Предисловие

Настоящей брошюрой в этой серии начинается систематическое печатание работ под общим названием "из истории математических идей". Само их название показывает, что специальное внимание в таких работах будет обращено не на биографии выдающихся математиков, а на факты биографии самой математики.

История математических идей представляет интерес не только для тех, кто занимается историей науки, но- и для всех, кто использует математику, а также интересуется ею самой и ее философскими проблемами. Знание фактов истории науки, ее связей с актуальными задачами различных эпох исключительно важно для учителей средних школ и преподавателей вузов, поскольку оно дает возможность выяснить происхождение понятий, основных идей науки, постановок задач и методов исследования. Вдобавок история позволяет выяснить и вопросы, связанные с разработкой математической символики, которая не только открывает возможность в краткой и удобной форме записывать математическую информацию, но и автоматизировать производство математических операций.

Последнее утверждение требует небольшого разъяснения. В науке необходимы ясность и точность выражения мысли. Язык науки не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации. Идеи и факты при передаче не должны допускать разночтений. Обычная речь, житейский язык не обладают этим качеством. А без него не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение всеми понимается одинаково и что в процессе рассуждений оно не подвергается искажению. Вот почему математика вынуждена разрабатывать собственный язык, максимально точно передающий свойственные ей особенности. Об этом прекрасно сказал известный французский физик Луи де Бройль: "Где можно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой неопределенности, ни для какого неточного истолкования"^*.

^* (Луи де Бройль. По тропам науки. М., ИЛ, 1962, с. 326.)

Следует заметить, что математическая символика не только не оставляет места для неточности выражения мысли и расплывчатого истолкования написанного, но позволяет также кратко записывать необходимую информацию и автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов.

Рассмотрим такой простой пример. Известно, что в строительной механике, геодезии, экономике, организации производства и других направлениях теоретической и прикладной науки часто требуется решать системы линейных алгебраических уравнений с соответствующим числом не-известных. С помощью привычной алгебраической символики необходимые действия осуществляются по определенным правилам, не зависящим от числа неизвестных. Для двух-трех неизвестных это доступно каждому школьнику VI-VII класса. Нет необходимости при переходе от одной задачи к другой производить какие-то специальные рассуждения - они выполнены раз и навсегда для всех подобных систем. Применение набора стандартных правил позволяет не только решить каждую такую задачу без затруднений принципиального порядка, но даже поручить это автомату - электронной вычислительной машине.

Мы прекрасно знаем, как затруднено решение простейших алгебраических задач чисто арифметическими методами. При таком решении каждая задача требует особых рассуждений, специального подхода, значительного умственного напряжения. Для математики и ее применений одного разговорного языка недостаточно - требуется специально разработанный символический язык, приспособленный к классу решаемых вопросов. Именно в связи с этим уже в наши дни пришлось затратить много усилий на выработку языков программирования математических и логических задач при постановке их решения на ЭВМ.

Настоящая брошюра посвящена одной из старейших областей математики - алгебре. С элементами алгебраических знаний знакомятся все, кто обучается в средней школе. Эти знания становятся позднее фундаментом при изучении математического анализа, линейной алгебры и других частей курса математики любого высшего учебного заведения, в котором дается дополнительное математическое образование. Вот те причины, в силу которых мы начинаем издание книжек "из истории математических идей" именно с истории алгебры.

Автор брошюры ограничивается рассмотрением лишь четырех моментов из истории алгебры - алгебраические знания Древнего Вавилона, геометрическую алгебру Древней Греции, зарождение буквенной символики и вклад в алгебраическую мысль французского математика Виета. Разные эпохи, разные подходы и разные задачи. Каждая из рассмотренных эпох внесла свой вклад в формирование алгебры и свой неповторимый вклад в историю алгебраической мысли. Каждый очерк читается как вполне законченное целое.

Сто тридцать лет назад в Мессопотамии археологами была найдена древнейшая библиотека в развалинах города Ниневии. Четыре года спустя была раскопана библиотека Ашшурбанипала. Сотни тысяч глиняных табличек с клинописными записями хранятся в крупнейших музеях мира. Удалось разгадать древний язык и письменность. Культура прошлого стала достоянием науки.

