§ 11. На равном расстоянии

В настоящем параграфе мы предлагаем вам несколько практических задач, в которых нужно использовать геометрический материал для нахождения точек или линий на местности из соображений равенства каких-либо расстояний. Желательно, чтобы те построения, которые вам понадобятся для решения этих задач, оказались по возможности более простыми. Если они не потребуют никаких средств, выходящих за рамки простейшей геометрии на местности (§ 9), то такие построения можно будет осуществить в обычных условиях без использования сколько-нибудь сложных измерительных приборов. В противном случае для реализации построений можно изобразить исходную конфигурацию на плане и, решив задачу на бумаге с помощью циркуля и линейки, перенести результат на местность.

Ниже мы предполагаем, что все населенные пункты имеют незначительные размеры и могут быть приняты в задачах за точки, а магистрали, каналы и железные дороги являются прямыми и имеют пренебрежимо малую ширину, т. е. могут быть представлены как прямые линии.

Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми?

Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого протекает речка. Где построить мост через речку, чтобы расстояния от него до обеих магистралей были одинаковыми?

Две магистрали пересекают канал в разных местах. Где нужно разместить пионерский лагерь, чтобы расстояния от него до канала и до каждой магистрали оказались одинаковыми? Укажите место расположения пионерского лагеря, при котором эти расстояния минимальны?

В каком направлении через город должна проход магистраль, чтобы два данных населенных пункта лежали по разные стороны от нее на одинаковом расстоянии?

Как должна проходить магистраль, чтобы расстояния от нее до трех данных населенных пунктов были одинаковыми? Укажите положение магистрали, при котором эти расстояния минимальны.

Магистраль пересекает канал под углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком направлении следует провести через этот пункт прямую дорогу, чтобы расстояния по ней до магистрали и до канала оказались одинаковыми?

Железная дорога пересекает канал под острым углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком месте железной дороги нужно расположить полустанок, чтобы расстояния от него до этого пункта и до канала оказались одинаковыми? Укажите положение полустанка, при котором эти расстояния минимальны.

Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого расположен населенный пункт. Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до этого пункта и до каждой магистрали оказались одинаковыми?

Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до данной магистрали и до каждого из двух данных населенных пунктов, расположенных с одной стороны от магистрали, были одинаковыми?

Решения

11.1. Обозначим через А и В данные в задаче населенные пункты и проведем на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдется).

11.2. Пусть A, В и С - точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек A, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО = ОВ и ВО = ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки A, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца - точку О - можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

11.3. Проведем биссектрису угла, образованного магистралями. Так как все точки этой биссектрисы равноудалены от магистралей и никакие другие точки внутри угла этим свойством не обладают, то мост через речку нужно построить в точке пересечения биссектрисы с речкой (если такая точка найдется).

11.4. Каждая магистраль, пересекаясь с каналом, образует две пары вертикальных углов, а четыре их биссектрисы составляют две прямые (рис. 21). Так как все точки этих биссектрис равноудалены от канала и соответствующей магистрали, а никакие другие точки этим свойством не обладают, то все возможные места расположения пионерского лагере лежат на пересечениях биссектрис углов при разных вершинах A и В.

Рис. 21

Таких точек пересечения может быть, вообще говоря, четыре, поскольку любая из двух прямых, проходящих через вершину A, может пересечься с любой из двух прямых, проходящих через вершину В. Если магистрали не параллельны, то никакие пары этих прямых не параллельны и все четыре точки пересечения реализуются, а наименьшее расстояние до канала (а значит, и до магистралей) достигается в той точке О пересечения биссектрис, которая лежит внутри треугольника, образованного каналом и магистралями. Действительно, из двух точек пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине A с биссектрисами углов при вершине В ближе к вершине А (а значит, и к каналу) лежит точка О. Аналогично из двух точек пересечения, лежащих на биссектрисе внутреннего угла треугольника при вершине В, также выбираем точку О. Наконец, последняя точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника при вершинах А и В лежит вместе с точкой О на биссектрисе угла треугольника при вершине С, причем точка О лежит ближе к вершине С, следовательно, ближе к магистралям и, стало быть, к каналу. Если же магистрали параллельны, то четыре биссектрисы углов при вершинах А и В образуют параллелограмм (из-за симметрии всей картины относительно середины отрезка АВ), поэтому обе точки пересечения этих прямых равноудалены от канала.

11.5. Пусть через город А нужно провести магистраль, равноудаленную от пунктов В и С (рис. 22). Так как точки В и С должны лежать по разные стороны от искомой магистрали, то она должна пересечь отрезок ВС, причем точка пересечения должна совпадать с серединой этого отрезка (что вытекает из равенства соответствующих прямоугольных треугольников). Таким образом, искомая магистраль определена однозначно, если только сама точка А не совпадает с серединой отрезка ВС (в случае их совпадения годится любое направление).

