§ 8. Расчеты при смешивании

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т. е. усыхание. В задачах настоящего параграфа вам предстоит мысленно производить именно такие операции. Ниже всюду, если не оговорено противного, будем предполагать, что в результате перемешивания получается однородная масса. Это означает, что интересующая нас характеристика смеси одинакова для любой части смеси.

Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация конкретной составляющей смеси, т. е. отношение количества этой составляющей к общему количеству смеси. При подсчете концентрации указанные количества могут измеряться как их весом (массой), так и объемом. В приведенных ниже задачах мы везде, где возникает разночтение в этом вопросе, будем брать для определенности весовые концентрации.

На практике концентрации принято выражать в сотых долях единицы, называемых процентами. Содержание какого-либо драгоценного металла в сплаве с примесями обычно называют пробой и обозначают числом тысячных долей единицы. Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы подразумеваем, что в каждых 1000 г такого "золота" содержится только 573 г чистого золота.

В некоторых случаях нас будет интересовать не содержание одного вещества в другом, а, скажем, стоимость единицы смеси, удельный вес или давление (к которым применимы аналогичные рассуждения). Иногда же будет поставлен принципиальный вопрос о том, какого вещества в смеси больше или как добиться наибольшего его содержания.

В каких количествах нужно смешать жидкость с ее растворителем, чтобы получить 100 г 20-процентного раствора этой жидкости?

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50-процентной и раствор 70-процентной кислоты, чтобы получить раствор 65-процентной кислоты?

Для решения задачи 8.2 нарисуем схему

в которой слева запишем требуемую концентрацию кислоты в процентах, т. е. 65, затем друг под другом запишем концентрации имеющихся растворов, т. е. 50 и 70, наконец, подсчитаем и запишем крест-накрест соответствующие разности 65 - 50 = 15 и 70 - 65 = 5. Теперь можно сделать вывод, что для получения 65-процентной кислоты нужно взять растворы 50-процентной и 70-процентной кислот в отношении 5:15, или, что то же, 1:3. Дайте обоснование приведенному способу.

В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?

Имеется 90 г 80-процентной уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9-процентного столового уксуса из нее можно получить?

Сколько пресной воды нужно добавить к 4 кг морской воды, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза?

Индийский чай дороже грузинского в ⁵/₄ раза. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который дороже грузинского в ⁶/₅ раза?

Руда содержит 40% примесей, а выплавляемый из нее металл содержит 4% примесей. Сколько металла получится из 24 т руды?

В расколотом арбузе содержалось 99% воды. После его усыхания содержание воды стало составлять 98%. Сообразите в уме, во сколько раз усох арбуз. Не спешите с 99 ответом: арбуз усох не в ⁹⁹/₉₈ раза!

В свежих грибах содержится 90% воды. Определите, во сколько раз усыхают грибы в результате сушки, если во столько же раз в них уменьшается содержание воды.

В трех сосудах содержится по 100 г растворов кислоты: в первом 70-процентной, во втором 60-процентной, в третьем 30-процентной. Смешивая эти растворы, нужно получить 250 г раствора кислоты. Какую наибольшую и наименьшую концентрацию может иметь полученный раствор? Как получить 250 г 55-процентной кислоты?

Сплав из золота и серебра весом 13 кг 410 г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510 г. Определите количество золота и серебра в сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 ^г/_см³, а серебра 10,5 ^г/_см³.

В одном стакане налито некоторое количество черного кофе, а в другом - молока. Из первого стакана во второй перелили ложку кофе, а затем, не размешивая содержимое второго стакана, перелили из него в первый ложку жидкости. Чего в результате стало больше: молока в первом стакане или кофе во втором? Попробуйте решить задачу в уме.

От полного стакана черного кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Только после этого я выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?

В первом стакане налито некоторое количество черного кофе, а во втором - такое же количество молока. Разрешается переливать из одного стакана в другой любое количество жидкости, тщательно размешивая содержимое стаканов. Можно ли с помощью нескольких таких переливаний добиться того, чтобы в первом стакане молока стало больше, чем кофе?

Нужно прополоскать колбу, в которой находился жидкий реактив. Для этой цели отведено некоторое количество воды. В каком случае полоскание будет эффективнее: если влить в колбу всю воду сразу или если сначала прополоскать колбу половиной имеющейся воды, а затем второй половиной?

В кастрюле налито 10 л сиропа. Из нее отливают 1 л сиропа и доливают 1 л воды. Затем отливают 1 л смеси и снова доливают 1 л воды. Может ли сироп в результате нескольких таких операций оказаться разбавленным ровно в два раза?

В нескольких одинаковых баллонах находится сжатый газ под разными известными давлениями, причем самое слабое давление в первом баллоне. Разрешается подсоединять первый баллон поочередно к любому из остальных баллонов, но не более чем по одному разу. При соединении двух баллонов давление в них обоих становится равным среднему арифметическому их исходных давлений. К каким баллонам и в какой последовательности следует подсоединять первый баллон, чтобы создать в нем наибольшее давление?

