§ 7. Величины с позиций развития межпредметных связей математики и физики

Разработка согласованного подхода к трактовке понятия величины, а также ряда других понятий, которые тем или иным образом связаны с последним, является одной из возможностей совершенствования взаимосвязей физики с математикой.

Сравнивая те подходы к понятию величины, которые приняты в математике и физике, легко видеть некую изолированность этих учебных дисциплин друг от друга по рассматриваемой проблеме. Такое положение дел отчасти объясняется тем, что математика и физика рассматривают один и тот же объект (в данном случае понятие величины) с различных точек зрения.

Скалярная и векторная величины связаны с другими понятиями: числом, измерением величин, значением и размером величины, погрешностью, функцией, вектором, радиус-вектором, координатами и проекциями векторов, параллельным переносом, направленностью, направленным отрезком и др. Многие из этих понятий получают неоднозначную трактовку в различных разделах математики и физики как внутри этих учебных дисциплин, так и в отношениях между ними. Терминология и символика обоих учебных предметов иногда не совпадают.

Важным вопросом согласования курсов математики и физики являются действия с величинами.

Взаимосвязь обеих учебных дисциплин при изучении величин может осуществляться по следующим направлениям.

1. Введение общих представлений о скалярных и векторных величинах. Действия с величинами.

2. Общность подходов к толкованию некоторых величин, терминологии и символики.

3. Трактовка понятий, связанных с понятием скалярной и векторной величины. Их можно условно разделить на следующие четыре группы:

а) служащие для введения величин: число, неравенство и его свойства, соответствие и др.;

б) использующиеся в процессе применения понятия величины: числовое значение, значение и размер величины, направленный отрезок и др.;

в) сопутствующие понятиям о скалярной и векторной величине: функция, направление, параллельный перенос, вектор, радиус- вектор, координаты и проекция вектора и др.;

г) определяющиеся через величины, например, понятие измерения, единицы измерения, погрешности, размерности.

4. Измерение величин.

Рассмотрим каждое из этих направлений подробнее.

1. Введению общего понятия величины предшествует знакомство с конкретными величинами. Обобщение свойств конкретных величин приводит к общему понятию скалярной и векторной величины.

Возможны некоторые пути, позволяющие согласовать общие представления о скалярной величине в математике и физике.

При введении большинства скалярных величин сначала необходимо выявить те их свойства (или хотя бы некоторые из них), которые являются наиболее общими и лежат в основе определения общего понятия скалярной величины (отношения равенства и неравенства, операции сложения и умножения на число и их свойства). Лишь после этого можно ставить вопрос о выборе единицы измерения и о способе измерения величины.

Обобщая свойства скалярных величин, нужно подчеркивать специфичность содержания каждого из их свойств для разных величин.

При введении физических скалярных величин следует иметь в виду, что выполнимость аксиоматики для них часто подразумевается и вытекает из экспериментальных данных.

Для некоторых физических скалярных величин аксиома непрерывности имеет ограниченное применение. Одни и те же величины считают непрерывными в рамках одной теории и дискретными в рамках другой. Кроме того, есть величины, которые могут быть только непрерывными или только дискретными.

В физике определение общего понятия величины носит описательный характер и связано с понятием измерения. Последнее же не имеет самостоятельного определения, а предполагает известным понятие величины. Если скалярные величины часто отождествляются с числами, то векторные - с векторами.

В математике скалярная величина определяется как элемент некоторого множества с заданными в нем отношениями, операциями и их свойствами (аксиомами). Однородные векторные величины образуют множество, свойства элементов которого аналогичны свойствам векторов.

Итак, если в математике величина рассматривается как понятие абстрактное, определяемое косвенно через ту или иную систему аксиом, то в физике понятие величины считают интуитивно известным, поэтому ограничиваются описательными определениями, не претендующими на высокую степень строгости.

В математике вопросам изложения некоторых общих свойств скалярных величин уделяется большое внимание. При введении конкретных геометрических величин (например, длина отрезка, площадь, объем) специально выделяются те их свойства, которые являются фундаментальными, а именно: 1) однородные скалярные величины можно сложить; 2) однородные скалярные величины можно сравнивать; 3) скалярные величины можно умножать на число;

4) в множестве однородных скалярных величин имеется величина, принимаемая за единицу.

При введении отдельных скалярных величин эти общие свойства находят конкретное содержание. Например, в случае такой величины, как объем, имеем следующие утверждения: 1) если фигуры Φ₁ и Φ₂ конгруэнтны, то V(Φ₁) = V(Φ₂); 2) если многогранник Φ является объединением многогранников Φ₁ и Φ₂, то V(Ф) = V(Φ₁) + V(Φ₂); 3) если фигура Φ есть часть фигуры (т. е. подмножество Φ₁), то V(Φ) ≤ V(Φ₁); 4) для куба Е с длиной ребра е имеем V(Е) = 1, где е - единица длины.

Наметим теперь некоторые пути, позволяющие согласовать общие представления о векторной величине.

