Вечер чайного дня

- Открываем наше вечернее заседание, - объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. - Что у нас на повестке... пардон, на чашке дня?

Бес молча указывает на рисунок, где три блистательных кавалера и одна изысканная дама играют в карты.

- Эпизод под названием "В великосветском салоне", - определяет Фило.

Все еще позевывая, Асмодей заглавие одобряет, считает, однако, необходимым добавить, что к этому эпизоду примыкает еще один: "Встреча на улице Сен-Мишель", связанный с ним общей темой "Теория вероятностей". Кроме того, прежде чем перейти к обсуждению, не мешает установить дату...

Мате уверенно объявляет, что разговор за карточным столом мог быть только зимой 1654 года.

- Почем вы знаете? - любопытствует Фило.

- Да потому что речь, если помните, шла о переезде Паскаля и герцога Роанне в Пор-Рояль. Отсюда следует, что интересующий нас эпизод происходил уже после обращения Паскаля, которое, как я выяснил, относится к 23 ноября 1654 года. И судя по тому, что маркиза об этом узнать не успела, разговор ее с де Мере отстоит не слишком далеко от указанной даты. Он мог состояться в конце ноября или в начале декабря.

- Мог-то мог, но вот состоялся ли? - неосторожно прорывается у Фило.

- Пф! - Асмодей возмущенно фыркает и просыпается окончательно. - Не все ли равно! Важно другое: убедительно или неубедительно? Вероятно или невероятно?

- Вероятно, вероятно! - дружно успокаивают его филоматики.

- Вот и перейдем к задачам о вероятностях, о которых так красноречиво рассказывал шевалье де Мере, - ловко поворачивает разговор черт. - Начнем, как полагается, с начала, то есть с первой задачи. Суть ее такова: двое играют в кости, бросая по два кубика сразу. Первый ставит на то, что хотя бы один раз выпадут две шестерки одновременно. Другой - на то, что две шестерки одновременно не выпадут ни разу. Спрашивается, сколько надо сделать бросков, чтобы шансы на выигрыш первого игрока превысили шансы второго.

Вечер чайного дня

- Ясно, что здесь возможны 36 комбинаций, - говорит Мате.

- Это почему же? - сейчас же придирается Фило.

- Да потому, что каждая из шести граней первой кости варьируется с шестью гранями второй. Следовательно, число возможных вариантов есть 6×6, что всегда равно 36. И только один из этих 36 вариантов дает выигрыш первому игроку. Стало быть, вероятность выпадения двух шестерок очень мала: ¹/₃₆ ≈ 0,028. А вероятность невыпадения, наоборот, очень велика: 1 - ¹/₃₆ = ³⁵/₃₆ ≈ 0,972. При вторичном броске вероятность невыпадения сохраняется (³⁵/₃₆), так как она не зависит от результата первого броска. Значит, согласно теореме умножения, вероятность невыпадения с учетом обоих бросков будет уже равна произведению вероятностей каждого броска в отдельности, то есть (³⁵/₃₆)². Тогда вероятность выпадения при двух бросках равна: 1 - (³⁵/₃₆)², что больше вероятности выпадения при одном броске почти вдвое: 1 - (³⁵/₃₆)² ≈ 1 - 0,95 = 0,05. Остается выяснить, каково должно быть минимальное число бросков, чтобы вероятность выпадения превысила вероятность невыпадения, то есть стала бы больше половины. Обозначим неизвестное нам число бросков через х. Тогда вероятность невыпадения (³⁵/₃₆)^х, вероятность выпадения р = 1 - (³⁵/₃₆)^х. Вот и всё!

- Позвольте! - шебаршится Фило. - Как же всё, если икс так и остался ненайденным? И каким способом вы думаете его найти?

- Очевидно, либо с помощью логарифмов, либо подбирая вместо икса числа, при которых вероятность выигрыша станет больше 0,5.

- Значит, именно так решали эту задачу в семнадцатом веке?

- Вот этого не скажу. К сожалению, лично мне способы Паскаля, Ферма и де Мере не известны.

- Зато известны результаты их решений, мсье, - напоминает бес. - У Паскаля и Ферма х = 25. А шевалье де Мере, как вы помните, получил два ответа: 24 и 25. И теперь у нас есть полная возможность выяснить, какой же из них верен.

- Вот именно, - кивает Мате. - При х = 24: р = 1 - (³⁵/₃₆)²⁴ ≈ 0,5094 = 0,4906. При х = 25: р = 1 - (³⁵/₃₆)²⁵ ≈ 1 - 0,4955 = 0,5045. Так что правы-то все-таки Паскаль и Ферма: вероятность, превышающая половину - 0,5045, - получается именно при х = 25.

- Слава тебе господи! - ублаготворенно вздыхает Фило. - Одна задача с плеч долой. Можно переходить ко второй...

Но в это самое время из знакомой уже нам книги Лесажа, на обложке которой Хромой бес возносит в ночное небо сеньора в испанском плаще и широкополой шляпе с перьями, вырывается чей-то отчаянный баритон в сопровождении дикого хора кошачьих воплей.

- Асмодей, Асмодей! Куда вы запропастились? Я жду вас целую вечность!