Решения

8.1. В 100 г 20-процентного раствора жидкости содержится 20 г самой жидкости и 80 г растворителя. Именно в таких количествах и нужно смешать жидкость с ее растворителем.

8.2. Пусть мы смешиваем x г раствора 50-процентной и y г раствора 70-процентной кислоты. Тогда в первом 50 растворе содержится чистой кислоты а во втором В полученной смеси массой (x + y) г будет содержаться чистой кислоты, что должно составлять 65% от смеси, т. е. Таким образом, получаем уравнение

откуда имеем 5y = 15х и находим искомое отношение x:y = 5:15 = 1:3. Это означает, что смешивать надо 1 часть первого раствора с 3 частями второго.

8.3. Пусть требуется смешать растворы a-процентной и b-процентной кислоты, чтобы получить c-процентный раствор. Без ограничения общности можно считать, что a<b (иначе поменяем местами в тексте первый и второй растворы), причем a≤c≤b: если c<a или c>b, то c-процентный раствор, конечно, получить нельзя. Рассуждая, как и при решении задачи 8.2, получаем, что если берется x частей первого раствора и y частей второго, то должно быть выполнено равенство

откуда вытекает соотношение (b - с)y = (c - a)x, т. е. x:y = (b - c):(c - a). Такой же вывод дает описанная в условии задачи схема

Таким образом, использование схемы вполне обосновано.

8.4. Пользуясь старинным способом, приведенным в задаче 8.3, получаем схему

Отсюда делаем вывод, что золото 375-й пробы и 750-й пробы нужно сплавлять в отношении 250:125 = 2:1.

8.5. Столовый уксус из эссенции можно получить, разбавив ее водой, т. е. 0-процентным "уксусом". Применяя старинный способ (см. задачу 8.3), имеем схему

из которой получаем, что 9 частей эссенции нужно разбавить 71 частью воды, т. е. к 90 г эссенции следует добавить воды. В результате получится 90 + 710 = 800 г столового уксуса.

8.6. Если обозначить через а содержание соли в морской воде и воспользоваться старинным способом, то получится схема

Таким образом, пресную и морскую воду нужно смешивать в отношении ^3a/₅:^2a/₈ = 3:2, а, значит, к 4 кг морской воды нужно добавить 6 кг пресной.

8.7. Если использовать старинный способ, то получится схема

Следовательно, грузинский чай с индийским надо смешивать в отношении Для того чтобы обосновать полученный результат, достаточно убедиться в том, что использование старинного способа здесь правомерно. В самом деле, никакой принципиальной разницы нет в том, подсчитывать ли содержание какого-либо вещества в единице смеси или стоимость единицы смеси, т. е. количество денег, уплаченное в среднем за единицу смеси.

8.8. Пусть из 24 т руды выплавлено x т металла. Тогда количество тонн чистого металла (без каких бы то ни было примесей вообще) должно быть равно, с одной стороны, 0,6*24, а с другой - 0,96 х. Поэтому справедливо равенство

откуда получаем

8.9. Вначале сухое вещество (мякоть) арбуза составляла 1% массы, а после усыхания 2%. Это означает, что доля сухого вещества в арбузе удвоилась, следовательно, вдвое уменьшил свою массу и сам арбуз.

8.10. Обозначим через x искомое количество раз, в которое усыхают грибы. Тогда из а кг свежих грибов получается кг сухих грибов, в которых содержание 90 воды составляет Количество сухого вещества в грибах составляет 10% свежих грибов и сухих грибов. Следовательно, имеем равенство

откуда (x - 9)(x - 1) = 0, т. е. x = 9 (значение x = 1 не подходит к условию задачи, ибо оно не задает никакого усыхания).

8.11. Для получения раствора наибольшей концентрации нужно смешать наиболее концентрированные растворы кислоты, а именно: 100 г 70-процентной, 100 г 60-процентной, и 50 г 30-процентной. В 250 г полученного раствора будет содержаться 70 + 60 + 15 = 145 г чистой кислоты, что составляет Аналогично для получения раствора наименьшей концентрации нужно смешать 100 г 30-процентной, 100 г 60-процентной и 50 г 70-процентной кислоты. В результате этого образуется 250 г раствора, содержащего 30 + 60 + 35 = 125 г чистой кислоты, что составляет

Пусть мы смешали x г первого раствора, y г второго и z г третьего. Тогда 250 г 55-процентного раствора могло получиться только в случае выполнения равенств

Выписанная система имеет бесконечно много решений, удовлетворяющих неравенствам 0≤y≤100, 0≤z≤100, 0≤x≤100. Действительно, после несложных преобразований этой системы имеем равносильную систему

в которой величину z можно считать параметром, удовлетворяющим неравенствам Например, значение z = 75 задает значения x = 100, y = 75, т. е. для получения 950 г 55-процентного раствора можно взять 100 г первого раствора и по 75 г второго и третьего.

8.12. По закону Архимеда сплав при погружении в воду потерял в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, т. е. 900 г. Следовательно, объем сплава равен 900 см³, а плотность равна Пользуясь старинным способом (см. задачу 8.3), получаем схему

из которой следует, что объемы золота и серебра в сплаве находятся в отношении 4,4:4,4, а значит, просто равны друг другу.

