Глава 9. Подход к овладению простыми преобразованиями

Мы постоянно стремились к тому, чтобы ребенок овладевал манипулятивными и вербальными навыками в логической последовательности, поэтому на каждом новом этапе ПУСы опираются на предыдущие и, объединяясь, образуют последовательную систему. Теперь, когда мы приближаемся к более сложным операциям, очень важно проверить, чтобы фундамент был прочным, чтобы каждый кирпичик в нем был на своем месте.

Если новый ПУС начинается с операции, на которой остановился предыдущий ПУС, вернитесь сначала к старому ПУСу, убедитесь, что ребенок его освоил, а затем воспользуйтесь им, чтобы перейти к новому. Чтобы помочь вам систематизировать знания, прежние ПУСы предварялись, где это было нужно, вводными замечаниями, а контрольные дневники должны были помочь вам выявить, где ребенку нужна особая поддержка.

Теперь мы намерены перейти к четырем основным областям, первая из которых связана с пониманием и использованием ребенком малых чисел. Затем мы займемся установлением попарных соответствий, перейдем к различению размеров и, наконец, рассмотрим простые преобразования.

Ребенок уже знаком с числами до 3. Зернитесь для проверки к ПУСам 30 и 31, прежде чем разбирать ПУСы 54 и 56.

Используйте шарики или любые считаемые предметы. Попросите: "Дай мне 1/2/3/4/5 предметов". Затем: "Возьми 1/2/3/4/5 предметов". Используйте контрольный дневник для записи ответных действий, отмечая в каждом случае, прибегал ли ребенок к счету.

Просто спросите ребенка: "Сколько у тебя ушей / носов / глаз / ртов / ног (и т. д.)?" Отметьте ответ и снова обратите внимание, считает ребенок или нет. Если он ответит неправильно, не забудьте помочь ему. Не стоит оставлять малыша в убеждении, что у него 3 глаза, 2 рта, 4 ноги или 1 ухо. Спросите его: "Сколько ног / рук (и т. д.) у меня?" Это поможет ему сделать обобщение. Возможно, что малышу будет легче увидеть, что у вас 2 глаза и 2 уха, а затем перенести эту информацию на себя. А может быть, сделав правильное наблюдение по отношению к себе, он обратит свое внимание на то, что является общим для все с людей.

Возьмите тарелки с орехами или другими считаемыми предметами. Поступайте так, как указано в ПУСе 31, предлагая ребенку от 3 до 5 предметов. Постепенно усложните этот ПУС, увеличивая число тарелок до 5. Указывая на тарелку, спросите: "Сколько здесь орехов?" Как и прежде, не давайте ему считать, закрывая число орехов на тарелке рукой, после того как вы на нее указали.

Из этих ПУСов вы получите ясное представление о том, как ребенок справляется с числами до 5 и считает он иногда или всегда отвечает сразу, не утруждая себя счетом. На этой стадии оба пути равнозначны.

Следующая ступень - это продолжение ПУСов 39 и 53, т. е. развитие ребенка умения использовать выражения тот же самый и больше в ситуации с наборами из 4 или 5 предметов. Можно также одновременно ввести выражение меньше даже в том случае, если ребенок еще не готов понимать это слово.

Как и прежде, используйте морковки, орехи и т. д., положив на каждую тарелку от 1 до 5 морковок. Начинайте с 6 тарелок (2 - с 1 морковкой, 2 - с 2 морковками и 2 - с 3 морковками). Добавьте тарелки с 4 и 5 морковками, используя по 3 или 4 тарелки для каждого числа морковок, так что составится множество, по крайней мере, из 15 тарелок. Попросите: "Найди мне тарелку с таким же числом, как / больше, чем / меньше, чем на этой".

Запишите ответ ребенка, отметив галочкой, что он может делать. Помогите ему в более трудных случаях, а несколько позже вернитесь к этому ПУСу снова и проверьте, насколько успешно он усвоил этот ПУС в целом.

Для непрерывных хматериалов, как в ПУСе 49, вы употребляете слово меньше как противоположность к слову больше. Вы можете пользоваться этим словом и в случае, когда предлагаете дискретные материалы, как в предыдущем ПУСе. Так постепенно слово меньше войдет в словарь ребенка.

Повторите ПУС 57, когда малыш сможет сделать второй заход, но теперь регулярно произносите слово меньше. В то же время вы можете вводить выражение не так много, как, не столько, как.

Поскольку эти выражения постоянно употребляются в повседневной речи, не забывайте о них.

Теперь мы хотим проверить, умеет ли ребенок обращаться с малыми числами, когда задание не столь прямолинейно, а формулируется с использованием названий чисел. Продолжаем занятие с теми же материалами, как в ПУСе 57, используя набор тарелок. Задайте ему следующие вопросы:

Вопрос 1:"На которую тарелку положено 1/2/3/4/5 предметов?"

Вопрос 2: "Ты можешь найти другую тарелку с таким же числом предметов?"

Вопрос 3: "Сколько предметов на той тарелке?" (указывая на 3-ю тарелку).

Не идите по порядку от 1 к 5. Переходите от числа к числу случайным образом. Используйте контрольный дневник, чтобы следить за успехами ребенка.

Теперь мы собираемся отказаться от тарелок и блюдец и будем сравнивать группы объектов различного внешнего вида, которые все же содержат одинаковое число объектов. Некоторые группы объектов могут растягиваться в более или менее разреженные ряды, другие могут располагаться в виде треугольников или квадратов большего или меньшего размера. Можно предметы класть в плоские банки или в узкие трубки, так что одно и то же число предметов будет иметь разную высоту. Кубики из пластмассового конструктора можно положить рядом или друг на друга. Взгляните на рис. 19, чтобы понять, что мы имеем в виду. Попросите: "Найди банку / ряд / фигурку (и т. д.) с 1/2/3/4/5 шариками в ней", "Теперь найди другую, такую же".