При введении конкретных векторных величин необходимо:

1) Показать векторный характер конкретных векторных величин.

2) Раскрыть смысл отношения "равно" на конкретных примерах и подчеркнуть, что отношение "порядка" для векторных величин не существует.

3) Раскрыть физический смысл операций с однородными векторными величинами и применимость этих операций в конкретных ситуациях.

Обобщая свойства векторных величин, необходимо:

1) Подчеркнуть, что сложение величин, умножение на число (независимо от рода величины) производят по одним и тем же правилам и в то же время для каждого конкретного рода величин существуют различные способы выполнения этих операций.

2) Разграничить понятия вектора и векторной величины, указав место каждого из понятий в математике и физике.

3) Показать различие скалярных и векторных величин.

Вопрос об операциях и действиях с величинами в учебной литературе по математике и физике также раскрывается не всегда однозначно.

В физике считают, что с однородными скалярными величинами можно выполнять те же действия, как и с действительными числами: сравнивать, складывать, перемножать, возводить в степень и т. д. В математике в множестве однородных скалярных величин определены лишь отношения сравнения ("больше", "меньше", "равно"), операции сложения и умножения на число. Перемножать однородные скалярные величины нельзя.

Это не согласование является следствием того, что в современной математике принято разграничивать понятия скалярной величины и числа, тогда как в физике эти понятия часто отождествляют.

Как в физике, так и в математике полагают, что разнородные величины нельзя сравнивать, складывать и вычитать. Все остальные действия справедливы. В физике, однако, различают умножение скалярной величины на число и умножение одной скалярной величины на другую. В первом случае получают скалярную величину того же рода, во втором - величину иного рода.

Векторные величины можно умножать на числа. Из опыта следует, что свойства этой операции совпадают со свойствами векторов. Умножение, например, силы на число 3 дает силу того же направления, а размер ее увеличивается в 3 раза. В физике наряду с этой операцией существует операция умножения векторной величины на скалярную, тогда как такая операция для векторов не определена. В результате получают векторную величину другого рода. Так, если силу умножить на время, то получают векторную величину другого рода - импульс силы, направление которой совпадает с направлением силы.

2. Вопросы общности толкования некоторых понятий (в том числе и величин), терминологии и символики до сих пор в учебной литературе по физике и математике до конца не решены. Встречается небрежность в трактовке таких конкретных величин, как расстояние, пройденный путь, перемещение. Рассчитывая, например, по условию задачи расстояние между городами, находят на самом деле пройденный автомобилем путь.

В геометрии существует косвенное определение понятия расстояния через систему аксиом;

1) |АВ| > 0, если А ≠ В, и |АВ| = 0, если А = В.

2) |АВ| = |ВА|,

3) |АВ| + |ВС| ≥ |АС|, А, В, и С - три различные точки плоскости.

Понятие расстояния рассматривается как неотрицательная скалярная величина, причем расстояние от точки А до точки В связано с длиной отрезка АВ. В случае прямолинейного движения расстояние и пройденный путь равны. При криволинейном движении путь больше расстояния, так как путь есть длина траектории, тогда как расстояние с траекторией никак не связано. Расстояние зависит от начального и конечного положения тела и не зависит от того, в каких точках находилось тело во время своего движения. Это обстоятельство связывает понятие расстояния и такую величину, как перемещение. Но расстояние - скалярная величина, а перемещение - векторная.

Заметим сразу: понятие перемещения (изометрии) пространства в математике и перемещение как физическая векторная величина в физике - различные понятия. Применение одного термина для обозначения двух различных понятий создает большие неудобства, особенно в школьном обучении.

В литературе по физике перемещение вводится двумя способами: либо как разность соответствующих радиус-векторов начального и конечного положения тела (точки) в системе координат, либо просто как направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела вне какой-либо конкретной системы координат. Чаще всего тот и другой способы даются совместно. Второй способ принят в школьном курсе физики. Перемещение по существу отождествляется с направленным отрезком. В то же время пишут, что перемещение - векторная величина. Такое определение вызывает неудобства, так как направленный отрезок как математический объект никак не может быть величиной, подобно тому как вектор также не является величиной.

Перемещение как векторную физическую величину можно задать указанием расстояния s > 0 и направления, т. е. так же, как и вектор. Перемещение показывает, в каком направлении и на какое расстояние переместилось тело за данный промежуток времени.

При таком понимании перемещения направленный отрезок является лишь изображением этой векторной величины (как, впрочем, и любой другой), но не самой величиной. Так как все точки тела в результате движения переместились в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то, вообще говоря, перемещение имеет множество изображений в виде направленных отрезков. Выбирают один из них произвольно, но чаще всего связанный с центром масс тела.

3. Понятия, связанные со скалярной и векторной величинами, были разделены условно на четыре группы. Рассмотрим лишь те из понятий, которые получают неоднозначную трактовку в курсах математики и физики. Кроме того, рассмотрим соотношения таких понятий, как вектор, векторная величина, направленный отрезок. Последовательность рассмотрения этих понятий соответствует расположению их в четырех выделенных группах.