Фаза II. Начала счета и логики

Глава 6. Поле занятий расширяется

До сих пор наше внимание было сосредоточено на том, чтобы развить все возможные способности ребенка, на которые он должен будет опираться при обучении счету. Предполагалось, что ребенок будет заниматься тем, что ему нравится, и попутно извлечет пользу из некоторых наиболее важных ПУСов. Этот процесс будет продолжаться и во второй фазе. Как и прежде, ребенок должен иметь возможности изучать окружающие его вещи и выражать свое отношение к ним; с этой целью мы предоставляем ему ПУСы этой фазы. Мы намерены расширить круг операций, увеличив их сложность. Мы также хотим улучшить и обогатить его язык, связав оба этих процесса между собой. Как и предполагалось ранее, теперь будет труднее отделить языковые навыки от навыков выполнения операций. Многие из новых ПУСов включают в себя обе эти стороны развития. Например, один ПУС, который, мы надеемся, ребенок будет выполнять, включает в себя освоение слова длиннее. Теперь если он правильно говорит "Это - более длинная ложка", то это форма отнесения к некоторой категории. Но он может также положить две ложки рядом и сравнить их (операция) так, чтобы прийти к правильному ответу.

В этой главе будут даны основные принципы и занятия по общему развитию, ведущие к ПУСам. Глава 7 посвящена описанию специфических ПУСов вместе с соответствующими дидактическими игрушками. Многие из предлагаемых здесь занятий имеют то дополнительное преимущество, что они бесценны для подготовки вашего ребенка к обучению чтению.

Прежде всего нам нужно ввести новые слова, которые привлекут внимание ребенка к новым аспектам его окружения и побудят расширить круг его действий. Ребенок уже выучил некоторое число слов, которые специально связаны с величиной и числом:

Теперь ему надо овладеть целым набором новых слов, а также уточнить некоторые значения слов, которые он уже знает. Ребенка нужно научить тому, что один означает единичность предмета и что больше значит нечто другое, чем добавление к тому, что уже имеется; это слово может также относиться и к случаю, когда некто имеет больше, чем кто-то еще, если сравниваются два количества.

Кроме слов большой и маленький он должен узнать ряд новых слов для более точного описания размеров: длинный, короткий, высокий, широкий, толстый, тонкий. Пример Джорджа, которому только что исполнилось 3 года, показывает, как происходит переход от понимания слов к их употреблению. Он без труда может выбрать большой предмет или маленький предмет. Если его попросят дать длинный предмет или тонкий предмет, он также уверенно сделает правильный выбор. Но на этой стадии он не может правильно применять эти слова для описания того, что он видит. Когда ему нужно сравнить предметы, то разницу в любом размере он выражает только словами большой и маленький, т. е. он правильно реагирует на слова, выражающие размер, но ему еще предстоит добавить их к своему словарю.

Вначале новые слова нужно просто вкраплять в разговор: "Смотри, какое высокое дерево!", "Какое длинное лицо!", "Какой толстый человек!" Удобным поводом для таких замечаний могут служить картинки. Подобные высказывания в автобусах или других общественных местах, даже если вы их делаете нежным чистым голосом и они сопровождаются милым лепетом ребенка, могут стеснять окружающих.

Как только ребенок привыкнет к этим словам, надо проверить, как он их понимает, используя ПУС 26. Вы можете провести этот ПУС, предложив ребенку указать, кто в семье высокий или толстый и т, д. Можно предложить ему изобразить размеры: "Покажи, как ты умеешь делаться высоким, низким, толстым" и т. д. Вы можете предложить ему выбрать соответствующие объекты из некоторого набора: "Дай мне толстую картофелину /длинную ложку/ тонкий карандаш" и т. д. Короче, начинайте включать в ваши обычные разговоры эти слова.

Если вы видите, что ваш малыш понимает эти слова, побуждайте его использовать их в речи. Один из методов, который применяют при работе с детьми этого возраста,- нарочитые ошибки. Например, найдите что-нибудь очень тонкое и скажите: "Вот какое толстое, да?" Это может его насмешить, и он ответит: "Нет, это тонкое". Такой метод имеет дополнительное преимущество - ребенок привыкает проводить противопоставление. Но этот метод не всегда срабатывает. Если он пропустит возможность обнаружить и исправить вашу ошибку, то вы должны сами поправить себя: "Нет, не так. Это тонкое. Как глупо!" До тех пор пока он не освоит полностью разницы между толстым и тонким, вы можете его легко запутать, если будете делать слишком много преднамеренных ошибок.