Сначала используйте только бусинки или ракушки. Затем, если ребенок будет давать правильные ответы, начните смешивать различные виды материалов. И если он успешно пройдет через этот ПУС, то это значит, что он может абстрагировать малые числа до 5, отвлекаясь как от природы объектов, так и от их пространственного расположения. Этого достаточно для маленького ребенка; не ждите от него, что он с первого раза сделает много.

Рис. 19

В действительности этот ПУС комбинирует ПУСы 57 и 60. До тех пор пока ребенок не овладеет навыками этих ПУСов, нет смысла давать ему ПУС 61. Используйте те же материалы, что и в ПУСе 60. Попросите: "Найди мне набор с таким же числом, как / больше, чем / меньше, чем этот ряд / набор", указав ему на одну из групп, как вы это делали раньше. Облегчите начало, оставаясь в интервале от 1 до 3 и используя только один тип материала. Усложняйте задачу введением материалов различного типа и увеличивая число предметов в наборе до 5. Возможно, вы закончите примерно с 15 различными наборами по три вида предметов, комбинируя все - от морковок до кубиков из конструктора. Используйте контрольный дневник для записи ответов ребенка. Когда он сбивается, старайтесь вскрыть причину его ошибки. Может быть, при ответе он обращает внимание на одно из измерений. Например, ему может казаться большим ряд из 3 раздвинутых бусинок, чем из 3 сдвинутых вместе, В любом случае старайтесь помочь ему, уменьшая разницу внешнего вида сравниваемых групп. Уменьшите разницу между двумя группами, сдвинув растянутую группу теснее или растянув плотно собранную группу. Не имеет значения, будете ли вы в это время говорить о группах, рядах или множествах. Если хотите, используйте эти термины попеременно, чтобы подвести ребенка к идее множества, не обращая внимания на то, что это настоящий научный термин. Раньше, чем вы думаете, он начнет говорить о множестве как заправский математик.

Ради шутки вы можете попросить ребенка показать вам множество, в котором меньше чем один предмет. Это его озадачит. Не дожидаясь его смущения, подскажите, что меньше одного - это ничего, и вместе посмейтесь, глядя на ничто.

В ПУСе 28 мы начали заниматься счетом вслух. Вы можете время от времени возвращаться к этому занятию, чтобы посмотреть, как ребенок делает успехи. Обычно дети равномерно продвигаются по этому пути в удобном им темпе без больших трудностей. Им может надоесть декламация чисел так же, как они иногда устают повторять детские стишки, но, как правило, большинство детей придают значение тому, что они могут продвигаться дальше по этой дороге и видят вызов себе в вопросе: "До скольких ты можешь считать?"

Мы полностью убеждены в ценности сотрудничества и поэтому старались уменьшить соревновательный аспект обучения, который родители должны совершенно исключить. Тем не менее для ребенка это совершенно естественно. Это не соревнование в узком смысле слова и не тестирование. Просто всем нам надо знать, что для нас возможно, а что нет, что нам по силам, а что вне нашего диапазона. Даже взрослые, если у них сохранились чувства и остатки духа приключений, продолжают испытывать пределы своих возможностей, когда жизнь бросает им вызов. Превращение в родителей - один из таких вызовов.

Дети более, чем взрослые, тяготеют к приключениям. Они должны быть такими. Жизнь непрерывно взрывается вокруг них по всем направлениям одновременно. Если они не исследуют окружающий мир, то они не развиваются.

Все это может казаться очень далеким от счета вслух. Но просто понаблюдайте. Понаблюдайте, как ваш ребенок собирает вместе кусочки, шагая от раз, два, три в детском стишке до 11, 12 и дальше, явно по той единственной причине, что он хочет прийти куда-то туда, где бы это "туда" ни оказалось. Это верно и относительно счета вслух. Счет вслух - часть секрета, "куда" ведут числа. Так, до скольких он может сосчитать?

Используйте обычные бусинки или морковки, выстроенные в ряд, круг и, наконец, насыпанные просто кучкой. Распределите ПУС по трудности, начиная с 3 предметов в ряду и кончая 10 в кучке. Спросите: "Ты можешь посчитать это для меня?", "Сколько здесь?" Покажите ребенку, как это сделать, если он не знает, о чем вы говорите. Затем пусть он посчитает. Оставьте числа меньше 3, используйте их только для демонстрационных целей. К этому времени ребенок уже сможет субитировать очень малые числа, и его надо поставить в немного более трудную ситуацию, требующую счета по биркам.

Допустим, что ребенок овладел техникой счета по биркам. Может ли он использовать этот счет, чтобы установить, содержится в одной из групп предметов столько же, больше или меньше, чем в другой? Используйте пары групп из бусинок или ракушек, причем в одних парах обе группы содержат равное число предметов, а в других - разное. В каждой группе должно быть больше 5 предметов, так как мы хотим побудить ребенка считать по биркам, а не субитировать. Различная окраска предметов из двух множеств поможет ему ясно различать множества. ПУС 62 должен вам показать, как далеко вы можете зайти, так что не превышайте верхний предел счета по биркам, на котором ребенок остановился. Предложите ему две группы предметов, расположив их бок о бок в два ряда так, чтобы длина рядов была одинаковой. Спросите: "Можешь ты пересчитать эти два ряда и сказать мне, одинаковы ли они, или в одном из них предметов больше?" Посмотрите, как он справится. Придумайте и сделайте свой собственный контрольный дневник, разделяя ПУС обычным образом на отдельные шаги по различиям в расположении предметов.

