Беседа 5. Математические понятия и их определения

Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.

Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: "5 больше 3", "АВ является стороной треугольника ABC", "Угол А не является смежным с углом В" и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?

Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства - это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.

Рис. 3

Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам - это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В - являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.

Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие - это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте.

Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте - треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия "равнобедренный треугольник" меньше объема понятия "треугольник", ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.

Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.

Например, определение параллелограмма: "Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны". Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия - параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм - это четырехугольник; 2) противоположные его стороны параллельны. Первое свойство - это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство - это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: "Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2". Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:

В данном случае мы имеем: название определяемого понятия - четные числа, родовое понятие - натуральные числа, видовые отличия - кратны числу 2.

Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.

Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков". В этом определении указано родовое понятие для треугольника - фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис - происхождение). Вот еще пример генетического определения: "Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F^' при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X^' фигуры F^', построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ^', равный ОХ". Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F^', симметричной фигуре F относительно точки О.

Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: "Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией". Здесь определяемое понятие - арифметическая прогрессия, родовое понятие - числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:

Такое определение называется индуктивным (от слова индукция - наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия - возвращение).

Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.

Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.

Итак, второе, чему нужно научиться в математике, - это умению строить определения математических понятий каким-либо способом. Это умение довольно сложное, и мы о нем поговорим еще в следующей беседе. А пока выполните следующее задание, чтобы закрепить те сведения, которые вы получили в данной беседе.

3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:

а) Две стороны трапеции параллельны.

б) Оба угла при большем основании острые.

в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

г) Основания трапеции горизонтальны.

д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.

3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?

3.3.Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:

а) В треугольнике проведены три медианы.

б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?

г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:

а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.

б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

г) Если точка О является серединой отрезка АВ, то точки A и В называются симметричными точками относительно точки О.

3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.

3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170-1250) задаются с помощью следующей формулы: а_n+2=а_n+1+a_n. Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?

3.7. Приводим следующее описание построения перпендикулярных прямых: "Пусть а и b - две пересекающиеся прямые. При их пересечении образуются четыре угла. Пусть α - один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом α, либо вертикальным с углом α. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом, и называем их перпендикулярными".

На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:

Сформулируйте словесное определение модуля числа.

3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.

3.10.Как вы знаете, равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны, а правильный треугольник - это такой, у которого все стороны равны. Является ли правильный треугольник равнобедренным?

3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем; в) вертикальные углы; г) простое число; д)хорда.

3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.

3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?