ПУС 27 (с. 87), побуждающий ребенка использовать новые слова, обозначающие размеры, логически вытекает из ПУСа 26. Возможно, следовало бы рассматривать эти два ПУСа как один, позволяя малышу продвигаться от понимания к произнесению слов в период, наиболее важный для развития ребенка.

Нужно, чтобы ребенок осваивал больше слов, используемых при счете. Лучше всего вводить их через детские стишки и песенки, например:

Раз, два, три, четыре, пять - 
Вышел зайчик погулять -

и через такие сказки, как "Три поросенка". Они пригодятся в ПУСе 28.

Совсем не обязательно, чтобы ребенок при этом учился счету. Возможно, это лучше оставить для следующей фазы. Важно, чтобы ребенок интуитивно понял, что существуют слова, выражающие числа, что они подчиняются определенному порядку. Это называется счет наизусть.

На этой ступени последовательность чисел имеет не больше значения, чем последовательность букв в алфавите. Позднее он воспримет те свойства чисел, которые присущи им как членам последовательности, так же как, когда он станет старше, ему нужно будет заучить порядок букв в алфавите, чтобы использовать словарь.

На этом уровне для наших целей счета наизусть почти достаточно, хотя и не вполне. В том, что касается малых чисел, ребенок готов сделать в высшей степени примечательный шаг. Раньше или позже он наряду со способностью говорить один, два, три заметит важное значение слова один - как способа обозначения единичности предмета. В такой форме это может звучать как сама собой разумеющаяся мелочь. Можно выразить это по-другому, сказав, что ребенку нужно понять разницу между отдельным котом или кубиком и многими котами и кубиками. Это - разграничение один - много. В ПУСе 6 он взял старт с один и два, когда учился давать вам один или два кубика по вашей просьбе. Теперь же, как только он научится использовать два для обозначения двоичности пары объектов, он может перейти к обозначению словом три троичности, которую мы теперь определяем как свойство, общее всем тройкам объектов. Продолжая, можно сказать, что каждый набор из четырех предметов обладает четверичностью. Как правило, ребенок не станет считать, имея всего один объект; он может считать, когда имеются два объекта; почти определенно можно сказать, что четыре предмета он должен будет сосчитать для избежания ошибки.

Теперь мы вступаем в область теории множеств, которая образует основу так называемого нового математического мышления в школах нашего времени. Родители, выросшие до того, как на сцене появилась теория множеств, не всегда доброжелательно относятся к тем домашним заданиям, которые их отпрыски представляют им для проверки или разъяснений. Шаг за шагом прорабатывайте эти задания вместе с ребенком, и никто из вас не будет испытывать затруднений.

Как и взрослые, малыши обладают способностью к субитации, т. е. определению численности группы объектов прямо на глаз, не считая их, пока группа не очень велика. Для взрослых максимальное число предметов в группе близко к семи, а для малышей данного возраста (около 3 лет) пределом может быть два или три.

Интуитивное осознание двоичности и троичности не имеет ничего общего со свойствами чисел как членов ряда. Названия ненужны. Если ребенок правильно использует названия один и много, то он может иметь четкое представление о двоичности и троичности, хотя он не может связать, подходящие названия с наборами или множествами из двух и трех объектов. В игре с молотками ПУСа 29 ребенок сопоставляет названия чисел с частями своего тела, которые в определенной последовательности участвуют в игре. Теперь мы хотим, чтобы он отделил эти названия от конкретной последовательности и связывал их непосредственно с множествами, состоящими из двух и трех предметов. Это большой скачок. Не ждите, что ребенок немедленно его сделает. Мы подходим вплотную к сущности числа, как его понимают математики.