Продолжайте ту же общую процедуру и с теми же материалами, как в ПУСе 63. Спросите: "Теперь можешь ли ты сказать, одинаковы ли ряды, или в одном из них предметов больше? Я не хочу, чтобы ты считал. Посмотри, можешь ли ты сделать это так?" Покажите ему установление соответствия, составляя пары из предметов из одного и другого множеств, так чтобы ребенок мог видеть, соответствуют ли множества друг другу точно, или в одном множестве предметов больше, чем в другом. Время от времени вставляйте в свою речь слово меньше:

"Да, в этом множестве больше предметов, чем в этом. В этом множестве меньше, чем в том".

В ПУСах 63 и 64 ребенок научился использовать подсчет и попарное соответствие, чтобы определить, содержат ли два множества одинаковое число предметов, или одно содержит больше. Следующая ступень для него - использовать эти способы, чтобы образовывать множества, содержащие то или иное число элементов. Используйте большое число бусинок (намного превышающее его возможности счета по биркам), примерно поровну окрашенных в два различных цвета.

Выложите в ряд 5 или 6 бусинок красного цвета. Спросите: "Сколько здесь бусинок?" (Это опять ПУС 62.) Затем, предлагая голубую кучку, попросите: "Дай мне столько же голубых бусинок". Продолжайте до 10, располагая красные бусинки то по кругу, то в кучке, как в ПУСе 62.

Некоторое видоизменение предыдущего ПУСа. Расположите в ряд такое число красных бусинок, которое ребенок не может сосчитать по биркам. Скажите: "Дай мне столько же голубых бусинок". Если он колеблется или считает и останавливается, скажите: "Смотри. Вот так" - и поочередно возле каждой красной бусинки кладите голубую, образовывая два ряда равной длины. "Видишь как. Теперь попробуй ты". Верните голубые бусинки обратно в кучку, и пусть он действует самостоятельно.

Продолжайте работать с теми же материалами, что и в ПУСах 65 и 66, но выдвиньте новую просьбу: "А теперь сделай так, чтобы у тебя было больше". Помните, что этот ПУС следует прямо за ПУСом 66, так что перед ребенком будут лежать два равных ряда бусинок. Если он колеблется или выглядит озадаченным, добавьте к его ряду одну бусинку и скажите: "Вот, теперь у тебя больше, чем у меня". Вернитесь к ряду, в котором всего 3 или .4 бусинки, чтобы сделать изменение очевидным. Когда ребенок ухватит идею процесса, перейдите к большим множествам, которые он может сосчитать, но не может субитировать. Выйдите за пределы его счета по биркам только тогда, когда он твердо усвоит связь между понятием больше и операцией добавления. "Правильно, давай повторим это". Возвращайтесь через ПУСы 65 и 66, используя счет или установление соответствия, чтобы построить равные множества, а затем пусть он сделает так, чтобы у вас или у него было больше, добавляя что-то к тому или другому множеству.

И наконец, вы можете показать малышу, как сделать больше его множество, убирая что-то из вашего. "Вот теперь у тебя больше, а у меня меньше". Если ему покажется это слишком сложным и неясным, вернитесь к малым числам, например 3 и 4, чтобы он мог непосредственно увидеть, что происходит, и укрепиться в убеждении, что это будет так и тогда, когда вы расширите множество за пределы, в которых этот факт доступен непосредственному восприятию.

Дайте ребенку 4 бусинки и скажите: "Раздели это между нами так, чтобы у нас было одинаково". Ребенок может сделать это просто на глаз, посмотрев, не считая и не прибегая к попарному соответствию. Увеличивайте число бусинок, которые нужно разделить, пока у него не возникнут колебания, как он должен поступить. Затем покажите ему, как делить, используя прием: "Один тебе, теперь один мне". Помимо того что ребенок знакомится с новым для него методом деления, он должен еще проделать это, не принимая во внимание цвета бусинок, который помогал ему в четырех предыдущих ПУСах распознавать свое и ваше множество. Может оказаться, что малышу легче иметь дело с ПУСом 69, если вы пройдете еще раз ПУСы 65 и 67, используя в них бусинки только одного цвета, чтобы он понял, что цветовой признак не имеет значения.

Вначале ему может мешать цвет бусинок, как бы старательно вы ни предлагали эти ПУСы. Если, например, вы выкладывали два ряда из 4 бусинок, причем ваши были красного цвета, а его - синего, и спрашивали: "У нас одинаковое количество бусинок?", он вполне мог сказать "Нет" просто потому, что, как ему кажется, различие в цвете препятствует употреблению слова одинаковое. Обойдите это, как в ПУСе 65, предлагая ему ответить на вопросы об одинаковом числе бусинок разного цвета. Если, однако, окажется, что цветовой признак больше мешает ребенку, чем помогает, то используйте объекты только одного цвета.

Как только ребенок научится делить предметы способом "Один мне, теперь один тебе", покажите ему, как проверить точность этого метода. "Сосчитай свои бусинки. Посмотри, сколько у тебя. Теперь посчитай мои. Вот. У нас обоих одинаковое число". Если он ошибется, пока* жите, как следует действовать правильно, но будьте готовы опустить это ПУС, если ребенок начнет путаться. Для множеств, превышающих его предел счета по биркам, покажите, как проверить правильность деления, поэлементно сравнивая его множество с вашим, расположив оба множества по парам в параллельные ряды. "Смотри, здесь ничего не осталось. У нас обоих одинаково". Ребенок поймет, что для подтверждения и проверки своих выводов можно использовать различные способы.