Рис. 22

11.6. Обозначим через А, В и С три данных населенных пункта. Если искомая магистраль может проходить так, чтобы все три точки лежали по одну сторону относительно магистрали (в том числе и на ней самой) и к тому же на равном расстоянии от нее, то точки A, В и С лежат на одной прямой, параллельной магистрали. В этом случае расстояние минимально, когда магистраль проходит через эти точки.

Рис. 23

В противном случае две из данных точек, скажем A и В, должны лежать по одну сторону от искомой магистрали, а третья - по другую (рис. 23). Так как магистраль равноудалена от точек A и С, то она проходит через середину отрезка АС (см. решение задачи 11.5), а так как она равноудалена от точек В и С, то проходит и через середину отрезка ВС. Таким образом, мы доказали, что искомая магистраль проходит по одной из трех средних линий треугольника ABC.

Среди возможных расположений магистрали наименьшее расстояние до точек А, В и С, равное половине наименьшей высоты треугольника ABC, достигается, когда магистраль параллельна наибольшей стороне этого треугольника (точнее, какой-нибудь из наибольших сторон, если их несколько), поскольку наименьшая высота в треугольнике соответствует наибольшей стороне - ведь их произведение есть константа, равная удвоенной площади треугольника.

11.7. Проведем прямую через точку A пересечения магистрали с каналом и через данный населенный пункт В. Рассмотрим точку С на этой прямой, удаленную от точки В на расстояние АВ (рис. 24). Тогда если искомая дорога пересекает магистраль и канал в точках D и Е соответственно, то точка В есть центр симметрии четырехугольника ADCE, который, стало быть, является параллелограммом. Теперь сами точки D и Е можно найти, проведя через точку С прямые, параллельные каналу и магистрали, до пересечения их соответственно с магистралью (в точке D) и с каналом (в точке E).

Рис. 24

11.8. Из точки А пересечения железной дороги с каналом через данный населенный пункт В проведем луч. Опустим из какой-либо точки О железной дороги перпендикуляр ОС к каналу и найдем на луче А В точки, удаленные от точки О на расстояние ОС. Таких точек окажется две - это будут точки D и У, лежащие на окружности с центром О и радиусом ОС. Для определенности будем считать, что DA>EA (рис. 25). Проведем отрезки BF и BG, соединяющие точку В с точками F и G на железной дороге и параллельные отрезкам DO и ЕО соответственно. Тогда из подобия соответствующих треугольников будет следовать, что точки F и G равноудалены от канала и от точки В, т. е. они укажут искомые места расположения полустанка. Никаких других возможностей для расположения полустанка нет, поскольку для любой искомой точки существует преобразование гомотетии относительно точки A, переводящее искомую точку в точку О, а точку В в точку луча АВ, удаленную от точки О на расстояние ОС, т. е. в одну из точек D или Е.

Рис. 25

Минимальное расстояние до полустанка достигается в точке F, для которой имеем

ибо DO = EO и DA>EA.

11.9. Найдем точку О, в которой должен находиться центр пруда. Поскольку точка О равноудалена от двух данных магистралей, то она лежит на биссектрисе угла между ними. Таким образом, задача сводится к нахождению на данной прямой l - биссектрисе - точки О, равноудаленной от данной точки А - населенного пункта - и от другой данной прямой - той из магистралей, которая образует с прямой l угол, содержащий точку А (этот угол будет обязательно острым, так как он равен половине угла между магистралями). Такая ситуация разобрана в решении задачи 11.8.

11.10. Найдем точку О, в которой должен находиться центр пруда, Поскольку точка О равноудалена от двух данных населенных пунктов A и В, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ (рис. 26). Таким образом, задача сводится к нахождению на данной прямой h (перпендикуляре) точки О, равноудаленной от точки A или точки В и от другой данной прямой l (магистрали). Если прямые h и l не параллельны и не перпендикулярны, то они в пересечении образуют острый угол, внутри которого расположена одна из точек A и В (ведь обе эти точки лежат по одну сторону от прямой l). Способ нахождения точки О в этом случае указан в решении задачи 11.8. Если прямые h и l перпендикулярны, то точка О должна быть равноудалена от точки их пересечения и от точки A, и этот случай также был разобран в решении задачи 11.1. Наконец, если прямые h и l параллельны, то точка О должна быть удалена от точки A на расстояние, равное расстоянию d между прямыми h и L Поэтому искомая точка лежит на пересечении прямой h и окружности с центром A и радиусом d (таких точек пересечения будет две, поскольку расстояние от точки A до прямой к меньше d - ведь одна из точек A или В расположена между прямыми h и l).

Рис. 26