Используя наборы, содержащие небольшое число предметов, научите ребенка применять названия один, два, три таким образом, как он это делает, говоря большой и маленький. Вы можете сказать во время еды: "Два кусочка тебе", когда вы раскладываете разрезанный на дольки персик. Это совсем не то же самое, что говорить: "Один кусочек, два кусочка". Понимание этого приведет нас к различию между количественными и порядковыми числами. В данный момент мы можем отложить большую часть теории в сторону, пояснив только суть этого различия. Короче говоря, выражение "Вот два куска" относится к характеристике, присущей паре предметов, без указания на то, какой из них является первым, а какой - вторым. Но когда мы говорим: "Один кусок, два куска", то мы вводим порядок, и теперь слово два приобретает свойство, по которому оно относится ко второму члену последовательности из двух предметов. Двоичность пары является ее количественным свойством. Слово два, относящееся ко второму члену последовательности, является порядковым числом. Пусть вас не волнует эта разница. Когда-то вы ее освоили, даже не заметив этого. То же было с другими, и так будет с вашим ребенком.

Очень важно, чтобы малыш научился уверенно использовать слова один, два, три в тех случаях, когда он может субитировать сгруппированные предметы, т. е. видеть их численность непосредственно, не считая их. Переход к устному счету, к которому нужно прибегать, когда число предметов слишком велико, чтобы его воспринимать непосредственно, требует другого тонкого маневра, который мы отложим до следующей фазы.

Когда ребенок выучит эти новые слова и характеристики, к которым они применяются, следующим шагом для него должно стать выяснение сходств и различий, которые лежат в основе использования числа в чистом виде. Мы начнем с признаков сходства, но еще прежде ребенок должен освоить попарное соответствие другим образом: выучить значение или даже несколько значений слов такой же. В ПУСах 34-37 (с. 92 - 94) прежде всего он учится понимать значение выражения такой же для характеристики таких качеств, как цвет или форма. Затем значение слов такой же распространяется на понятие размера и на материалы различных видов.

До сих пор ребенок учился подбирать пары, втыкая колышки в отверстия, как в ПУСе 21 Теперь он должен научиться делать это, не проверяя с помощью какого-либо признака, подходят ли друг к другу предметы попарно, а просто собирая предметы в пары, как, например, ножи и вилки. Этот вид действий описан в ПУСе 33.

Игра в "магазин" используется во многих школах, чтобы способствовать процессу восприятия факта соответствия денег и товаров. В конечном итоге в результате действий такого рода ребенок узнает, что соответствие может быть шире подбора пары по принципу "один подходит к другому" и его можно обобщить до принципа эквивалентности "за пенни можно купить столько-то морковок". Один пенни эквивалентен стольким-то морковкам - это стоимость данного числа морковок. Однако достижение этой цели еще далеко.

Раньше ребенок научился подбирать пары по форме и размеру, пользуясь такими ключами (признаками соответствия), с помощью которых он мог реально примерять колышки к отверстиям или прикладывать фигурки к контурным рисункам. Теперь он должен освоить составление пар без помощи ключей такого рода и расширить это понятие в различных направлениях от отбора по форме и цвету до отбора по узорам, размерам и даже малым числам.

Для заострения внимания ребенка на этих понятиях неоценимы лото с картинками, домино с картинками и некоторые головоломки, которые можно купить или сделать самим. Лото с картинками - игра, состоящая из набора больших карт, разделенных на маленькие квадратики с рисунками, и наборов малых карточек с рисунками, соответствующими рисункам в квадратиках на большой карте. Игра заключается в подборе маленьких рисунков к соответствующим картинкам на большой карте.

Рис. 10

Более сложные формы лото с картинками требуют не просто подбора одинаковых объектов, а подбора пар, элементы которых связаны между собой определенным образом, как, например, нож и вилка. Аналогичное лото "Времена года" состоит из 4 больших картин, по одной на каждое время года, и 40 маленьких карт, по 10 штук на каждый сезон. Начните с простого ПУСа, такого типа, как на рис. 10, и переходите к более сложным, когда ребенок будет к ним готов.

Чтобы самому сделать лото с картинками, надо вырезать подходящие рисунки из журнала, имеющегося в двух экземплярах, и наклеить один комплект рисунков на большие карты, а картинки для подбора на отдельные карточки меньшего размера.