Теперь мы собираемся усложнить задание тем, что будем брать равные количества предметов, внешний вид которых в отличие от малых серий (ПУС 60) будет теперь различным. Как и прежде, используем бусинки. Вам также понадобятся две банки, сильно различающиеся по форме: одна - низкая и широкая, вторая - высокая и тонкая. Возьмите стеклянные или полиэтиленовые банки, чтобы ребенок мог видеть их содержимое. Пусть он делит до 20 бусинок на две банки разной формы при помощи счета, установления парного соответствия или пользуясь приемом "Одна тебе, другая мне" - по его усмотрению. "Положи в эту банку твои, а мои в ту".

Когда он закончит, спросите: "Итак, у нас одинаково?" Если он скажет "да", спросите почему. Если он скажет "нет", попросите его еще раз проверить путем счета или снова парным соответствием, пока он в самом деле не согласится, что множества одинаковы, хотя и выглядят по-разному.

Не повышайте тон, если ребенок не спешит изменить свое мнение. Используйте меньшие серии, постепенно укрепляя его доверие к процедурам деления и проверки до тех пор, пока он не перестанет судить о количестве по его внешнему виду и станет опираться на свои вновь приобретенные навыки. Пусть он поверит в правомочность использования этих операций для ответа на решающий вопрос: "В этой банке больше или меньше, чем в другой, или в них обеих одинаково?"- и усвоит, что эти процедуры дают надежные ответы.

Возвратившись к ПУСу 57, вы можете теперь расширить этот ПУС до чисел, превышающих 5, предложив ребенку группу объектов больше 5 и попросив его набрать еще одну группу с таким же числом объектов, или с большим, или с меньшим числом предметов. "Это твои, набери мне другое множество с таким же / большим / меньшим числом предметов в нем".

В ПУСе 43 ребенок научился упорядочивать по размеру ряды, в которых имелся только один предмет каждого размера. Теперь мы предложим ему группировать предметы одинакового размера, чтобы выяснить, сможет ли он упорядочить группы, но руководствуясь не тем, сколько предметов в каждой серии, а в соответствии с размерами предметов, составляющих группы.

Используйте набор палочек разной длины, в котором имеется несколько палочек определенной длины; полезны также нитки бусинок, имеющие разную длину. Дайте ему длинную и короткую палочки и, сказав: "Положи большую сюда, а маленькую туда", разложите их на достаточном расстоянии друг от друга. Затем продолжайте давать ребенку одну за другой длинные и короткие палочки так, чтобы он мог сделать отдельные кучки. После того как вы израсходовали все палочки этих двух длин, протяните ему палочку среднего размера. Позвольте ему складывать отдельно другую кучку или положить эту палочку в одну из двух имеющихся кучек, не пытаясь воздействовать на него на этой стадии. Затем дайте ему очень короткую палочку, а следом за ней очень длинную, и пусть он снова решает, как ему нужно рассортировать их.

Затем спросите его: "Почему ты сделал так? Почему ты положил маленькую сюда, а большую и среднюю туда?"

Послушайте, что он скажет. Если он не рассортирует их непосредственно, вернитесь к ПУСу 43, затем попробуйте ПУС 73 с нитками бусинок, кубиками и т. д. Как только ребенок усвоил идею об упорядочении групп по размерам входящих в них предметов, переходите к кругам, банкам с водой и шарикам из глины. К тому времени, когда малыш закончит эти ПУСы, он сможет справляться с рядами длин, площадей или объектов, просто отвечая на просьбу: "Разложи предметы по кучкам и посмотри, чтобы все кучки располагались по порядку".

Продолжайте ПУС 73, вводя более точные термины: длинный и короткий для палочек и ниток бус; больший и меньший для кругов; больше и меньше для ниток бус, воды и глины. Попросите: "Положи сюда длинную, а туда короткую" (говоря о палочках и нитках бус); "Положи сюда ту, в которой большее количество, а туда ту, в которой меньшее" (о нитках бус, глине и воде).

Заметьте, что нитки с бусинками использованы для того, чтобы связать различие между палочками, которые отличаются по длине, и непрерывными материалами, которые отличаются объемом, путем введения числа - без использования его в качестве критерия. Каждая бусинка является единицей, так что нитка из 6 бусинок вдвое длиннее нитки из 3. Нет надобности упоминать ребенку об этом на данной стадии, поскольку он едва успевает впитывать информацию, но, если он благополучно проходит через этот ПУС, вы можете привлечь внимание малыша к разному числу бусинок на нитках разной длины, не предлагая с ними что-нибудь делать. Отметьте также, что большой и маленький - родовые слова, которые можно заменить более точными терминами (для некоторых материалов, но не для площадей кругов).

Вернитесь к ПУСу 43, чтобы подвести ребенка к этому ПУСу. Используйте те же виды материалов, что в ПУСах 73 и 74, но только с одним образцом каждого размера и, по крайней мере, пятью различными размерами. Мы хотим развить понятие о рядах, элементы которых располагаются в соответствии с размером (самый большой, наибольший из оставшихся и т. д.) и в соответствии с количеством материала (наибольшее, наибольшее среди оставшихся и т. д.). Начните с набора из 3 палочек, составляющих ряд,- из наибольшей, средней и наименьшей и добавляйте предметы, увеличивая ряд по мере продвижения ребенка вперед. Попросите: "Найди самую большую", "Теперь следующую по величине", "А теперь еще одну следующую по величине" и т. д., пока вы не исчерпаете ряд. "Положи палочку на ее место в ряду". Повторите процедуру, начиная от самой маленькой палочки, самой длинной, самой толстой, самой тонкой и т. д. Затем перейдите к непрерывным количествам, используя термины самое большее и следующее по величине.

