2. Международный математический конгресс в Страсбурге. 1920

В этой главе, как и в некоторых следующих, мне придется много говорить о своих поездках за границу. Я всегда получал от них очень большое удовольствие. Но для меня эти поездки, составляющие значительную часть моей биография человека и ученого, никогда не были просто увеселительными прогулками, которые предпринимаются исключительно ради отдохновения от трудов. Поэтому мне хочется дать некоторое представление о том, какую .роль они играли в моей жизни и, в частности, какое значение имело для меня путешествие 1920 года.

Тут, как и при описании многих других событий своей жизни, я должен прежде всего сказать несколько слов об отце. Мой отец получил чисто европейское образование, вернее, даже чисто немецкое, так как, хотя в гимназии и очень недолго в медицинской школе он учился на территории русской Польши, всеми своими духовными интересами - и отец это прекрасно понимал - он был связан с Германией. Хорошая постановка обучения в немецких классических средних школах, или гимназиях, как их обычно называли, способствовала широкому распространению этих учебных заведений по всей Центральной и Восточной Европе. Так уж повелось, что в каждом образованном уроженце Восточной Европы до конца жизни остается что-то от бывшего гимназиста.

Но у отца были, кроме того, еще глубоко личные связи с немецкой культурой. Его собственный отец в течение долгого времени издавал газету на идиш^*, хотя сам был горячим поклонником литературного немецкого языка, который ставил гораздо выше еврейского. В один прекрасный день, не в силах дольше противостоять искушению, он начал выпускать свою газету по-немецки. Поскольку дело происходило в Белостоке, он, конечно, немедленно лишился всех своих подписчиков. С этого момента дела моего деда пошли под гору, и он больше уже не встал на ноги.

^* (Язык евреев Восточной Европы, развившийся на базе немецкого.)

Воспитанный в такой семье, отец, естественно, считал немецкий своим родным языком. Завершать образование он приехал в Берлин. В то время старый Берлинский технологический институт, в который он поступил, размещался еще не в своей знаменитой резиденции в Шарлоттенбурге, а в центре города. Отец провел в Берлине всего несколько месяцев - его академическая карьера оказалась бурной и краткой. Кончилась она тем, что, загоревшись совершенно фантастической идеей, отец решил расстаться с германским подданством и искать счастья в Центральной Америке. Он надеялся основать там колонию вегетарианцев и жить в соответствии со своими гуманистическими принципами.

Никакого ясного плана у отца не было. Второй юноша, который должен был ехать вместе с ним, скоро понял, что он родился без шишки авантюризма, и отец застрял в Новом Орлеане как рыба на мели: совершенно один и без гроша за душой. Ни о какой Центральной Америке не могло быть и речи, и в течение нескольких лет он скитался по западным и южным штатам, ведя жизнь марктвеновского Геккльберри Финна.

Наконец, после множества приключений ему удалось заняться тем, для чего он был рожден - лингвистикой. Некоторое время отец преподавал в Центральной средней школе в Канзасе, а потом перебрался в Миссурийский университет. Бросив через некоторое время эту работу, он стал постоянным посетителем Гарвардского университета, где им заинтересовался профессор Фрэнсис Чайльд, издатель сборника шотландских баллад. Это знакомство помогло ему получить в Гарварде место ассистента и, в конце концов, через много лет привело на пост заведующего кафедрой славянских языков и литературы.

Отец считал себя выдающимся ученым, причем выдающимся ученым истинно немецкого типа, а по натуре он был энтузиастом и интересовался тысячами вещей, не имеющих никакого отношения к славянским языкам. Таких противоречий в отце было сколько угодно.

Одну из существенных сторон его характера составлял типично немецкий либерализм. Люди такого склада особенно часто встречались в Германии в середине и в конце прошлого столетия. Они явились продолжателями тех культурных традиций, которые сложились еще тогда, когда самым ярким выразителем немецкого духа считался Гете, а не кайзер Вильгельм II. Отец жил за пределами Германии и, в сущности, был самоучкой; во всяком случае, как ученый он сложился вне ортодоксальных немецких академических традиций. Но несмотря на это, он в течение многих лет надеялся, что его выдающихся способностей и личных заслуг достанет для того, чтобы в Германии его признали великим немецким ученым.

