Беседа 1. Математика как метод и язык познания окружающего мира

Как устроен окружающий мир? Каковы законы развития природы? Как можно их использовать для блага людей? Можно ли подчинить некоторые явления природы человеку? Каким образом можно преобразовать мир? Подобного рода вопросы волновали и волнуют человечество с незапамятных времен. Гениальные умы строили гипотезы, доказывали одни из них и опровергали другие, спорили. Преодолевая заблуждения, люди шли к истине. Как ее познать? Где тот волшебный фонарь, который освещает путь к истине?

В течение многих веков для изучения явлений окружающего мира создавались разные науки, каждая из которых изучала определенные стороны этого мира, определенную область явлений или процессов в природе и обществе.

В любой науке в той или иной степени приходится изучать не только качественные особенности предметов, явлений или процессов, но и пространственные и количественные особенности.

Для изучения количественных и пространственных особенностей различных предметов, явлений или процессов в разных науках надо было разработать общий метод изучения этих особенностей. Вот этот всеобщий метод и разрабатывается в математике. Это предельно четко сформулировал Ф. Энгельс (1820-1895) в своем определении математической науки.

Он указал, что математика занимается изучением особой стороны любых предметов, явлений или процессов окружающего мира, а именно количественных отношений и пространственных форм. Следовательно, когда в той или иной науке исследуют тот или иной объект (явление, процесс), то, рассматривая количественные отношения или пространственные формы в этих объектах (а без такого рассмотрения изучение будет совершенно неполным и малозначимым), с необходимостью используют математические методы, математический аппарат.

Каждая наука, пользуясь математическими методами, строит определенную схему-представление об изучаемом предмете (явлении или процессе). Эта схема-представление в виде какой-то формулы, уравнения или в виде геометрического образа называется математической моделью изучаемого объекта (предмета, явления, процесса). Затем с помощью этой модели делают логические выводы, справедливость которых проверяют на практике, в эксперименте. Если результаты практической проверки подтверждают справедливость этих выводов-следствий построенной модели, то это служит свидетельством правильности модели; если же хотя бы один из выводов-следствий не подтверждается на практике, то ученые уточняют разработанную модель или же вовсе отказываются от нее и строят новую модель изучаемого объекта.

Движение к истине, к познанию подлинных законов природы и общества идет через построение все более точных, более правильных математических моделей изучаемого предмета (явлений, процессов).

Таким образом, математика занимается разработкой методов построения и методов изучения конкретных математических моделей для различных наук. Для этого она строит математический аппарат, разрабатывает математические понятия. Например, числовые системы (системы натуральных, рациональных и действительных чисел), которые вы изучаете в школе, являются примером такого математического аппарата, с помощью которого в самых различных науках строятся математические модели той стороны изучаемых объектов (предметов, явлений), которая связана с измерением величин. Функция представляет собой другой пример математического аппарата, с помощью которого в различных науках строятся конкретные математические модели изучаемых явлений или процессов и т. д.

При построении математических моделей используется особый математический язык (совокупность символов и обозначений, принятых в математике).

Именно поэтому говорят, что математика представляет собой всеобщий язык науки. Эту сторону математики уже давно выделяли. Так, например, еще Галилей почти 400 лет тому назад писал: "Философия написана в грандиозной книге - Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики..."^*.

^* ( Во время Галилея всю науку называли философией.)

Математический язык, в отличие от языка, на котором мы говорим в обыденной жизни, является очень удобным для краткого и точного описания различных понятий и зависимостей многих наук: физики, химии, биологии, а также, казалось бы, далеких от математики, как экономика, лингвистика (наука о языке), психология и т. д. Математический язык дает возможность не только описывать те или иные зависимости, характеризующие конкретные явления или процессы, но и осуществлять проверку этих зависимостей путем сопоставления результатов вычислений с результатами, найденными опытным путем. Формулировка зависимостей той или иной науки на математическом языке позволяет также делать различного рода предсказания и новые открытия чисто математическим путем. Так, например, была открыта планета Нептун с помощью одних вычислений, и лишь затем ее обнаружили с помощью телескопов в указанном Леверье в 1845 г. месте небесного свода.

Сейчас уже всеми признается справедливость замечания Карла Маркса, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда она пользуется математикой.

Особенностью математического метода изучения явлений окружающего мира является то, что он позволяет избежать ошибок, присущих нашему восприятию, и увидеть то, что недоступно даже воображению. Приведем один пример.

Как вы думаете, где больше точек: в отрезке длиной 1 см или в отрезке длиной 3 см? Наше непосредственное восприятие подсказывает нам, что во втором отрезке точек больше, чем в первом. Между тем еще давно было показано, что это не-верно. Вот как следует рассуждать.

Рис. 1

Построим отрезки а=3 см и а^' = см так, чтобы они были параллельны друг другу. Затем через точки А и А^', а также через точки В и В^' проводим лучи до взаимного пересечения в точке О (рис. 1). Будем считать, что точке А^' соответствует точка А, а точке В^' - точка В. Возьмем на отрезке А^'В^' произвольную точку X и проведем через нее из точки О луч, он пересечет отрезок АВ в точке Y. Будем считать точку Y соответствующей точке X. Таким образом мы сумеем каждой точке X отрезка А^'В^' поставить в соответствие единственную точку Y отрезка АВ. При этом верно и обратное, а именно каждой точке Y отрезка АВ соответствует одна и только одна точка X отрезка А^'В^'. Это и означает, что множество точек на этих двух отрезках одинаковое.

Данный пример показывает, как прав гениальный математик Леонард Эйлер (1707-1783), который писал:

"Именно математика в первую очередь защищает нас от обмана чувств и учит, что одно дело - как на самом деле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело - какими они кажутся; эта наука дает надежнейшие правила; кто им следует - тому не опасен обман чувств".