Опять те же материалы. Мы хотим узнать, может ли ребенок использовать слово больший и ему подобные в более общей форме. То есть сможет ли он отобрать все предметы, большие, чем определенный экземпляр, в том случае, когда все эти большие предметы будут разного размера. Отобрав экземпляр, относящийся примерно к середине ряда, попросите: "Найди мне все, которые больше / длиннее / короче / меньше (и т. д.)". Или с количествами: "Найди мне те, которые содержат больше / меньше, чем это".

Теперь, когда малыш может сортировать по размерам, нам нужно узнать, может ли он самостоятельно использовать соответствующие слова. Продолжайте занятие с теми же материалами, как в ПУСах 75 и 76. Вернитесь к ПУСу 43, используя только три отдельных предмета, и скажите: "Разложи их по порядку. Сюда положи самый большой, а затем другие рядом". Когда он это сделает, попросите: "Теперь назови мне их". Если ребенок придет в замешательство, подскажите ему, указывая на следующий: "Вот это самый большой. А какой это?" Наиболее удачный ответ: "Средний", но приемлем: "Следующий большой". Теперь повторите процедуру, добавляя к серии предметы и ставя те же вопросы. Попытайтесь, чтобы он назвал каждый член ряда. Если он пройдет по ряду, говоря: "Самый большой, следующий большой, следующий большой (и т. д.)", начните с ним с другого конца ряда, говоря: "Самый маленький, затем какой?" Спросите его: "Где предмет среднего размера?" или "Покажи мне предмет среднего размера".

В этой ситуации есть логическая трудность, так как любой отдельный предмет ряда, который не является ни самым большим, ни самым маленьким, ни средним, является как "следующим большим", так и "следующим маленьким" в зависимости от точки отсчета. Ребенок может попытаться разрешить эту дилемму, используя один тип описания при движении от одного конца ряда до его середины и перейдя затем к альтернативному описанию при движении от середины к другому концу ряда. Что бы он ни делал, двусмысленность остается. Он должен принимать ее так же просто, как это делаете вы, и, подобно вам, он даже не заметит этого противоречия, пока вы ему на него не укажете. Не беспокойтесь. У него будет меньше затруднений, если вы дадите ему возможность принять точку зрения, которая ему больше подходит.

Мы собираемся теперь (как будто у малыша было мало хлопот!) обратить его внимание на тот факт, что объекты могут меняться в двух измерениях и что эти измерения могут вести к противоречию в том смысле, что объекты можно отнести к разным категориям в соответствии с тем, какое измерение рассматривается. Возьмите набор объектов, изменяющихся по длине и ширине, взяв по два значения длины и ширины, что даст четыре вида объектов. Вам нужно, по крайней мере, два объекта . каждого вида, т. е. всего, как минимум, восемь объектов. Можно использовать кубики (вполне подходит строительный набор), карандаши или ручки, мелки, шарики, сделанные из глины, или стаканы с водой. Попросите ребенка рассортировать эти объекты только по одному измерению, игнорируя другое, так что все объекты разделятся только на две группы. Например, скажите: "Отложи все высокие предметы сюда, а все низкие - туда". Затем заново их перетасуйте и переходите к их делению по следующим признакам: длинный и короткий, толстый и тонкий, узкий и широкий.

Этот ПУС непосредственно вытекает из ПУСа 78. После того как объекты рассортированы в две группы по отношению к одному измерению, предложите добавочно поделить эти группы по отношению ко второму измерению, чтобы получилось четыре группы. Сначала попросите его: "Положи высокий / толстый / широкий (и т. д.) предмет сюда, а низкий I тонкий /узкий - туда". Теперь у него две группы предметов, скажем коротких и длинных, как в ПУСе 78. Теперь скажите ребенку: "Положи высокие тонкие сюда, а высокие толстые туда". Затем: "А теперь низкие тонкие сюда, а низкие толстые сюда". Это дает в результате четыре группы, основанные на комбинировании размеров.

Кроме употребления размера как свойства вы можете также легко взять в качестве основы для классификации цвет, форму или, как в случае ПУСов 57-61, число; значительно раньше, в ПУСах 7 и 17, подобным же образам были использованы классы смысловых объектов.

Для нескольких следующих ПУСов вам нужно приготовить набор пластинок, гладких с одной стороны и разделенных на одинаковые квадраты или прямоугольники с другой стороны (см. рис. 20). Возьмите две пластинки, каждая из которых образована четырьмя единицами, но на одной из пластинок единицы располагаются в ряд, а на другой - в виде квадрата 2x2. Обоз-"начим эти пластинки через А и В. Дайте ребенку эти пластинки, и пусть он их самостоятельно рассматривает. Когда он удовлетворит свое любопытство, укажите на одну из них и спросите: "Эта пластинка имеет такую же поверхность, как и другая, или одна из них больше?" Весьма вероятно, что малыш не поймет, чего вы от него добиваетесь, и будет ждать дальнейших разъяснений или же спокойно предположит, что у вас болит голова, и из вежливости перенесет интерес на что-нибудь еще. В таком случае отложите вопрос на будущее, а если вы не хотите, чтобы у него осталось впечатление, что вы не совсем здоровы, вернитесь к своему вопросу, указав ему на квадраты или прямоугольники: "Посмотри, на обеих пластинках четыре клеточки. У них должна быть одинаковая площадь". Вы можете здесь использовать слово площадь, поскольку оно уже имеет смысл и, возможно, его проще понять в этом контексте, чем слово поверхность.

