Беседа 10. Учитесь решать задачи

Мы установили, что в математике вы должны учиться многим важным умениям, играющим огромную роль в жизни каждого человека, в его работе: строить математические объекты, правильно определять понятия об этих объектах, устанавливать и доказывать существенные свойства этих понятий, проводить их классификацию. Но есть еще одно трудное, но важное умение, которому вам надо научиться,- это умение решать задачи.

Ведь с задачами (житейскими, производственными, научными) человек встречается ежедневно. Любое дело, любая работа в конечном счете сводится к решению задач. Поэтому научиться решать задачи чрезвычайно важно. Конечно, в математике решаются не любые задачи, а лишь математические и сводимые к ним. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи, и тот, кто умеет решать эти задачи, сумеет решить и другие.

Поэтому учитесь, учитесь решать математические задачи!

Почему некоторые из вас не умеют самостоятельно решать задачи? Почему они не знают, как подступиться к решению новой незнакомой задачи?

Главная причина состоит в том, что эти ученики не понимают сущности задач, сущности их решения, не владеют общими методами поиска их решений.

Решение задач - это сложная работа. Материалом, над которым производится эта работа,- сами задачи, методы их решения - это инструменты для работы, а само решение - это процесс работы, процесс применения инструментов к материалу. Поэтому, чтобы облегчить решение задачи, надо, конечно, знать материал этой работы, т. е. сами задачи - как они устроены, из чего состоят, надо знать и владеть инструментами - методами решения задач, и научиться разумно применять эти инструменты.

Рассмотрим кратко основные особенности задач, решаемых в математике. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи, сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления.

Примерами математических задач являются задачи на решение уравнений, неравенств, разные геометрические задачи и т. д. Примерами практических задач являются задачи, в которых речь идет о движении поездов, о работе, о размерах реальных предметов и т. д.

Для сведения практических задач к математическим реальные объекты, рассматриваемые в этих задачах, заменяются соответствующими математическими объектами (числами, отрезками, функциями и т. д.), и тем самым получается модель практической задачи - математическая задача. Приведем пример.

Задача 1. Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в город на 4 ч раньше. Каково расстояние между городами?

Для решения этой задачи рассматриваемые в ней реальные объекты - расстояние между городами и скорости велосипедиста - заменяем соответственно математическими объектами - искомое х и числа 10 и 12. Тогда легко составить уравнение:

Это уравнение и есть модель данной задачи - соответствующая математическая задача.

Как устроены задачи? Из каких частей они состоят?

Всякая задача содержит одно или несколько условий - высказываний, принимаемых нами за истинные, и одно или несколько требований.

Задача 2.В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды, одна длиной 16 см, другая 14 см. Расстояния этих хорд до центра равны 1 см и 4 см. Определить отрезки, на которые делятся хорды точкой их пересечения.?

Построим указанные в задаче объекты: окружность центра О и две взаимно перпендикулярные хорды. Из центра О опустим на хорды перпендикуляры, чтобы найти их расстояние от центра (рис. 10). Тогда в этой задаче можно выделить следующие условия и требования:

Рис. 10

Условия: 1) О - центр окружности; 2) АВ - хорда; 3) CD - хорда; 4)АВ⊥ CD; 5) АВ= 16; 6) CD= 14; 7) М - точка пересечения АВ и CD; 8) OK⊥AB; 9) ОK=1; 10) OL⊥OD; 11) OL = 4.

Требования: 1) найти AM; 2) найти ВМ; 3) найти СМ; 4)найти DM.

Как видим, эта простая задача содержит 11 условий и 4 требования. А как построены условия? Анализируя их, устанавливаем, что каждое условие содержит один или несколько объектов,которых идет речь в условиях. Так, в условии 1 имеется один объект - точка О, точно так же в условиях 2 и 3 по одному объекту - отрезки АВ и CD, а вот уже в условии 4 два объекта: отрезки АВ и CD, а в условии 7 даже три объекта: отрезки АВ и CD и точка М. По одному объекту содержат условия 5, 6, 9 и 11 и по два объекта условия 8 и 10.

Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика. Так, в условии объект - точка О характеризуется как центр окружности, в условиях 2 и 3 - объекты - отрезки АВ и CD характеризуются как хорды. Это все качественные характеристики. В условии 5 дается количественная характеристика объекта - отрезка АВ, а именно указано, что его длина равна 16. Точно так же в условиях 9 и 11 указаны количественные характеристики рассматриваемых там объектов.

