Введение

Натуральные числа возникают в результате счёта. Вот они: один, два, три, четыре, пять, шесть и т. д. С этими числами люди познакомились на заре цивилизации; современный человек знает их если не с колыбели, то во всяком случае уже в дошкольном возрасте. Счёт - первая математическая операция, с которой человечество встретилось задолго до сложения и умножения, а натуральные числа появились много раньше отрицательных и дробных.

Число и наука о нем

И всё же, несмотря на свою привычность и повседневность, натуральные числа обладают многими свойствами, далеко не общеизвестными. Существует целая наука - Теория Чисел,- которая занимается их изучением. Наука эта обладает интересной особенностью: задачи её кажутся простыми и понятными; о результатах её можно рассказать всякому развитому человеку. Но путь решения задач, способы достижения результатов порою очень трудны и сплошь да рядом недоступны даже лучшим математикам. Недаром Гаусс, который является одним из величайших математиков мира, говорил, что Арифметика - царица Математики. Он имел в виду, разумеется, не элементарную арифметику, а именно Теорию Чисел, которую называют иначе Высшей Арифметикой и которая в значительной части создана трудами самого Гаусса.

Натуральных чисел бесконечно много: среди них нет наибольшего. Нам это кажется ясным, потому что, если бы было наибольшее целое число, мы, прибавив к нему единицу, получили бы число ещё большее. Эта бесконечность числового ряда создаёт значительные трудности при логическом обосновании арифметики.

В этой книжке основы арифметики (аксиомы и простейшие правила) не рассматриваются.

Ряд натуральных чисел - чисел, которые служат для пересчитывания предметов - начинается с единицы, а не с нуля. Нуль вводится вместе с отрицательными числами для того, чтобы сделать операцию вычитания возможной и в тех случаях, когда вычитаемое равно или больше уменьшаемого. Положительные целые, отрицательные целые числа и нуль образуют систему целых чисел, основные правила действий над которыми рассматриваются в начале школьного курса алгебры. Здесь в основном будет говориться о свойствах натуральных чисел. Но там, где это может упростить изложение, будут использованы и отрицательные числа, и нуль.

Какие же свойства натуральных чисел мы будем рассматривать? Прежде всего - различные способы их записи и обозначения, развитие и взаимную связь этих способов. Далее - вопросы, которые возникают при делении целых чисел друг на друга (делимость, общий наибольший делитель, разложение на простые множители и т. д.). В заключительных главах будут разобраны некоторые свойства простых чисел.

Учением о простых числах занимались лучшие русские математики: Чебышев, Золотарёв и другие. В двадцатом веке самые крупные, самые блестящие результаты в этой области были получены советскими математиками: Л. Г. Шнирельманом и, особенно, академиком И. М. Виноградовым. Об этих результатах будет рассказано в последней главе этой книжки. Вот, по существу, всё, что сможет найти здесь читатель.