Рис. 20

Ваша задача - помочь ребенку связать операции счета или непосредственного восприятия малых чисел, которые он прошел в ПУСах 54 и 56 (с. 113, 114),с единичными квадратиками, замещающими место дискретных объектов. Как только он воспримет, что обе пластинки, имеющие разную форму, содержат одинаковое число квадратиков (или прямоугольников), он окажется на пути к пониманию, что подразумевают, когда говорят об одинаковых площадях.

Позже вы можете расширить этот ПУС до 6 единиц площади, используя пластинки С и D, показанные на рис. 20.

Продолжите ПУС 80, заменив А на Е или F, и задайте тот же вопрос. Уравновесьте выбор второй пластинки для сравнения, указывая попеременно на пластинку вида 2x2 и на пластинки с 3 или 5 единичными квадратиками, выстроенными в ряд. Если вы хотите побудить ребенка к употреблению слов больше, меньше, одинаково по отношению к площади, то соответственно измените форму вопроса. Выберите одну пластинку из пары и спросите: "Эта пластинка имеет большую или меньшую поверхность, чем другая пластинка, или же обе пластинки имеют одинаковую поверхность?" Используйте слово площадь, как только ребенок начнет его понимать. "У этой пластинки площадь больше или меньше, чем у другой, или же площади обеих пластинок одинаковы?" Если он не готов самостоятельно употреблять эти слова в речи, вернитесь к методике вопросов: "Покажи мне пластинку, в которой площадь больше/меньше, чем у этой".

Сам путь, с помощью которого мы подводим ребенка к сравнению площади, помогает ему исключить ориентацию объекта из числа признаков. Дело, однако, обычно обстоит по-другому, когда малыша просят сравнить два объекта, которые различаются между собой в двух измерениях. Как правило, он склонен предпочесть одно измерение другому и считать, вообще говоря, высоту более важной, чем ширину. Чтобы убедиться, что ориентация его не смушает, предложите ему пластинки G и Н, показанные слева на рис. 21. Если он согласен с тем, что их площади одинаковы, потому что каждая из них содержит 4 клеточки, поверните обе карточки на 90°, чтобы они выглядели, как показано на том же рисунке справа, и задайте снова тот же вопрос. Не слишком удивляйтесь, если малыш изменит свое мнение. Отметьте, что они обе содержат по 4 клеточки, и на этом остановитесь.

Рис. 21

Скомбинируйте ПУСы 80 и 82, чтобы установить, что ребенок умеет определять равные и различные площади, не взирая на ориентацию фигур, а полагаясь на метрические признаки. Если вы уверены, что он с удовольствием занимается подобными сравнениями, предложите ему пластинки А и В или G и Н и одновременно поставьте вопрос в той форме, которая ему понятна. Когда он придет к убеждению, что площади пластинок одинаковы, поверните обе пластинки чистыми сторонами кверху, как показано на рис. 22, и спросите: "А теперь их площади одинаковы?"

Рис. 22

Это, в сущности, вопрос об идентичности. Это те же самые пластинки. Ничего не изменилось, за исключением того, что исчезли метрические признаки. Если ребенок изменит свое мнение и решит, что теперь их площади стали различными, переверните одновременно пластинки, показывая, что каждая из них состоит из 4 единиц площади. Пройдет время, прежде чем ребенок усвоит глубокую простоту подобных соображений.

Переходите к пластинкам С и D, как только у ребенка появится к этому интерес. Затем комбинируйте эти различные ПУСы до тех пор, пока он не усвоит, что идентичность равных и неравных площадей сохраняется независимо от их ориентации.

Для упрощения этого ПУСа используйте только одну пластинку, положив ее расчерченной поверхностью вверх. "Сколько здесь квадратиков / прямоугольников?" Допустим, он сказал, что здесь 3 или 4 квадратика (как это и есть на самом деле); переверните пластинку и спросите: "Это все еще та же самая пластинка?" (Это качественная идентичность - сохранение тождественности предмета, как такового.) Затем спросите: "На ней все еще три квадратика?", или "У нее все еще та же площадь?", или "Она все еще имеет тот же размер?" Все эти вопросы относятся к количественной идентичности площади, связанной с пластинкой. ПУС, предлагаемый таким образом, становится намного легче, потому что два вида идентичности сравниваются отдельно; к тому же рассматривается только одна пластинка, и ее свойства легче удерживать в памяти.

а) Преобразования, изменяющие внешний вид, но не количество.

Мы хотим узнать, сможет ли ребенок при изменении внешнего вида малых групп сообразить, что они сохраняют то же число и в этом отношении остаются теми же, что и прежде.

Используйте для начала не более 3 бусинок или пуговиц, затем перейдите к 5. Разложите бусинки в ряд, спросите:

1. Сколько здесь бусинок?
2. Если я расставлю их шире, будет ли их по-прежнему 3?
3. Будет ли одинаковым число бусинок? Затем увеличьте промежутки между 3 бусинками, чтобы удлинить ряд, как показано на рис. 23. После преобразования спросите ребенка:
4. Что произошло?
5. Здесь все еще 3 бусинки?
6. Здесь все еще то же число бусинок?