Если же в условии заданы два или более объекта, то указывается соотношение между ними. Так, в условии 4 два объекта - отрезки АВ и CD и в нем указано соотношение между ними: они взаимно перпендикулярны. В условии 7 соотношения между тремя ее объектами состоят в том, что один из них - точка М есть точка пересечения двух других объектов - отрезков АВ и CD и т. д.

Что касается требований, то в математических задачах наиболее часто встречаются такие виды требований: 1) найти искомое (величину, форму, отношение); 2) преобразовать заданный объект в другой вид; 3) построить некоторый объект с заданными характеристиками; 4) доказать справедливость некоторого утверждения.

В приведенной задаче 2 все четыре требования первого вида. Теперь рассмотрим, в чем состоит решение задачи.

Будем решать задачу 2.

1. В четырехугольнике OKML углы L, К и М - прямые по построению, тогда и угол О также прямой, ибо сумма углов четырехугольника равна 360°.
2. Следовательно, по определению прямоугольника этот четырехугольник OKML - прямоугольник.
3. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому MK = OL, a OL по условию 11 равен 4, значит, и MK = 4 и т. д.

Как видим, решение задачи состоит из одного или нескольких шагов. Каждый шаг решения состоит в том, что мы применяем какое-то общее положение математики (определение, теорему, формулу, правило и др.) к условиям задачи или к полученным ранее результатам решения и выводим из этого следствие. Следствием последнего шага решения задачи должно быть то, что требуется в задаче.

Приведем еще один пример.

Задача 3. Разложить на множители многочлен х⁴ + 4 (1).

В этой задаче имеется одно условие: x⁴+ 4 - многочлен, и одно требование: преобразовать этот многочлен и представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это требование второго вида.

Решение этой задачи состоит из следующих шагов.

1. Прибавим к данному многочлену (1) выражение 4x²-4x², равное нулю, от этого значение (1) не изменится, получим:
   (2)
   
2. Сгруппируем члены (2) следующим образом:
   (3)
   
   Это мы имели право сделать на основе переместительного и сочетательного законов сложения.
3. Применим к выражению, стоящему в скобках в правой части (3), формулу квадрата суммы, получим:
   (4)
   
4. Представим 4x² как (2x)², тогда имеем:
   (5)
   
5. Применим к правой части (5) формулу разности квадратов:
   (6)
   
   Сопоставим все полученные равенства на основе аксиомы: если а = b и b = с, то а -с, получим окончательно:
   (7)
   

Это решение можно изобразить следующей схемой:?

Итак, решение любой задачи состоит в том, что находят такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи или к их следствиям в конечном итоге удовлетворяем требованиям задачи.

Наибольшая трудность в решении задачи - это нахождение указанной последовательности общих положений математики. Если эта последовательность уже найдена, то все остальные в решении - применение этих общих положений к условиям задачи или к следствиям, не представляет большого труда.

Для многих задач в самой математике разработаны эти последовательности общих положений, которые образуют известные общие правила (или, как говорят, алгоритмы) решения задач определенного вида.

Так, например, для производства всех действий над числом имеются готовые правила. Имеются особые правила и для решения многих алгебраических и геометрических задач. Однако большей частью эти правила сформулированы в математике в свернутом виде. Для того чтобы применить их для решения соответствующих задач, вы должны эти свернутые правила развернуть в пошаговую программу.

Например, формула (а+b)² = а² + 2аb +b² есть правило для возвышения двучлена в квадрат. Для применения этого правила к решению какой-либо задачи надо это правило развернуть в пошаговую программу. Покажем, как это делается на примере решения задачи:

Представить в виде многочлена выражение (2х-3у)²

Математические задачи, для которых в математике имеются готовые правила - программы их решения, называются стандартными. Решение стандартных задач особых трудностей не представляет. Надо лишь распознать вид данной задачи, вспомнить соответствующее этому виду задач правило решения, развернуть это правило в пошаговую программу и применить ее к условиям данной задачи.

Значительно труднее решать нестандартные задачи, для которых в математике нет готовых правил. Решение нестандартных задач состоит в том, чтобы свести их к решению одной или нескольких стандартных задач. Например, задача 3 является нестандартной, но мы свели ее к решению нескольких стандартных задач. Приведем еще пример.

