Введение

Должно быть, многие из вас не раз приходили в отчаяние на многолетнем пути обучения по математике: то никак не поймешь доказательство теоремы, вывод формулы, то задача никак не "решается", то еще какая-либо трудность.

Действительно, учиться математике нелегко. Русский писатель прошлого века Д. И. Писарев (1840-1868) даже утверждал, что "математика всегда... остается для учеников трудной работой". Несомненно, математика требует большого труда, ибо ее нельзя изучить, только наблюдая за тем, как это делают другие. Надо самому много и ежедневно работать над изучением математики, и только тогда она принесет и пользу и большую радость, радость от преодоления трудностей, радость познания. Известный педагог В. А. Сухомлинский (1918-1970) по этому поводу писал: "Ребенок, никогда не познавший радости труда в учении, не переживший гордости от того, что трудности преодолены,- это несчастный человек".

Так давайте будем счастливыми, будем переживать радость в учении, гордость за свои успехи!

Что для этого надо? Надо научиться учиться математике!

Все трудности, связанные с усвоением математики, происходят главным образом оттого, что многие из вас не умеют рационально учиться, разумно организовать свою работу. Для того чтобы учиться весело, легко и с наибольшей пользой для себя, надо овладеть техникой учения. Великий преобразователь природы И. В. Мичурин (1855-1935) писал: "Кто не владеет техникой какого-нибудь искусства, науки или ремесла, тот никогда не будет способен создать что-нибудь выдающееся".

От чего же зависит успешность овладения этой техникой?

Весьма часто малые успехи в изучении математики пытаются объяснить отсутствием способности к математике. Вот, например, какой разговор произошел между учительницей математики Марией Львовной и учащимся Сергеем после урока, на котором писали контрольную работу.

- Опять неудача? - сочувственно спросила М. Л.

- А! - махнул рукой Сергей.

- Что, формулу какую-нибудь забыл? - поинтересовалась М. Л.

- Если бы! Пример не сделал.

- Почему?

- Не догадался, как доказать тождество.

- А почему не догадался? - допытывалась М. Л.

- Ну, не сообразил,- тяжело вздохнул Сергей.

- Что значит не сообразил? Почему не сообразил?

- Ну, не сообразил, не додумался. А почему?.. Потому что плохо проанализировал тождество.

- А что надо сделать, чтобы правильно проанализировать?

Сергей осторожно и внимательно посмотрел на учительницу: не смеется ли она над ним. Но Мария Львовна была абсолютно серьезна.

- Почему ты как удивленно смотришь на меня? Ведь если я тебя спрошу, что надо сделать для отыскания неисправности в электроплитке, то ты мне, вероятно, опишешь все свои действия.

- Так то в плитке. Там понятно: или контакты где-то нарушены и надо их проверить, или провод переломан внутри, или спираль перегорела. Значит, нужно проверить вилку, контакт шнура со спиралью, посмотреть, цела ли сама спираль, и, наконец, узнать, нет ли обрыва в проводе.

- Совершенно верно. Вот ты проанализировал причины неисправности электроплитки и перечислил, какие действия надо осуществлять. А какие действия надо выполнить при анализе и доказательстве тождества?

- Так тут куда труднее. Тут математика, тут думать надо,- мрачно ответил Сергей.

- А разве в случае с плиткой ты не думал?

- Думал, конечно. Но здесь все понятно - плитка. А к математике у меня нет абсолютно никаких способностей.

- Так не бывает. Способности, в том числе и математические, есть у каждого человека. Они неодинаковые, конечно: у одних - лучше, у других - хуже. Но все зависит от хозяина этих способностей: как он ими распоряжается, как он их развивает.

- Сомневаюсь. Вот у моей сестрички, безусловно, талант к математике. Она эти задачи, как говорится, "щелкает, как орешки". А я даже не знаю, как к задаче подойти.

- Так, выходит, что родители тебя обидели? Сестренке они передали "математические гены", а тебе нет? Смешно! И потом, чтобы рассуждать, есть ли у тебя способности к математике, технике, учебе, труду и т. д., надо знать, что такое способности, из чего они складываются...

- Ну, этого никто не знает,- сказал Сергей.

- Почему же никто не знает? Знает. Есть специальная наука - психология, которая как раз и изучает, что такое способности и как их развивать. Кому и что надо делать, чтобы сформировать у себя те или иные способности? Что значит анализировать, думать? Как этому научиться? И вообще что значит учиться? И как научиться?

- Но ведь все говорят, что математические способности проявляются очень рано. Учительница Надежда Петровна рассказывала, что великий немецкий математик Гаусс заявил, будто считать он научился раньше, чем говорить. Это я понимаю: способный!

- Если ты хочешь примеры, то пожалуйста. Известного изобретателя Эдисона выгнали из школы как абсолютно неспособного ученика. Или вот, когда у отца Карла Линнея - впоследствии выдающегося биолога - спрашивали, кем будет его сын, то он печально констатировал, что способностей у его сына хватит лишь на то, чтобы научиться шить сапоги. У великого химика Менделеева частенько в школе случались большие нелады с химией. А наш знаменитый математик Лузин не мог в школе одолеть математику без репетитора... Достаточно? Или еще приводить примеры?