Рис. 23

Ответ, которого мы ожидаем на вопрос 4, может содержать некоторую ссылку на компенсирующие изменения во внешнем виде: «Этот ряд длиннее, но он более растянут (менее сдвинут)». Если ребенок выполнит задание с 3 бусинками, переходите к 4 и 5, используя ту же процедуру.

Используйте те же бусинки или пуговицы; расположите 3 штуки маленьким треугольником и задайте ребенку первые три вопроса из ПУСа 84. Затем растяните их в больший треугольник и задайте следующие три вопроса. Переходите к 4-й и 5-й бусинкам, используя для 5-й бусинки квадрат с бусинкой в центре.

Для этого ПУСа кроме бусинок вам понадобятся две прозрачные банки, одна высокая и тонкая, а другая низкая и широкая, как в ПУСе 71, но поменьше. Положите 3 бусинки в одну из банок, затем задайте ребенку первые три вопроса (как в ПУСах 84 и 85), изменив второй вопрос следующим образом: «Если я высыплю бусинки из этой банки в другую, будет ли у нас по-прежнему 3 бусинки?" Затем переложите их в другой сосуд и задайте последние три вопроса. Если вы играли размеры сосудов так, чтобы они точно соответствовали размену пуговиц или бусинок, то тогда в одном сосуде бусинки лягут на дно, а в другом - будут Располагаться столбиком, так что их общая высота и ширина изменятся (см. рис. 23). Переходите к 4-й и 5-й бусинкам, если ребенок к этому готов.

Последние три ПУСа намного сложнее, чем это кажется на первый взгляд. Вы должны это иметь в виду, если обнаружите, что малыш меняет свои ответы на эти шесть вопросов, столь простых на вид. Если он запнется, ободрите его, подскажите, что он может посчитать, чтобы разобраться в происходящем. "Попробуем их сосчитать. Давай посмотрим".

Для облегчения или усложнения этих ПУСов есть и другие пути, кроме изменения числа объектов от 3 до 5. Решение будет более легким для ребенка (хотя, может быть, не для вас), если он будет сам производить преобразования, вместо того чтобы смотреть, как вы делаете их для него. Пока преобразования делаете вы, ребенок никогда не может быть уверен, что в ситуацию не привнесены некоторые фокусы взрослых, влияющие на изменение и числа, и внешнего вида.

Чтобы сделать ПУС более трудным, пользуйтесь экраном (или пусть малыш закрывает глаза) на то время, пока вы производите преобразование. Используя банки, вы можете провести прекрасный опыт, чтобы определить, насколько влияет на решение ребенка признак, замечаемый визуально. В ПУСе 86 вы использовали прозрачные банки, которые позволяли ребенку видеть бусинки до преобразования и после него. Попробуйте провести этот ПУС с непрозрачными банками. Как вы думаете, будет ребенку легче или труднее?

б) Преобразования, изменяющие количество.

Теперь мы хотим узнать, замечает ли ребенок добавление и убавление в очень маленьких группах предметов, когда их внешний вид меняется незначительно.

Как и прежде, используются пуговицы и бусинки, не более 5 штук, причем предлагаются они, как в ПУСах 84 и 86. Начинайте с 3 объектов, расположенных в ряд. Спросите:

1. Сколько здесь пуговиц / бусинок?
2. Что произойдет, если я одну уберу?
3. Сколько их будет теперь?
4. Теперь что произошло?
5. Сколько здесь?
6. Здесь по-прежнему три?
7. Сколько здесь?
8. Здесь все еще то же самое число, какое было, или стало больше / меньше / не больше?

Вопросы 6 и 7 можно опустить, если малыш правильно ответит на вопрос 5. В дротивном случае задайте их, чтобы он мог снова подумать. Осторожно варьируйте форму вопроса 8: меняйте порядок, в каком вы говорите то же, больше и меньше, потому что есть большая вероятность, что ребенок согласится с последним вашим словом, если он в себе не уверен. Ответ меньше предпочтительнее, чем не больше, однако действуйте сообразно с успехами ребенка и пусть он употребляет то выражение, которое в данный момент кажется ему более подходящим.

Повторите, упражнение, увеличив число предметов до 5 и добавив или убавив всего 1 предмет, пока малыш не уловит, что можно себя проверить, если назвать вам число предметов, и пока не сможет ответить, осталось число предметов тем же или стало большим. Обязательно подтверждайте его ответы: "Да, здесь 3 предмета" или "Да, здесь больше", когда он прав. Если он говорит неправильно, то: "Нет, давай попробуем снова" или "Давай посмотрим".

Этот ПУС предназначен для объединения того, что ребенок делал в ПУСах 84 и 87. По этой причине он критический. Используя те же материалы и ситуации, мы хотим проверить, может ли малыш отличить изменение внешнего вида от преобразования при добавлении (убавлении). В ПУСах 84-86 мы изменяли вид совокупности предметов, но не их число. В других же ситуациях мы (в ПУСе 87) меняем число, добавляя и убавляя предметы, но намеренно не изменяя, насколько это возможно, внешнего вида. Объединяя эти ситуации, мы собираемся одновременно менять число и изменять внешний вид расположения предметов. Переходите от одной ситуации к другой случайным образом с тем, чтобы ребенок полагался на единственный признак, опора на который дает ему правильный ответ, т. е. на число, и не принимал во внимание ничего другого. Чтобы сделать этот ПУС критическим, проводите преобразования так, чтобы малыш не видел, что вы делаете. Это лакмусовая проба: может ли он определить вид преобразования по его результату, не видя самого процесса преобразования.

