пять отдельных единиц. Вот что означает записывать числа в десятичной системе.

Очевидно, мы можем считать и в любой другой системе. Десять как стандартная основа системы счета появилось просто в связи с числом пальцев на наших руках. Если бы природа снабдила нас только четырьмя пальцами, то человечество почти наверняка создало бы арифметику, использующую четыричную систему счета. С математической точки зрения в основании 10 нет ничего святого, и для некоторых целей предпочитаются другие основания. Например, все цифровые счетные машины работают, используя для операций двоичную систему и возвращаясь к десятичной только для целей ввода и дисплея (вывода на экран или для печати). Двоичная система, требующая только символов 0 и 1, более проста, чем наш традиционный способ обозначения чисел. Так что, если ваш ребенок приходит домой с числом вроде 1 101 001, записанным в двоичной системе, и просит вас перевести его в десятичную систему, вы можете попросить у него объяснений об устройстве двоичной системы.

Если он начнет путаться в словах, вы можете с ним проработать этот материал. Начинайте с единицы в самой правой колонке, где она представляет отдельную единицу, как и во всякой системе. Так как в двоичной системе единица является наивысшей цифрой, то вы должны сдвинуться в следующую колонку, чтобы представить число 2 традиционной системы. Таким образом, 10 в двоичной системе - это то же, что 2 в десятичной, поскольку представляет собой двойку без еще одной отдельной единицы. В двоичной системе 11 -это 3 в традиционном обозначении: 1 двойка плюс 1 отдельная единица. Чтобы представить 4, вы должны опять сдвинуться в следующую колонку, так как уже израсходовали запас цифр. Поэтому 100 в двоичной системе - это 4 при использовании основания десять, так как эта запись означает, что имеется одна четверка, нет ни одной двойки и нет ни одной отдельной единицы. И так далее. Тогда получится, что число 1 101 001 составляется, как один раз 64, один раз 32; далее 16 отсутствует, имеется одна восьмерка, отсутствуют четверка и двойка и имеется одна отдельная единица, что дает после сложения 105 - число, записанное в десятичной системе.

Во многих школах, преподающих новую математику, используются также специальные материалы, чтобы облегчить овладение понятиями. Эти материалы представляют собой маленькие бруски дерева, разрезанные на кубики, палочки с квадратным сечением, плоские квадраты и т. д. , размеры которых кратны некоторой единице длины. В некоторых наборах различие в цвете связано с различием в длине. Любое из таких пособий, умело примененное, может помочь ребенку еще дома почувствовать числа и количества.

Вы можете, если хотите, приобрести эти пособия, чтобы ребенок играл ими дома, но против этого говорят некоторые соображения. В отличие от дидактических игрушек эти пособия нужно использовать более систематично, менее случайно, чтобы они были эффективны. Вам нужно овладеть теорией и методикой, связанными с этими пособиями, прежде чем пытаться обучать вашего ребенка. Если вы будете придерживаться последовательности ПУСов и соображений, изложенных в этой книге, то очень быстро откроете, что преподавание исключительно ответственное дело, если к нему подходить серьезно. Учитель, поставленный лицом к лицу с классом детей, которые пришли в школу в первый раз в своей жизни, должен справиться с целым рядом проблем. Некоторые ученики уже умеют читать и писать и даже решать несложные арифметические задачи. Другие никогда не видели книги. В этих условиях обучение началам математики требует терпения и мастерства. Один ребенок быстро идет вперед, в то время как другой кажется совершенно неспособным освоить простейшие математические понятия в какой бы то ни было форме.

Используя идеи, выдвинутые в этой книге, вдумчивый учитель может создать метод диагностики причин, сдерживающих развитие каждого определенного ребенка. Главная цель этой книги - осветить систему понятий, ведущих к математическому мышлению, и обсудить способы, облегчающие детям выработку этих понятий. Чтобы помочь ребенку, который имеет пробелы в предварительной подготовке, нужно сначала обнаружить, где произошел перерыв в развитии понятий, и предложить подходящие ПУСы, восполняющие логическую нить. Понятия, связанные с совмещением и принадлежностью, тождественностью, классификацией, попарным соответствием и подбором пар, упорядочением, устным счетом и счетом наизусть порядковыми и количественными числами,- все они должны быть разложены по своим местам, прежде чем может появиться настоящее математическое мышление.

Дидактические игрушки так же важны в классе, как и дома. В любой школе всегда есть широкий набор подходящих материалов, с которым можно заниматься. Единственное, в чем может помочь учителю эта книга,- это развернуть все имеющиеся ресурсы систематическим образом. Ребенок, который никогда не имел возможности играть с матрешками или пирамидкой из колечек, может вследствие этого иметь лишь туманное представление о том, как соотносить размеры с местом в ряду. Если учитель узнает об этом, он должен обеспечить соответствующий ПУС, прежде чем пытаться идти дальше - к более продвинутым математическим операциям.

То же самое относится и к более старшим детям, которым вследствие эмоционального или умственного отставания трудно усваивать формальную математику. Сначала найдите источник трудностей, а затем подберите правильный, исцеляющий ПУС, чтобы перешагнуть через препятствие. Требуемое диагностическое мастерство может прийти только с опытом, однако учитель, имеющий ясное представление об основных понятиях, чувствует себя значительно увереннее и ему легче заполнить пробелы, которые замедляют развитие.

Чтобы мы могли перевести наши возвышенные чувства в четкие действия, мы должны понять, как ребенок входит в мир чисел. Когда слепой ведет слепого, движение будет медленным, не говоря уже об опасностях. Когда мы приобретаем представление о том, как развивается математическое мышление, мы можем надеяться уменьшить риск, что дети будут страдать от чувства неудачи, скуки, апатии и своей неспособности, и, напротив, надеяться, что они будут наслаждаться достигнутыми успехами, которые приходят вместе с овладением новыми видами навыков.