Задача 4. Построить трапецию, если даны большее основание, средняя линия и углы при меньшем основании.

Решение. В этой задаче дано (рис. 11):

Рис.11

Требование задачи: построить трапецию по заданным элементам. Эта задача нестандартная, ибо в математике нет правила построения трапеции по указанным элементам.

Ищем способ решения.

Рис.12

Пусть ABCD - искомая трапеция (рис. 12). Сразу построить всю трапецию или какую-либо ее часть, как видно, нельзя. Причина состоит в том, что заданные элементы разобщены. Так, заданные углы находятся не при известных большем основании или средней линии, а при неизвестном меньшем основании. Однако, зная углы при меньшем основании, легко найти и углы при большем основании: они дополняют соответствующие углы при Рис. 12 меньшем основании до 180°. Найдя их, мы тем самым установим направления боковых сторон трапеции в известных вершинах А и В большего основания. Теперь осталось найти положение средней линии. Для этого заметим, что NK||AM отсекает от АВ отрезок AK = MN. Следовательно, можно отложить на АВ отрезок АK, равный MN, и через точку К провести прямую, параллельную AD, до пересечения с ВС в точке N. Тем самым определится середина боковой стороны ВС. Отложив от N отрезок NC, равный BN, мы найдем вершину С, а проведя через нее прямую, параллельную АВ, найдем и последнюю вершину D.

Таким образом мы свели решение этой нестандартной задачи к решению следующих стандартных задач:

1. На произвольной прямой отложить отрезок АВ = а.
2. Построить угол, смежный с данным углом α; то же для угла β.
3. Построить угол, равный смежному с α, так, чтобы его вершиной была точка А, а одной стороной - отрезок АВ, получаем угол ВАЕ; то же для угла, смежного с β, при вершине В и стороной ВА, получаем угол ABF.
4. Отложить от А на прямой АВ отрезок АК=m.
5. Провести через точку К прямую KL||AE.
6. Найти точку пересечения прямой KL и BF, получаем точку N.
7. Отложить от точки N на прямой BF отрезок NC = BN.
8. Провести через точку С прямую СР||АВ.
9. Найти точку пересечения прямых СР и АЕ, получаем точку D. Фигура ABCD - искомая трапеция.

Все шаги этого решения представляют собой стандартные задачи.

Конечно, надо еще доказать, что построенная фигура действительно есть искомая трапеция, установить условия, при которых задача имеет решения, но это сделать уже нетрудно.

При поиске способа решения нестандартных задач, при сведении их к стандартным надо пользоваться теми же эвристиками, которые мы указали в 8-й беседе. Но эти эвристики в данном случае лучше сформулировать несколько иначе, а именно:

1. Если можно, надо сложную задачу разбить на несколько более простых задач.

В рассмотренной выше задаче 4 мы разбили ее на 9 простых стандартных задач. Приведем еще один пример разбиения задачи на простые задачи.

Задача 5. Построить график функции:

(1)

Решение. Сразу построить график этой функции вряд ли возможно. Попытаемся разбить эту задачу на части - более простые задачи, рассматривая заданную функцию в таких промежутках изменения х, в которых график функции легко по-строить. Так как в выражение (1) входят модули |x+1|, |х-1| и |x|, то естественно рассмотреть те промежутки, в которых значения этих модулей определенные. Очевидно, что для этого надо выделить точки, в которых эти модули меняют свое значение. Этими точками являются числа - 1, 1 и 0. Поэтому рассмотрим четыре промежутка: x< - 1, -1<x<0, 0<x<1 и x>1. Тем самым наша задача разбивается на 4 более простые задачи.

Рис.14

1. Построить график функции (1) в промежутке x<-1. В этом промежутке
   
   
   График этой функции мы знаем, как строить, это будет часть параболы АВ (рис.13)
2. Построить график функции (1) в промежутке -1<x≤0. В этом промежутке
   
   
   Графиком будет часть параболы ОС.
3. Построить график функции (1) в 0<x<1. В этом промежутке
   
   
   Графиком будет часть параболы OD.
4. Построить график функции (1) в промежутке x>1 В этом промежутке
   
   
   Графиком будет часть параболы EF.

Таким образом мы полностью построили график функции (1), он состоит, как видим, из четырех частей.