В своей общей форме этот ПУС идет следующим образом: "Посмотри на бусинки / пуговки. Сколько их здесь?" Затем примените преобразование, добавив / убавив 1 бусинку, либо изменив внешний вид, либо сделав и то и другое одновременно. Если вы начали ПУС с 4 объектов, выстроенных в ряд, то вы можете преобразовать его, добавив или убавив 1 предмет, перестроив их в квадрат или же добавив предмет и одновременно перестроив ряд в квадрат с одним предметом в центре. Варьируйте ситуации насколько возможно, но пока оставайтесь в пределах 5 предметов. Вы можете обнаружить, что ребенок не затрудняет себя счетом по ярлыкам. Если он получает при этом правильные результаты, это очень хорошо.

Следующие три ПУСа критичны в том смысле, что они определяют, готов ли ребенок для перехода к фазе IV. По сути дела, мы хотим узнать, научился ли он использовать правильный признак сравнения и нужную процедуру, если ему предлагается более сложная числовая проблема. Хотя материалы - бусинки и пуговицы - чрезвычайно просты, задание по сложности превышает все, с чем он до сих пор сталкивался.

Выложите перед ребенком два ряда с равным числом объектов, но при этом один ряд должен быть уплотненным и на вид коротким, а второй - растянутым и более длинным. Можно усилить различие между рядами за счет окраски предметов каждого ряда в свой цвет. Используйте достаточно большое число предметов, превышающее его возможности в счете по ярлыкам, которые определялись в ПУСе 62 и в текущих занятиях. Спросите: "Эти два ряда содержат одинаковое число бусинок или в одном из них больше, чем в другом?" Пусть ребенок считает или устанавливает попарное соответствие между сравниваемыми рядами как ему угодно. Понаблюдайте, что он делает, и обратите внимание на его ответ. Если он скажет, что ряды одинаковы, то спросите: "Как ты узнал?" Возможно, он ответит, что в рядах одинаковое число бусинок, и сможет показать это установлением попарного соответствия в том случае, когда число объектов превышает предел его умения в счете по ярлыкам. В этом случае переходите сразу к ПУСу 91. Если же (в случае, когда число объектов выходит за его возможности в счете по биркам) ребенок будет судить по длине рядов, т. е. по ложному признаку, проведите ПУС 90, взяв ряды с таким числом объектов, которое малыш может сосчитать по биркам, и уменьшив разницу в длине двух рядов. Когда малыш справится с заданием, последовательно усложняйте ПУС, увеличивая различие в длине рядов.

Допустим, что в ПУСе 89, когда ряды равны, ребенок говорит, что в одном ряду предметов больше, чем в другом. Тогда спросите его: "В котором из них больше?", "А как это ты узнал?" Если он выбрал более длинный ряд и может попытаться обосновать свой выбор, то, вероятно, скажет: "Потому, что он длиннее". Если он выберет более короткий ряд, то, вероятно, скажет: "Потому, что здесь бусинки более плотно расположены". В любом случае, не противореча ему, заслоните от него ряды и уберите по одной бусинке из каждого ряда (так, чтобы ряды остались равными). Покажите ему оба ряда и задайте вопрос: "Теперь одинаковое количество?" Если вы будете убирать бусинки попарно из каждого ряда, то в конце концов ребенок скажет, что в каждом ряду одинаковое количество бусинок, и сможет это правильно доказать либо установлением попарного соответствия, либо счетом по биркам.

Этот правильный ответ означает, что вы подошли к пределу возможностей ребенка. В связи с этим вы можете провести обратную процедуру, теперь добавляя попарно бусинки в ряды, чтобы определить, может ли он повысить свой предел после того, как на малых рядах обнаружил, что раньше он пользовался ложным признаком соответствия.

Возможно, этот ПУС доставит малышу хлопоты и он будет упорствовать в том, что в длинном ряду больше бусинок, даже тогда, когда количество бусинок в ряду вы сократите до 2. В этом случае представляется сомнительным, что он действительно понял существо дела. Ведь в предыдущих ПУСах этой фазы требовалось, чтобы он считал по биркам и устанавливал попарное соответствие между рядами с числом объектов больше 5, а для меньших чисел субитировал, т. е. полагался на непосредственное восприятие двоичности или троичности без каких-либо формальных операций. Если же он теперь будет настаивать, что "растянутое" 2 не то же самое число, что 2, "сдвинутое вместе", сделайте противоречие еще более наглядным, прибавив 1 к более короткому ряду, но оставив его короче, чтобы посмотреть, не заставит ли это ребенка переменить суждение. Если он все еще не может увидеть, что 3 в более коротком ряду больше, чем 2 в более длинном, то можно совершенно определенно сказать, что он не готов для перехода к фазе IV. Поэтому на некоторое время отложите этот ПУС и вернитесь к более простым заданиям, начиная от ПУСа 54 (с. 113) и далее.

Предположим, что малыш выполнил ПУС 89, поскольку предел его счета по биркам достаточно высок и ему не нужно было устанавливать попарное соответствие, так как числа не вышли за пределы его счета по биркам. В этом случае проверьте его. следующим прямым следствием из ПУСа 89. Закройте от него оба ряда, чтобы он не видел, что вы делаете. Добавьте 1 или 2 бусинки к более короткому ряду так, что, хотя он будет выглядеть по-прежнему короче, в нем будет больше бусинок, чем в более длинном ряду, а затем спросите: "А теперь ряды одинаковые?" Если он сможет показать вам, что в коротком ряду больше бусинок, чем в длинном, он по-настоящему готов к фазе IV. Вы просто не в состоянии установить его числовой предел с помощью ПУСа 90, поскольку он далеко продвинулся.