Заметим, что здесь мы применили старинный способ в несколько необычной ситуации: количества смешиваемых веществ измеряются их объемами, а роль концентрации играет плотность. Убедитесь сами, что схема по-прежнему применима.

8.13. Так как в результате переливаний объемы содержимого в обоих стаканах не изменились, то в первом стакане убавилось ровно столько кофе, сколько прибавилось молока. Следовательно, в итоге из первого стакана во второй перекочевало столько же кофе, сколько молока перекочевало из второго стакана в первый.

8.14. Количество черного кофе с самого начала было равно 1 стакану, а молока было долито сначала полстакана, затем треть стакана и, наконец, шестая часть стакана, т. е. в общей сложности стакан. Следовательно, кофе и молока было выпито поровну.

8.15. Докажем, что независимо от произведенных переливаний в первом стакане кофе будет не меньше, чем молока. Действительно, в самом начале в первом стакане был только кофе, т. е. сформулированное утверждение справедливо. Теперь, если перед каким-то переливанием в первом стакане кофе было не меньше, чем молока, то возможны два варианта:

а) жидкость переливается из первого стакана во второй, и тогда, конечно, в первом стакане кофе останется не меньше, чем молока;

б) жидкость переливается из второго стакана в первый, а тогда перед переливанием во втором стакане кофе было не больше, чем молока (ведь общее количество кофе равно общему количеству молока), что сохранится и после переливания, а, значит, в первом стакане кофе снова станет не меньше, чем молока.

Таким образом, в любом случае, после любого количества переливаний в первом стакане молока не может оказаться больше, чем кофе.

8.16. Предположим, что на стенках колбы всегда остается одно и то же количество жидкости, равное а. Тогда если влить в колбу сразу всю воду в количестве b, то концентрация реактива в полученной от перемешивания смеси будет равна а на стенках колбы после полоскания останется реактив в количестве Если же влить в колбу воды, то концентрация реактива будет равна а после полоскания на стенках останется реактива. Аналогично подсчитавается, что после следующего полоскания колбы оставшимся количеством воды останется реактив в количестве

Это меньше, чем в первом из рассмотренных случаев, поскольку

Итак, выгоднее полоскать два раза меньшим количеством воды, чем один раз большим.

8.17. После первого разбавления из кастрюли будет отлит 1 л сиропа, а его концентрация станет равна 0,9.

После второго разбавления из кастрюли будет отлита десятая часть оставшегося сиропа, концентрация которого станет равна 0,9². Вообще, после очередного n-го разбавления опять будет отлита десятая часть сиропа, а его концентрация станет равна 0,9ⁿ. Ни при каком натуральном значении n не будет выполнено равенство

так как иначе при том же значении n было бы справедливо и равенство

в котором левая часть кратна 3, а правая нет. Заметим, однако, что хотя точное равенство невозможно, но тем не менее после достаточно большого количества переливаний сироп обязательно окажется разбавленным по меньшей мере в два раза. В данном случае этот момент впервые наступит после седьмого разбавления, поскольку справедливы оценки

8.18. Если баллон с давлением p₁ подсоединить к баллону с давлением p₂, то в обоих баллонах давление станет равным

Если затем первый баллон подсоединить к баллону с давлением p₃, то в них обоих давление станет равным

Продолжая это рассуждение и далее, мы получим, что если затем последовательно подсоединить первый баллон к баллонам с давлением p₄, p₅, ..., p_n, то в итоге давление в первом баллоне станет равным

Анализируя эту сумму, можно заметить, что наибольший вклад в нее дает величина p_n, которая входит в сумму с наибольшим коэффициентом ¹/₂. Поэтому для того, чтобы эта сумма была максимальна, нужно, чтобы давление p_n было наибольшим из давлений всех баллонов. Действительно, если, напротив, наибольшее давление p отсутствует в списке p₂, p₃, ..., p_n, то заменим p_n числом р, отчего сумма увеличится на Если же наибольшее давление p совпадает с некоторым давлением рт, не равным p_n, то поменяем местами в сумме величины p_m и p_n, отчего она увеличится на

Итак, в любом случае, если p_n<p, то итоговое давление можно увеличить. Аналогично получаем, что давление p_n-1 должно быть наибольшим из оставшихся давлений и т. д. Вообще, давления p₂, p₃, ..., p_n должны образовывать возрастающую последовательность наибольших из имеющихся давлений. Кроме того, каждый баллон должен однажды быть подсоединенным к первому баллону. В самом деле, если, например, давление p не участвует в указанной выше сумме, то эту сумму можно еще увеличить на

заменив слагаемое суммой

Таким образом, наибольшее значение давления в первом баллоне можно получить, подсоединив его поочередно к каждому баллону в возрастающей последовательности их давлений.

Можно доказать, что большего давления по сравнению с давлением, полученным указанным способом, нельзя достичь, даже если разрешить соединять сразу несколько любых баллонов и использовать их более чем по одному разу.