В данном случае разбиение сложной задачи на части - более простые задачи, мы произвели, разбив область задачи на части. Иногда разбиение сложной задачи можно производить разбиением условий задачи на части, а иногда можно разбивать на части требование задачи. Вот пример такой задачи.

Задача 6. При каких значениях а оба корня уравнения х²-2ах+4 = 0 (1) положительны?

Решение. Для того чтобы оба корня (1) были положительны, нужно, во-первых, чтобы (1) имело два корня, а для этого, как известно, необходимо, чтобы дискриминант уравнения был неотрицательный. Во-вторых, так как свободный член (1) положительный, то оба корня имеют одинаковые знаки, а поэтому, чтобы они имели знаки "плюс", нужно, чтобы коэффициент среднего члена был отрицательный.

Следовательно, разбив требование задачи на указанные две части, мы разбиваем и саму задачу на две более простые задачи:

1. При каких значениях а дискриминант уравнения (1) неотрицательный?
   (2)
   
2. При каких значениях а коэффициент среднего члена уравнения (1) отрицательный?
   (3)
   

Сопоставляя (2) и (3), получаем окончательно: а≤2. При этих значениях а оба корня (1) будут положительны.

Если не видно, как решить задачу, то надо попытаться преобразовать ее или заменить другой, равносильной ей.

Приведем пример.

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение. Проще всего эту систему решить, заменив ее другой с помощью подстановки:

(1)

Тогда исходная система переходит в следующую, ей равносильную: Решив эту систему, найдем: Подставив в (1), получаем новую систему:

Решив эту систему, найдем окончательно:

х = 4, у = 3.

Приведем еще один пример.

Задача 8. Расстояние между двумя колхозами 12 км. Колхозник вышел из своего колхоза в 9 ч 25 мин и прибыл в другой в 13 ч 15 мин. На следующий день он отправился в обратный путь в 11 ч и пришел домой в 14 ч 40 мин. На каком расстоянии от его колхоза находится пункт, который колхозник проходил в один и тот же час как на прямом, так и на обратном пути.

Решение. Обычный способ решения подобных задач - составление уравнения или системы уравнений - в данном случае трудно применить, ибо не видно, как составить уравнение; вопрос задачи уж очень необычный. Проще эту задачу решить, за-меняя ее графической моделью.

Рис. 14

Для этого в системе координат, где на оси абсцисс откладываем в каком-то произвольном масштабе расстояние, а на оси ординат - время в часах и минутах, притом за начало на оси времени берем не 0 ч, а 9 ч утра, строим графики движения колхозника туда и обратно (прямые АВ и CD) (рис. 14).

Если мы возьмем какой-либо пункт на пути колхозника, например пункт К, то этот пункт он проходил на прямом и обратном пути в разное время: на прямом пути в Е ч, а на обратном - в F ч. Но есть один пункт N, который он проходил в одно и то же время как на прямом, так и на обратном пути: этот пункт соответствует точке пересечения графиков его движения - точке М. Это и есть искомый пункт.

Чтобы найти расстояние этого пункта от первого колхоза, рассмотрим треугольники AMD и СМВ, они подобны. Поэтому их высоты МР и MQ пропорциональны сторонам AD и СВ. AD= 14 ч 40 мин - 9 ч 25 мин =5 ч 15 мин = 315 мин, СВ =13 ч 15 мин - 11 ч = 2 ч 15 мин = 135 мин. Получаем такую пропорцию: PM:MQ=315:135 = 7:3. Так как PM+MQ = PQ = 12 км, то находим, что РМ = (7/10)*12 км = 8,4 км.

3. Если данные и искомые (неизвестные) задачи прямо (явно) не связаны, то надо ввести вспомогательные элементы, которые их связывают.

Приведем пример использования этой эвристики.

Задача 9. Эту задачу придумал Исаак Ньютон (1643-1727).

Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву на лугу за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров съедят всю траву на лугу за 96 дней?

Решение. Непосредственно составить уравнение или систему уравнений по данным задачи нельзя, ибо количество коров и число дней прямо не связаны: они не находятся в прямой или обратной пропорциональности. Чтобы найти связь между ними, введем вспомогательные элементы:

• первоначальное количество травы на лугу - а ед.
• каждый день там вырастает - b ед.
• одна корова за 1 день съедает - с ед.