Рис. 11

Домино из картинок представляет собой ряд карт, разделенных пополам, как и обычное домино, но на каждой половинке вместо точек помещены рисунки. Ребенок должен приставлять друг к другу карточки с одинаковыми рисунками.

Лото из картинок можно модифицировать, применив другой вид игры в подбор, похожий на составление разрезных головоломок. В этой игре вместо многих отдельных картинок используется одна большая. К ней и одновременно друг к другу подбираются ее отдельные части. Вначале ребенок использует целую картинку как образец, по которому он собирает отдельные части. Эти части, приложенные одна к другой подходящими краями, восстанавливают единую картину. Немного погодя он уже не чувствует потребности собирать части непосредственно на большой картинке. Вначале он подбирает части, используя большую картинку в качестве образца, который напоминает ему, как должен выглядеть конечный результат. Затем ребенок совсем отложит большой рисунок, всецело полагаясь на свое представление о том, как должно выглядеть целое, и будет использовать для подбора только соответствие краев рисунка друг другу. Этот переход от подбора по внешним признакам к подбору по памяти очень знаменателен. Он подводит его к понятиям единства целого и идентичности ему составленного объекта.

Рис. 12

Аналогичный путь ребенок проходит при игре с некоторыми видами разрезных головоломок. Типична головоломка с поросенком на рис. 13. Ее можно собирать, пользуясь внешними признаками соответствия, так же как в занятии с доской с фигурными прорезями, а можно также подбирать друг к другу ее части по внутренним признакам. По мере развития практических навыков ребенок научится подбору без прямого сопоставления частей в целом и станет при подборе руководствоваться образом, имеющимся в его памяти. Настоящие разрезные головоломки отличаются от логических игрушек такого рода тем, что в них подбор по внешним признакам целиком заменяется подбором по внутренним, логическим признакам соответствия.

Рис. 13

Когда ребенок станет постарше и вы захотите усложнить этот ПУС, можно использовать старые открытки с новогодними поздравлениями. Разрежьте открытку на три или четыре части и предложите ему ее сложить. Чтобы испытать воображение, можно разрезать открытку на части неправильной формы, увеличить число частей. Когда ребенок сможет участвовать в более сложных играх, можно перемешивать части от двух различных открыток. Подобно тому как его забавляет появление гнома, нарисованного на дне его мисочки для каши, развлечение заключается в том, что отыскивается какой-то спрятанный привлекательный объект. Орудовать ложкой в мисочке с кашей и отбирать, сравнивать и размещать в определенном порядке части - одинаково созидательные виды деятельности, хотя и требующие мастерства и понимания различного уровня.

Чтобы заинтересовать ребенка разрезными картинками, вы можете дать их ему как головоломки, отдельные части которых выглядят, например, как на рис. 14. Головоломки этого типа построены по такому же принципу, как и лото.

Рис. 14

В то время как верхняя картинка подчиняется правилам подбора, которые лежат в основе любой разрезной головоломки, нижнюю картинку нужно подбирать к верхней, сопоставляя понятия, а не только внешние признаки соответствия. Это еще один в некоторых отношениях существенный вид принадлежности. ПУС 34 объясняет все это более детально.

До сих пор ребенка учили располагать предметы в определенном порядке только по одному признаку: данный предмет подходит к своему месту. В ПУСе 25 такое прямое ощущение соответствия было заменено более слабым, визуальным признаком. Теперь он может усвоить другие виды упорядочения, не использующие явных признаков соответствия предмета его месту, а также выучить несколько соответствующих слов.