Выяснилось, что в далеком Двуречье почти за две тысячи лет до нашего летосчисления были составлены таблицы умножения, квадратов последовательных целых чисел и некоторые другие. Но что самое удивительное, так это умение решать квадратные уравнения. Для решения квадратных уравнений древние народы Мессопотамии разработали систему действий, эквивалентную формуле, которой мы пользуемся для разыскания корней квадратного уравнения. При этом удивительно то, что ни в одной табличке не были найдены рассуждения, приведшие к используемому алгоритму. Найденные глиняные таблички скорее могут быть названы ученическими тетрадями и школьными пособиями, чем монографиями, излагающими накопленные знания. До сих пор еще нет окончательных представлений о том, как древние вавилоняне пришли к своим открытиям. Предлагаемые реконструкции их рассуждений являются только правдоподобными, но далеко не окончательными. Несомненно, что читатели с интересом познакомятся с первым очерком И. Г. Башмаковой.

Следующие два очерка посвящены математике Древней Греции. При этом речь идет не только о частных результатах, но и о гораздо большем - о превращении математики из "сборника рецептов" в развитую научную дисциплину с собственным предметом и методом исследования, Именно в Древней Греции математика стала дедуктивной дисциплиной, в которой из небольшого числа исходных положений - аксиом и постулатов - выводились многочисленные следствия - теоремы. В течение многих столетий греческое построение геометрии, нашедшее в труде Евклида свое высшее выражение, служило образцом для развития математики. И снова возникает вопрос большого методологического значения: какие причины привели математиков Древней Греции к дедуктивному построению геометрии? В одном из докладов, который был подготовлен мной и И. Б. Погребысским, мы высказали мысль о том, что отход от деспотической формы правления к ограниченно демократической, когда правитель должен был обосновывать перед общим собранием свободных граждан принимаемые решения, мог послужить толчком для развития и построения научных знаний.

Второй очерк дает представление о своеобразном построении алгебры древними греками - геометрической алгебре, явившейся следствием открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, т. е. таких, отношения которых не могут быть выражены никакими отношениями целых чисел. Пифагорейцы пришли к выводу, что геометрические величины имеют более общую природу, чем числа, и поэтому в основу математики следует положить не арифметику, а геометрию.

Позволив первоначально получить значительное количество важных результатов, геометрическая алгебра в дальнейшем сделалась помехой, так как даже уравнение третьей степени ее методами решено быть не могло. Но тем не менее геометрическая алгебра сыграла очень большую роль в развитии математики.

Третий очерк в основном посвящен творчеству величайшего алгебраиста древности - Диофанта Александрийского, алгебраический формализм которого составляет особый этап в развитии алгебры. В своей работе "Арифметика" он расширил числовую область до поля рациональных чисел, ввел алгебраическую символику для первых шести положительных и отрицательных степеней неизвестного, для обозначения вычитания и равенства.

Последний, четвертый, очерк рассказывает о математике европейского средневековья и эпохи Возрождения, усовершенствовании алгебраической символики, первых крупных успехах - решении уравнений третьей и четвертой степени.

Большой и продуктивный период в развитии алгебры связан с именем Ф. Виета. Именно он сделал особенно много, чтобы в алгебре появилась система символов, облегчающая производство необходимых преобразований и вычислений.

Несколько лет назад И. Г. Башмакова, изучая труды Ф. Виета, обратила внимание на своеобразное исчисление треугольников, введенное и разработанное им. Простое сравнение с формулами Муавра для умножения и возведения в степень комплексных чисел показало тождественность формул в исчислении Виета и работе Муавра. Это интересное историческое открытие нашло отражение в четвертом очерке.

Теперь несколько слов об авторе. Изабелла Григорьевна Башмакова - профессор Московского университета. Несколько лет назад она была избрана членом международной академии по истории науки. Ее основные научные результаты относятся к математике Древней Греции и истории алгебры.

Академик АН УССР Б. В. Гнеденко