Теперь можно составить такие уравнения: в первый раз всего травы за 24 дня выросло: а + 246, 70 коров за 24 дня съели 70*24с ед. травы. Тогда по условию a+ 246 = 70*24с. (1)

Аналогично получаем: а + 606 = 30 -60с (2)

а+ 966 = x*96с, где x - искомое (3) количество коров.

Вычитая из (2) почленно (1), найдем: 366 = 120с или с = 0,36. (4) Подставляя значение с из (4) в (1), найдем: а = 4806. (5)

Подставим значения а и с из (5) и (4) в (3), получим: 576b = 28,8*x*b. Так как b≠0, то, сократив на b, найдем: x = 20 (коров).

Конечно, при решении многих нестандартных задач приходится использовать не одно какое-либо эвристическое правило, а несколько. Знание этих эвристик, владение ими очень помогает при поиске решения нестандартных задач.

Итак, вам надо научиться решать задачи, математические и практические. Для этого прежде всего надо очень внимательно их изучать, анализировать, устанавливать каждый раз условия и требования, содержащиеся в задаче, выяснять, какие объекты, их характеристики и отношения входят в условия, что означают требования задачи. На такой подробный и тщательный анализ не надо жалеть ни времени, ни сил. Только на основе такого анализа будет эффективен ваш поиск способов решения задач. При этом следует помнить, что решение задачи сводится к нахождению таких общих положений математики, применяя которые к условиям задачи или к их следствиям можно удовлетворить ее требования. Поэтому общие положения математики: ее аксиомы, теоремы, правила, формулы, тождества надо знать, надо помнить. Без такого знания вы не сумеете решать задачи.

Нахождение способа решения задачи подобно изобретению, а изобретение требует воображения, догадки, фантазии. Поэтому развивайте у себя эти качества.

А главное - не спешите при решении задач, не стремитесь решить как можно больше задач. Лучше решить меньше задач, но вдумчиво, с пользой. А для этого, решив задачу, обдумайте проделанное решение, установите, в чем своеобразие задачи, ее решения, что нового вы узнали и приобрели, решив эту задачу. Вот это новое, вот те общие и специальные приемы, которые вы использовали при решении этой задачи, постарайтесь запомнить, усвоить. Все это вам пригодится при решении других задач.

Задание 8

8.1. Проанализируйте следующие задачи, выделите в каждой из них все условия, установите, какие объекты входят в каждое условие, какие характеристики или отношения между объектами заданы в этих условиях.

а) Путешественник проехал автобусом и по железной дороге всего 600 км, причем автобусом он проехал в 4 раза меньше, чем по железной дороге. Сколько часов был в пути путешественник, если автобусом он проезжал 30 км в час, а по железной дороге 32 км в час?

б) Равнобочная трапеция с боковой стороной, равной 15 см, и углом при большем основании 60° описана около круга. Найти основания трапеции.

8. Выясните, какие условия и какие требования содержат следующие задачи:

а) Какая из трех высот равнобедренного треугольника может быть больше его основания?

б) Что больше и на сколько: частное (x⁴-3x²+1):(x²-x-1) или произведение (x-10)*(x+11)?

8.3. Напишите пошаговую программу решения следующей задачи, указывая для каждого шага общие положения математики, на основе которых выполняется решение:

Решить неравенство:

Рис. 15

8.4. Решите следующие задачи и установите, какие эвристические правила вы при этом использовали:

а) Через одну из вершин треугольника проведена вне его прямая MN. Зная, что расстояния от других вершин треугольника до прямой MN равны 10 см и 8 см, найти расстояние середин сторон треугольника до прямой MN.

б) Построить треугольник по двум высотам и медиане к третьей стороне.

в) Найти сумму площадей квадрата ACEF и параллелограмма FBCD (рис. 15), если АВ = а и АС=b.

г) Решить уравнение: x¹²-x⁹+x⁸-x⁵+1=0.

д) Поезд проходит расстояние от A до В за 10 ч 40 мин. Если бы скорость поезда была бы на 10 км/ч меньше, то он пришел бы в В на 2 ч 8 мин позже. Определить расстояние между А и В.

е) На берегу круглого озера четыре пристани K, L, Р и Q. От пристани К отплывает катер, а от пристани L одновременно отплывает лодка. Если катер поплывет прямо в Р, а лодка - прямо в Q, то они встретятся в некоторой точке X озера. Доказать, что если катер поплывет в Q, а лодка в Р, то они достигнут этих пристаней одновременно.