1. Один из видов упорядочения заключается в том, что сравниваются два объекта и устанавливается, какой из них больше, длиннее, толще и т. д. Фактически ребенок уже делал что-то в этом роде, когда он проводил подбор пар. В задачах, в которых ему дают палочку и предлагают выбрать другую такую же из нескольких палочек, различающихся по длине, он обязательно забракует непохожие - те, которые короче или длиннее данной. Важно помочь ребенку описать эту несхожесть палочек, используя сравнительные термины: длиннее, короче, толще, шире и т. д. Усвоить эти понятия помогают волшебные сказки, такие, как "Три медведя". В "Трех медведях" все персонажи сказки: папа-медведь, медведица-мама и сынок-медвежонок - характеризуются различием в размерах; из них папа - самый большой. Все, чем они пользуются, соответствует им по размерам - от стула до чашки с кашей. Детишки любят повторы вроде: "Кто спал на моей кровати?" и т. д. У большого отца низкий грубый голос, а у маленького медвежонка тонкий, писклявый голосок. Простое сопоставление последовательностей такого рода помогает выявить занимательным и выразительным образом существенные свойства этих последовательностей.
2. Упорядочение группы предметов по размеру без прямого сопоставления - это еще один признак прогресса. Возьмите, например, три прутика. Положите самый большой и самый маленький прутики на некотором расстоянии друг от друга и попросите ребенка поместить между ними средний по величине прутик. Так он будет учиться называть их - самый большой, средний, самый маленький. В ПУСе 43 заново появляется идея, с которой мы сталкивались в ПУСе 25. С ней же связаны разрезное лото и простые разрезные головоломки. Ребенок учится действовать, основываясь не на внешнем сравнении с конкретными готовыми образцами, а на таких признаках, которые он обобщил и запомнил уже в символической форме.
3. Теперь можно ввести другие виды упорядочения, как, например, нанизывание бусинок по заданному образцу на нитку, при котором воспроизводится последовательность их окраски. Это, в сущности, операция подбора пар, т. е. подбора цвета к цвету, бусинки к бусинке, но теперь также воспроизводится и порядок, в котором цветные бусинки располагаются на нитке.
4. Порядок объектов в некоторых последовательностях определяется больше на слух, чем зрением. Игрушечный ксилофон воспроизводит последовательность звуков, различающихся высотой тона, которые ребенок может изучать и самостоятельно, если вы не боитесь за свои барабанные перепонки. Звучащие пластинки инструмента упорядочены по длине, что позволяет ребенку сопоставить два вида информации, координируя их с собственными движениями. Если сможете, сыграйте ему несколько простых мелодий на случай, если он обладает скрытым музыкальным даром, который нуждается только в толчке, чтобы проснуться. Если вы сами или по совету врача решили заниматься трудотерапией, вы можете сделать свой собственный ксилофон из ряда одинаковых бутылок, заполненных водой до различных уровней. Правда, его настройка представляет собой трудную задачу, если вы лишены музыкального слуха, но маловероятно, чтобы ребенок выражал неудовольствие по поводу диссонансных свойств шкалы, тем более что он только начинает осваивать правила контрапункта современной музыки. Вы можете поставить бутылки в ряд на столе, а когда захотите дать концерт - привязать их на палку, помещенную между двумя стульями. Чтобы ввести в процесс обучения еще одно чувство - осязание, можно приготовить наборы наждачной бумаги от очень тонкой до грубой. Для начала достаточно трех образцов с различной степенью шероховатости. Наждачную бумагу наклейте на подложки одинакового размера (скажем, от 5 до 10 кв. см) из фанеры или плотного картона. Сделайте два совершенно одинаковых комплекта. Сначала дайте ребенку поиграть с ними, чтобы он ощутил различие в их текстуре. Когда он будет готов к более организованной игре с вами, попросите его подобрать по парам эти два комплекта. Когда он выполнит это задание, накройте чем-нибудь один набор из трех картонок или попросите закрыть глаза. Допустим, что в спрятанном наборе шероховатость увеличивается слева направо. Дайте ребенку образец наждачной бумаги из второго комплекта и попросите его на ощупь найти такую же шероховатость. Когда ребенку эта игра надоест, поскольку он слишком легко находит нужный объект, усложните ПУС, увеличив число образцов и уменьшив тем самым различие шероховатости между частями набора. Раскрасьте пары одинаковой шероховатости в один и тот же цвет, чтобы ребенок мог потом самостоятельно проверить правильность выполнения ПУСа. Значительно позже вы сможете дополнить или заменить цветовой код, использовав наряду с окраской (или вместо нее) соответствующий ряд чисел.
5. Описание событий дня в той последовательности, в какой они следовали друг за другом во времени, вводит еще одну форму упорядочения. "Что ты делаешь, когда просыпаешься утром?" Пауза для размышления. "Сначала ты встаешь с постели. Затем одеваешься. Потом завтракаешь. Что ты делаешь после этого?" Эта игра может не только помочь малышу посмотреть на ход ежедневных занятий, но и сделать его более правильным. Последовательность некоторых событий во времени не столь наглядна, так как происходит через более длинные отрезки времени. Здесь может пригодиться семейный фотоальбом. Ребенок знает бабушку только как старушку и вас только как маму. Фотография бабушки, на которой она молодая женщина, а вы ребенок, открывает ему огромные изменения, происходящие во внешнем облике людей. Он может подойти к пониманию, что индивидуальность сохраняется, несмотря на эти изменения. Очень существенно понимание необратимости перемен во времени, при которых никогда не теряется персональная идентичность. Понятие идентичности, применяемое вначале к необратимым изменениям внешнего вида, которые происходят при варке или жарении картофеля,- т. е. необратимость, появляющаяся в результате целенаправленных действий,- можно применить к обратимым изменениям во внешнем виде таких непрерывных материалов, как лимонад и молоко.