- Дон Клеофас Леандро-Перес Самбульо, - смешливым шепотом поясняет черт. - Постоянно этот студент влипает в какие-то истории!

Услыхав голоса своих сородичей, Пенелопа и Клеопатра приходят в страшное волнение и начинают носиться по квартире как угорелые. Буль, которому передается их беспокойство, рычит, задрав голову к потолку. Но виновник переполоха и ухом не ведет!

- Асмодей! - взывает Самбульо. - Есть у вас совесть? Бросили меня на крыше, а тут какой-то кошачий симпозиум. Вы что, хотите, чтобы я оглох от этой кошкофонии?

"Мя-а-а-у! Мя-а-а-у!" - завывают коты на крыше.

"Мяу! Мяу!" - вторят кошки в комнате.

И тут Асмодей не выдерживает (он бес не бессердечный).

- Лечу, дорогой дон Леандро-Перес! - восклицает он, торопливо дожевывая кусок пирога. - Продержитесь еще немного! Сейчас все будет улажено.

Он вихрем взвивается к потолку и снова исчезает за картонной обложкой, откуда сразу же доносится жалобный визг разгоняемых симпозиатов вперемешку с чертыханием Самбульо. Потом все стихает, и Асмодей с расцарапанным носом, но зато в прекрасном настроении вновь занимает место у стола.

- Ну и переделка, мсье! По-моему, там собрались коты со всего Мадрида. Только на сей раз не пришлось им закончить своей котовасии. Ко-ко-ко...

- Сходное положение. Совсем как во второй задаче де Мере, - острит Мате. - Игроки вносят деньги, но не успевают закончить игру. После чего им приходится выяснять, какая часть ставки причитается каждому.

- Добавьте, мсье, что в игре участвуют трое, бросающие трехгранные кости, и что каждый ставит на одну из граней.

- Разберемся по порядку, - начинает Мате. - Допустим, игроки условились бросать кости по очереди до тех пор, пока у одного из них задуманное число очков не выпадет, скажем, шесть раз. При этом первый, кому повезет, забирает все три ставки себе. Теперь рассмотрим такую картину. У одного игрока уже было пять удач. Значит, до выигрыша ему остается всего один счастливый бросок. У второго и третьего до выигрыша не хватает двух удачных выпадений, то есть у каждого из них задуманное число очков выпало по четыре раза. Но в это время игра прекращается, так как происходит что-то из ряда вон выходящее - пожар, землетрясение, всемирный потоп (ибо что же еще может заставить заядлых игроков бросить игру?). И тут возникает вопрос: как разделить поставленные деньги между партнерами?

- Вот так задачка! - Фило озабоченно почесывает затылок. - На месте де Мере я бы тоже ее не решил.

- Зато это сделали Ферма и Паскаль, причем каждый своим способом. И так как способ Ферма несколько сложнее, разберем решение Паскаля. Итак, первому игроку не хватает одного угадывания. Но ведь неизвестно еще, как бы сложилась игра в дальнейшем. Могло ведь повезти и другим партнерам! Стало быть наверняка первому причитается ¹/₃ и сверх того какой-то добавок, так как к моменту прекращения игры он был все-таки впереди. Остается выяснить величину этого добавка (при этом заметьте, что до выигрыша одного из игроков не хватает максимум трех бросков). Допустим, игра продолжается, и при следующем броске удача приходит ко второму игроку. Тогда его шансы уравниваются с шансами первого. Но не упущена возможность выиграть и у третьего. Поэтому, после того как первому отдадут одну треть ставок, надо оставшуюся часть, то есть ²/₃ ставок, снова разделить на три равные части. Таким образом, первый игрок получает дополнительно одну треть от ²/₃, то есть ²/₉. То же, естественно, полагается и второму игроку. Значит, в кассе остается ²/₃ - ²/₉ - ²/₉ = ²/₉. Если игра все еще продолжается, то при третьем, последнем, броске повезти может и третьему игроку. Тогда права всех партнеров на оставшиеся деньги уравниваются. А посему остаток снова следует разделить на три части. Значит, первый получает еще одну треть от ²/₉, то есть ²/₂₇. А всего ему причитается: ¹/₃ + ²/₉ + ²/₂₇ = ¹⁷/₂₇.

Вечер чайного дня

- Можете не продолжать, - перебивает Фило. - Оставшиеся ¹⁰/₂₇ надо поделить поровну между двумя другими игроками, по ⁵/₂₇ каждому. Ведь когда игра прервалась, шансы их на выигрыш были одинаковы.

- Итак, - заканчивает бес, - ставки следует разделить в отношении 17:5:5. А теперь давайте подумаем, в каких отношениях разделить между всеми присутствующими яблочный пирог, оставшийся после утреннего заседания.

- Прекрасная задача, - смеется Фило. - Прежде всего потому, что долго думать над ней не приходится.

Он берет большое круглое блюдо с доброй половиной пышного, румяного пирога и торжественно преподносит черту.

- Что вы, что вы, мсье! - отнекивается тот. - Ни под каким видом! Я бес не бессовестный...

И, ловко выхватив блюдо из рук обескураженного хозяина, молниеносно скрывается за переплетом. На сей раз-до утра.