- Ну, это случайности. Просто у этих людей способности были, но не сразу проявились,- пытался настаивать на своем Сергей.

- Нет, дело не в случайности. Конечно, не всякий человек может стать ученым-математиком. Но ведь мы с тобой говорим не об этом, а об изучении математики: способен ли каждый изучить школьный курс математики? А на этот вопрос психология дает вполне определенный ответ: да, каждый ученик вполне способен овладеть школьным курсом математики, и если у некоторых учащихся, вроде тебя, способности к изучению математики пока еще недостаточно развиты, то это не значит, что их нельзя развить. Вот твоя сестренка, как ты говоришь, легко решает задачки. А ты думал - почему это так? Почему у нее все задачки легко решаются? Присмотрись к ней, и ты увидишь, что она любит решать задачи, что она внимательно их изучает, что она овладела секретами учения, секретами решения задач. Вот и тебе надо овладеть этими секретами, тогда ты полюбишь решать задачи и обнаружишь, что у тебя достаточно способностей для их решения.

На этом закончился разговор Марии Львовны с учеником.

Вот для того чтобы помочь ученикам, подобным Сергею, и написана эта книга. Она предназначена для тех, кто хочет быть настоящим человеком, для тех, кто стремится овладеть знаниями по математике и рациональной техникой ее изучения. В ней подробно показано: как работать в классе на уроках математики и как работать дома над выполнением домашних заданий, учить определения, правила, формулы и теоремы и как доказывать теоремы и решать задачи.

Для того чтобы наиболее успешно учиться математике, надо иметь хорошую память, устойчивое внимание, развитое воображение, логическое мышление, сообразительность и ряд других качеств, надо иметь достаточные способности для учения. Но все эти качества и способности вы можете и должны развивать у себя. В книге вы найдете указания, как это сделать, как тренировать себя, чтобы развить свою память, внимание, сообразительность и т. д. Помните призыв Карла Маркса: "Призвание, назначение, задача всякого человека - всесторонне развивать свои способности!"

Эта книга предназначена не только для тех школьников, которые хотят, но почему-то не могут подружиться с математикой - царицей всех наук. Она будет полезна и тем школьникам, которые любят эту увлекательную науку, легко и с удовольствием решают математические задачи. Они смогут узнать, правильно ли они усваивают математические понятия, проверить себя, усвоили ли они глубоко то или иное понятие, ту или иную теорему и т. д.

В первом разделе книги вы узнаете, зачем надо учиться математике, каждому ли современному человеку она необходима и почему, что значит знать и изучать эту науку. Здесь будет рассказано не только о прикладных и практических возможностях математики, но и ее роли в психологическом развитии человека: в развитии его мышления, пространственного воображения, памяти, внимания, воли и т. д. Математика - это и могучий инструмент познания окружающего мира, и, как утверждал Михаил Иванович Калинин (1875-1946) - выдающийся советский государственный и партийный деятель, очень полезная и нужная "гимнастика ума". Позже он вспоминал: "В период своей юности я любил заниматься и математикой. Каждый вечер, как ложиться спать, я решал одну- две задачи по геометрии, алгебре или арифметике".

Во втором разделе книги рассмотрены основные объекты, с которыми вы встречались в процессе изучения математики (понятия, их определения, классификация; математические предложения, их виды и т. д.). Вы, тем самым, узнаете, чему надо учиться в математике, какими действиями надо овладеть.

Третий раздел посвящен самому сложному вопросу: как изучать математику в зависимости от того, где и когда это изучение происходит (в классе или дома, по учебнику или при объяснении учителя, самостоятельно или коллективно и т. д.). Здесь анализируются формы работы с математическим материалом, указывается, в чем должна состоять самостоятельная работа над этим материалом.

Наконец, последний раздел книги поможет вам установить, какими качествами к обучению математики вы уже обладаете, а какими еще нет, и, исходя из этого, определить, что именно необходимо развивать у себя в первую очередь. Не менее важен и интересен для каждого из вас вопрос о потенциальных возможностях, т. е. о том, на что вы будете способны, если достаточно потренируетесь. Это можно будет в некоторой степени определить, прорешав задачи из данного раздела.

Книга снабжена указаниями, ответами, а в некоторых случаях и полными решениями для большинства заданий и задач, помещенных во всех разделах книги. О том, как ими пользоваться, мы поговорим в свое время.

Эта книга - не для обычного чтения. С ней надо работать, имея бумагу и карандаши, притом не спеша, а внимательно вчитываясь и аккуратно выполняя все задания. Только тогда она принесет вам пользу. Если же при чтении или выполнении заданий вы встретите такие затруднения, которые самостоятельно не сумеете преодолеть, то обратитесь за консультацией к учителю.

Всем вам необходимо помнить, что наша Коммунистическая партия нацеливает на то, чтобы прививать школьнику привычку и любовь к полезному труду. Это может быть труд физический или умственный, но обязательно настоящий труд - производительный, нужный обществу.

В конце книги помещен краткий словарь основных терминов. Так что если вы встретите при чтении книги какой-либо термин, вам недостаточно понятный, то загляните в словарь.

Желаю вам успехов в овладении техникой учебного труда, в развитии своих способностей! Желаю вам успехов и радости в изучении математики!