Итак, здесь мы имеем различные значения слов тот же самый: тот же человек, тот же предмет и, наконец, то же количество.

С того момента, как ребенок научился использовать новые слова (выше, толще и т. д.) для описания размеров отдельных объектов (палочки, кубики, кружки и т. д.), научился различать их сходства и различия и называть эти различия, овладел навыками подбора пар и упорядочения наряду с нужными словами, вы можете подвести его к мысли, что те же слова применимы также и к непрерывным количествам. О стакане можно сказать, что он выше или ниже другого стакана, шарик из глины больше или меньше другого шарика, нитка с бусами короче или длиннее другой нитки. Все эти непрерывные или псевдонепрерывные количества можно упорядочить по размеру.

Вы можете затем прийти к принципиальному понятию такое же количество (питья, еды и т. д.) или больше при сравнении одного количества с другим. Понятия столько же и больше, определяемые таким способом, важны потому, что с их помощью мы продвигаемся к понятию принципа сохранения, который подразумевает, что данное количество остается тем же самым, хотя не обязательно сохраняет неизменным свой внешний вид.

Вы можете обогатить словарь ребенка, показав, что формулы столько же и то же самое количество выражают одно и то же. В повседневной речи ребенок, конечно, встречается с ними, и, возможно, они его затрудняют, так что он может запутаться, если не сообразит, что это - эквивалентные формы. Вы должны помнить, что, когда вы просите: "Дай мне столько же, сколько у тебя", малыш может сначала не понять, что ту же просьбу можно выразить иначе: "Дай мне то же самое количество". Он может хорошо освоиться с чаще встречающейся идиомой столько же прежде, чем вы начнете упоминать то же самое количество. Используйте обе формы попеременно в обычных ситуациях, и он вскоре начнет распознавать их логическую эквивалентность.

Таким же образом понятие меньше вы можете представить как противоположность больше. Ребенку необходимо уловить основную мысль, что если в большой банке больше воды, чем в маленькой, то тогда в маленькой банке меньше воды, чем в большой. Взрослым это кажется настолько очевидным, что им трудно себе представить, что-ребенка действительно нужно знакомить с этими мыслями. В самом деле, сначала он может избегать таких слов, как столько же и меньше, обходясь одним только словом больше. Не нужно требовать от него другого. Просто продолжайте использовать слова столько же и меньше, когда они уместны, и пусть ребенок освоится с понятиями, стоящими за этими словами. Постепенно он их подхватит и введет в свою речь.

Примечательно, что трудно изобрести (хотя и можно) ПУСы, которые побуждали бы ребенка произносить эти слова. В тех ПУСах, в которых мы попробовали это сделать, мы одновременно указываем, что на них не надо концентрировать внимание. Просто отнеситесь к ним как к пробному камню, которым вы проверяете готовность ребенка расширить свой словарь и его понимание значений новых слов. Он будет их использовать, когда захочет, дайте ему только время их освоить. Можете быть уверены, что ребенок начнет произносить эти слова тогда, когда это понадобится ему, а не вам.