НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Лев и человек

"Лев и человек, находящиеся на огороженной круглой арене, имеют одинаковую максимальную скорость. Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?"*.

* ("Кривая погони" (L бежит всегда прямо на М) требует бесконечного времени, так что формулировка задачи не лишена смысла.)

Говорят, что задача о "взвешивании монет" стоила 10 000 человеко-часов непродуктивно потраченного времени математиков, занятых оборонной работой во время войны. Было даже сделано предложение сбросить эту задачу над Германией. Задача о льве*, хотя и имеет уже 25-летнюю давность, недавно вновь пронеслась по стране; но большинство из нас удовлетворилось ответом "L (лев) все время должен находиться на радиусе ОМ (М - человек)".

* (Придумана Р. Радо (но не опубликована).)

Если L сходит с ОМ, то асимметрия идет на пользу М. Поэтому L придерживается ОМ и всякая иррегулярность в поведении М помогает L. Примем поэтому для простоты, что М бежит по окружности С радиуса а с угловой скоростью ω. Тогда L (придерживаясь радиусов) бежит по окружности, касающейся С*, скажем, в точке Р и М оказывается пойманным за время, меньшее . Это легко следует из уравнений движения L, а именно r.2 + r2cos2 = a2ω2. Поучительно, однако, подробнее исследовать движение вблизи Р. Здесь мы имеем



* (Случай, когда движение L начинается в О, особенно ясен из геометрических соображений.)

Интеграл сходится (при r→a) с большим запасом - настолько большим, что принятое нами упрощающее условие представляется полностью оправданным. *Математик-профессионал легко проверит, что когда М движется по развертывающейся спирали, приближаясь к окружности, то, применяя легко понятное обозначение x = rM - rL (теперь ω - уже переменное), мы будем иметь


где Тогда и этот интеграл возрастает медленнее, чем поэтому можно, вообще говоря, с уверенностью предположить, что интеграл сходится.*

Несмотря на все это, "ответ" неверен: М может избежать поимки (как бы L себя ни вел). Это было совсем недавно обнаружено профессором А. С. Безиковичем; далее следует первое (и единственное) опубликованное доказательство.

Я начну с того случая, когда L придерживается ОМ; в этом случае все рассуждения легко проводятся (и во всяком случае этого достаточно для доказательства неверности "ответа"). Исходя из начальной точки М0 при t = 0, проведем ломаную М0М1М2... со следующими свойствами: (I) МnМn+1 перпендикулярно к ОМn, (II) длина ломаной бесконечна, (III) ломаная остается внутри круга с центром в О, не выходящего за пределы арены. В самом деле, если положить ln = Mn-1Mn, то мы имеем OM2n = OM20 + и все будет обеспечено при с соответствующим образом подобранной постоянной с. Пусть М бежит вдоль этой ломаной (a L, как условлено, придерживается ОМ). Так как М0М1 перпендикулярно к L0M0, то L не может поймать М, пока М находится на M0M1. Так как, далее, L1 находится на ОМ, а М1М2 перпендикулярно к L1M1, то L не может поймать М, пока М находится на М1М2. Это продолжается на каждом последующем звене MnMn+1 и, следовательно, в течение бесконечного времени, так как общая длина ломаной бесконечна.

*Я добавлю набросок поразительно короткого доказательства в общем случае. Пусть дано М0 и L0;M выбирает подходящее О и "строит" описанную выше ломаную М0М1М2 ..., но бежит вдоль другой ломаной М0М'1М'2..., ассоциированной с первой и зависящей от того, что делает L. M0M1 проводится перпендикулярно к L0M0; если N0 - основание перпендикуляра, опущенного из О на М0М'1, то М'1 берется на продолжении M0N0 так, чтобы было N0M'1 = l1(= M0M1). Если L находится в L1, когда М прибывает в М'1, то M'1M'2 проводится перпендикулярно к L1M'1 и М'2 выбирается на этой прямой так, чтобы было N1M'2 = l2 и т. д. Ясно, что ОМ'2n = ОМ'2n-1 ≤ l2n, OM'2n ≤ OM2n, и новая ломаная лежит внутри того же круга, что и старая. Так как M'n-1M'n≥ln, то новая ломаная также имеет бесконечную длину, и L по-прежнему не сможет поймать М.*

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru