§ 1. Три пишем, два в уме

Многим из вас когда-нибудь приходилось и, скорее всего, еще не раз придется заниматься различными вычислениями. Вы, наверняка, заметили, что считать "вручную" на бумаге или тем более в уме - дело кропотливое и к тому же весьма ненадежное. Ведь любая ошибка (а при большом объеме вычислений с возможностью сделать ошибку нельзя не считаться) ведет к неверному ответу, проверка которого означает пересмотр всех сделанных выкладок. Если же в результате этого пересмотра ответ не совпадает с первоначальным, то возникает вопрос, какому из двух ответов больше доверять. Стало быть, нужно набраться терпения и пересчитать все заново, а возможно, и не один раз.

Три пишем, два в уме

Между тем бороться с указанными неприятностями можно. Один из способов вам хорошо известен - это использование калькуляторов. К сожалению, калькулятор не всегда имеется под рукой. Поэтому полезно уметь немножко разнообразить скучное занятие, связанное с вычислениями, используя различные приемы как для упрощения выкладок, так и для их проверки. В настоящем параграфе вы найдете подборку задач, в которых как раз и разрабатываются такие приемы.

Требуется сложить много однозначных чисел. Как облегчить эту работу и быстрее получить правильный ответ?

Проделайте следующий эксперимент: откройте книгу на произвольной странице дальше 10-й и запишите число, составленное из двух последних цифр номера страницы. Открывая книгу много раз (скажем, ?0) и беря числа попеременно то с правой, то с левой стороны книги, вы получите большой набор двузначных чисел. Попробуйте быстро найти их сумму.

Какие приемы позволяют упростить эту работу?

Рис. 1

На рис. 1 приведены любопытные способы записи операций сложения и умножения многозначных чисел. Разберитесь в этих способах.

Если вы хорошо знаете таблицу умножения чисел, меньших 5, но почему-то неуверенно себя чувствуете при умножении однозначных чисел, больших 5, то вы можете контролировать себя с помощью пальцев следующим образом. Пусть надо перемножить числа 6 и 7. Загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5 (в нашем случае 6-5 = 1 палец), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7-5 = 2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества незагнутых пальцев, то получится соответственно число десятков 1+2 = 3 и число единиц 4*3 = 12, а сумма 30 + 12 = 42 как раз и будет равна произведению 6*7.

Дайте обоснование предложенному способу умножения;

Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т, е. искомое произведение будет равно 54.

Объясните, почему предложенный способ дает правильный ответ при умножении любого однозначного числа на 9.

Умножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Подумайте, каких. Предложите аналогичный способ умножения чисел на 99, на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д.

Деление числа 63 475 на 999 было произведено следующим образом:

откуда частное равно 63, а остаток 538.

Используя аналогичные преобразования, разделите число 63 475 с остатком на 99, на 98 и на 102.

Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Нельзя ли воспользоваться этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5? Что вы можете предложить вместо деления на 5?

Аналогично умножению или делению на 5 (см. задачу 1.8) можно сравнительно легко в уме умножать или делить числа на 25 и на 125. Как именно?

Предложите способы быстрого умножения на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 (а также на 15 и на 75), использующие представление десятичных дробей в виде обыкновенных.

При умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:

Как видоизменить этот способ для умножения на число, близкое к степени, двойки, скажем на 14 или на 35?

Предложите способ деления чисел на степень двойки, подобный способу удвоения (см. задачу 1.11).

Для того чтобы перемножить два двузначных числа, меньших 20, достаточно сложить цифры единиц этих чисел и, увеличив сумму в 10 раз, прибавить к ней 100 и произведение тех же цифр.

Дайте обоснование предложенному способу.

Для того чтобы перемножить два двузначных числа, близких к 100, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 100 и, увеличив разность в 100 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 100. Например, верны выкладки

Дайте обоснование предложенному способу.

При перемножении чисел 987 и 996 были проделаны вычисления:

Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и объясните способ его получения (сравните с задачей 1.14).

Докажите, что для перемножения двух чисел, у которых цифры единиц в сумме дают 10, а цифры других разрядов совпадают, достаточно число, получающееся в результате отбрасывания цифры единиц, умножить на следующее за ним натуральное число и, увеличив произведение в 100 раз, прибавить к нему произведение цифр единиц исходных чисел. Например, верны выкладки

Сформулируйте общее правило, с помощью которого возведены в квадрат следующие числа:

Откуда вытекает справедливость этого правила?

Докажите, что для перемножения двух чисел, оканчивающихся на 5, достаточно отбросить у каждого числа последнюю цифру, а затем, увеличив большее из полученных чисел на 1, умножить его на меньшее из них и прибавить к результату полуразность тех же чисел, наконец, увеличить ответ в 100 раз и прибавить 25. Например, пользуясь указанным способом, находим произведения

Если вы хорошо помните или умеете быстро восстанавливать в памяти квадраты натуральных чисел, то вы сможете и быстро перемножить, скажем, числа 32 и 36 следующим способом:

Обоснуйте верность приведенных выкладок и подумайте, к каким парам чисел удобнее применять указанный способ перемножения

чисел.

Пусть вы помните квадрат какого-то числа и хотите по нему быстро восстановить квадрат числа, отличающегося от исходного на 1 или 2. Как это можно сделать, не производя операции возведения в квадрат?

Если вы помните только квадраты чисел, кратных 5, то без особого напряжения сможете восстанавливать квадраты остальных целых чисел. Как именно?

Пусть вам известен куб некоторого числа. Как с его помощью проще найти куб следующего числа?

Быстрому возведению в квадрат может способствовать умение перемножать в уме любые числа с некоторыми числами специального вида, например

На каком приеме основаны вычисления квадратов в данных примерах?

Если вы знаете квадраты всех чисел от 1 до 25, то вам нет никакой необходимости заучивать квадраты следующих 25 чисел. Для возведения в квадрат любого числа, заключенного между 25 и 50, достаточно отнять от него 25 и, увеличив результат в 100 раз, прибавить к нему квадрат дополнения этого числа до 50. Например, справедливы равенства

Дайте обоснование предложенному способу.

Как изменить описанную в задаче 1.23 процедуру возведения в квадрат, чтобы она годилась и для двузначных чисел, больших 50?

При возведении в квадрат числа 492 были проделаны вычисления

Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и сформулируйте общее правило возведения в квадрат чисел, близких к 500 (сравните с задачами 1.23 и 1.24).

Решения

1.1. Имеет смысл сосчитать, сколько раз среди слагаемых встречаются в отдельной части числа 1, 2, 3, ..., 9. Если количества этих чисел скажутся соответственно равными n₁, n₂, n₃, ..., n₉, то искомая сумма будет равна 1*n₁ + 2*n₂ + 3*n₃ + ... + 9*n₉ и подсчет этой суммы можно будет произвести более экономно, а значит, с меньшей вероятностью ошибки.

1.2. Если чисел достаточно много, то среди них с большой вероятностью найдутся пары или тройки чисел, дающие в сумме целое число-десятков. Заменим такие группы чисел их суммами, а затем среди новых слагаемых выделим аналогично группы чисел, дающие в сумме целое число сотен. Действуя таким образом, мы сильно упростим работу по сложению исходных чисел. Например, складывая числа 17, 96, 72, 29, 93, 32, 87, 68, 84, 37, 13, 92, 55, 61, 45, 34, 73, 29, 20, 64, получаем

Попробуйте подсчитать сумму исходных чисел в том порядке, в каком они были записаны вначале, и вы убедитесь, насколько это трудоемкое и нудное занятие.

1.3. Приведенная на рис. 1, а запись есть не что иное, как запись поразрядного сложения многозначных чисел, отличающаяся от обычной тем, что в ней не требуется запоминать никаких цифр при переносе из одного разряда в другой. Так, при сложении цифр единиц всех слагаемых получается 20, что и записано в первой строке под чертой. При сложении цифр десятков всех слагаемых получается 34, что и записано в следующей строке (разумеется, не прямо под предыдущим числом, а со сдвигом на один разряд влево), и т. д.

На рис. 1, б приведена запись умножения чисел 345 и 578, в которой действия произведены в необычном порядке. Сначала перемножены цифры единиц и в первой строке записан результат 40. Затем перемножены последовательно такие пары цифр, которые дают число десятков произведения,- это пары 4, 8 и 5, 7 - и записаны результаты 32 и 35. Далее перемножены пары цифр, дающие число сотен, произведения, и т. д.

Наиболее труден для расшифровки, видимо, рис. 1, в, который отличается от предыдущего только тем, что в нем сложены и записаны в соответствующих местах числа единиц, десятков, сотен и т. д., полученные при умножении чисел 345 и 578. В первой строке под чертой записаны справа налево двузначное число единиц 40, затем двузначное число сотен 24 + 28 + 25 = 77 (заметьте, что именно сотен, а не десятков - в противном случае произошло бы неизбежное "наложение" одних чисел на другие, что повлекло бы за собой дополнительные трудности) и, наконец, двузначное число десятков тысяч 15. В следующей строке записаны аналогично двузначное число десятков 32+35=67 и двузначное число тысяч 21 + 20 = 41.

1.4. Пусть на левой руке загнуто a пальцев, а на правой - b пальцев. Тогда сами сомножители равны 5+a и 5+b соответственно, а их произведение равно

где 5-а и 5-b - как раз количества незагнутых пальцев на левой и правой руке соответственно. Таким образом, предложенный способ умножения на пальцах дает верный результат.

1.5. При умножении однозначного числа а на 9 предложенным способом мы получаем, что слева от а-го (поднятого) пальца находится а - 1 пальцев, а справа 10 - а пальцев, т. е. искомое произведение равно

что и требовалось объяснить.

1.6. Так как 9а = 10а-а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 437 имеем

Аналогично вместо умножения числа а на 99 или на 999 можно умножить его на 100 или на 1000 соответственно, а потом отнять само число а, например,

В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично, например,

1.7. Так как

то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как

то частное от деления на 98 равно 647, а остаток 69. Так как

то частное от деления на 102 равно 622, а остаток 31.

1.8. Вместо умножения числа а на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10, поскольку Аналогично вместо деления числа а на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10, поскольку Например, имеем

1.9. Так как 25 = ¹⁰⁰/₄, то справедливы формулы 25а = ^а/4 *100 и ^а/₂₅ = ^4а/₁₀₀ пользуясь которыми, например, получаем

Что же касается умножения и деления на 125, то здесь аналогично получаем формулы правые части которых также реализуются в уме, например,

1.10. Учитывая равенства

мы можем умножение произвольного числа на 2,5 заменить делением удесятеренного числа на 4, умножение на 1,25 - прибавлением четверти числа или делением удесятеренного числа на 8, умножением на 1,5 - прибавлением половины числа, умножение на 0,75 - вычитанием четверти числа. Так, справедливы выкладки

Наконец, умножение на 15 и на 75 можно представить соответственно как умножение на 1,5 и на 0,75 с последующим умножением соответственно на 10 и на 100, например

1.11. При последовательном умножении числа на возрастающие степени двойки, т. е. при последовательном удвоении, можно фиксировать те числа, сумма или разность которых дает искомое произведение. Так, умножение числа 139 на 14 = 2⁴ - 2¹ можно провести следующим образом:

(здесь, разумеется, использованы выкладки, приведенные в условии задачи). Аналогично умножение на 35 = 2⁶ + 2¹ + 2⁰ можно провести так:

1.12. Деление на степень двойки можно провести в такой же последовательности, как умножение, описанное в формулировке задачи 1.11, но, естественно, с заменой операции умножения операцией деления, например,

1.13. Пусть надо перемножить два числа вида 1a^- и 1b^-. Тогда имеем равенства

которые подтверждают правильность предложенного в условии задачи способа.

1.14. Из равенства

где а и b - дополнения первого и второго сомножителя до 100 соответственно, вытекает правильность предложенного способа.

1.15. Ответ получен из верного равенства

при а = 13 и b = 4. Таким образом, для перемножения двух трехзначных чисел, близких к 1000, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 1000 и, увеличив разность в 1000 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 1000.

1.16. Пусть нужно перемножить числа 10а+b и 10а+с, удовлетворяющие условию b+с = 10. Тогда имеем

что и требовалось доказать.

1.17. Для возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5, достаточно отбросить у него последнюю цифру, а затем перемножить полученное число с числом, большим его на 1, и приписать к результату справа 25. Это правило является следствием равенства, доказанного в решении задачи 1.16, если в нем положить b = с = 5.

1.18. Пусть перемножаются числа 10а+5 и 106+5. Правильность предложенного способа вытекает из следующих равенств:

1.19. Произведение чисел а и b можно найти по формуле

удобной для применения в случае одновременной четности или одновременной нечетности сомножителей (в противном случае их полусумма и полуразность были бы нецелыми) и в случае, когда эти сомножители близки друг к другу.

1.20. Квадраты двух соседних чисел различаются на сумму этих чисел, поскольку имеют место равенства

Аналогично, если числа различаются на 2, то разность их квадратов

равна удвоенной сумме этих чисел. Так как любое целое число отличается от ближайшего числа, кратного 5, не более чем на 2, то, пользуясь указанными здесь соображениями, можно восстановить его квадрат, например,

1.21. Кубы двух соседних чисел а и а+1 различаются на число

равное утроенному произведению этих чисел, увеличенному на 1. Поэтому, зная куб, скажем, числа 30, мы быстро находим куб следующего числа:

1.22. Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле

в которой удачный подбор числа b сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться "круглым" числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число b должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к "круглым".

1.23. Пусть надо найти квадрат числа а, заключенного между 25 и 50. Тогда, пользуясь формулой из решения задачи 1.22, получаем

откуда следует справедливость предложенного способа.

1.24. Приведенные в решении задачи 1.23 выкладки справедливы для любого числа а, поскольку они не используют оценок 25<а<50. Для описания же процедуры возведения в квадрат двузначного числа а, большего 50, имеет смысл в соответствующем описании из условия задачи 1.23 "дополнение" числа а до 50 заменить дополнением 50 до числа а, а вычитание 25 из числа а - прибавлением 25 к уже найденному дополнению а - 50. Действительно, с учетом формулы из решения задачи 1.23 имеем

Например, при а = 63 получаем

1.25. Для возведения в квадрат числа, близкого к 500, достаточно отнять от него 250 и, увеличив результат в 1000 раз, прибавить к нему квадрат разности между исходным числом и 500. Действительно, по аналогии с решением задачи 1.23 имеем

а при а = 492 получаем разобранный в условии пример.