Расчеты отца никогда не отличались особенной трезвостью. Он был слишком честным и слишком неискушенным человеком, чтобы проявлять настоящую житейскую мудрость. Прошло немало лет, прежде чем он понял, что великая немецкая наука все больше и больше превращается в покорную служанку государственной машины. Реальные успехи, которых добилась немецкая империя в результате франко-прусской войны, расплодили множество честолюбцев и любителей легкой наживы. Изменился дух и в университетах. Там, очевидно, появилось немало людей, которым было далеко не безразлично, откуда приходят к ним новые идеи.

Все это привело к тому, что с годами немецкие ученые стали замкнутой кастой, куда чужаку пути были заказаны. Особенно остро этот вопрос стоял в филологии и лингвистике, т. е. в тех областях, в которых объективная оценка работ вообще довольна трудна, а иногда и просто невозможна. Вот почему двери, в которые с надеждой стучался отец, так перед ним никогда и не открылись.

Впервые после эмиграции отец приехал в Европу в самом начале столетия, потом еще раз в 1914 году. Попав в Германию после длительной разлуки, он понял, что действительность превзошла самые худшие его ожидания: он оказался совершенно чужим. Это ощущение глубоко ранило его. Через какое-то время из обиды родилось негодование, потом негодование превратилось в ненависть. Отец возненавидел Германию, как начинаешь ненавидеть близких, которые несправедливо тебя унижают; политические и социальные изменения, происходящие в новой Германии, еще усилили это чувство. Отец был ярым противником немецкого милитаризма, с которым ему пришлось познакомиться еще до начала первой мировой войны. Это привело к тому, что он стал одним из самых активных американских приверженцев Антанты. Вместе с Бирвиртом, профессором кафедры немецкого языка Гарвардского университета, он каждое утро прогуливался по Бретл-Стрит, ругая Германию на великолепном немецком языке; сама эта горячность уже достаточно говорила о той неподдельной личной заинтересованности в европейских делах, которая резко отличала отца не только от рядовых американцев, но и от большинства американских ученых, в основном заранее настроенных изоляционистски.

Отец горячо любил Америку и все американское, но как раз в своем отношении к этой стране он меньше всего был американцем. И не потому, что ему многое не нравилось - американскую систему образования он, например, считал весьма поверхностной, - а потому, что его любовь была привязанностью пришельца. Отец любил Америку как человек, который сам нашел и открыл эту страну, а такая любовь очень далека от чувства, которое испытываешь к чему-то настолько близкому, что оно уже неотделимо от тебя самого.

В нашем доме постоянно собирались ученые, приезжавшие из Европы. Мы так привыкли слышать иностранную речь, что перестали воспринимать ее как нечто не-обычное. Что касается отца, то он знал около сорока языков. Однако его блестящие лингвистические способности и исключительная требовательность к четкости и беглости речи привели в нашей семье к довольно неожиданным результатам: мать и мы, дети, с трудом овладели одним иностранным языком.

Своеобразный уклад нашей домашней жизни не мог не пробудить во мне острого любопытства к Европе. А тут еще к любопытству примешивалось естественное желание снова вкусить от плодов европейской учености: как-никак, первая настоящая научная школа, с которой я познакомился, была английской, а вторая - немецкой. Вдобавок ко всему, у меня были еще соображения сугубо личного характера. Во время пребывания в Англии и в меньшей степени в Геттингене я впервые почувствовал, что отдыхаю от напряженной атмосферы нашего дома и от постоянного родительского контроля. А кроме того, в Европе я уже находил дружеское сочувствие тому, что я делаю, и это отношение было мне тем более приятно, что оно резко контрастировало с неприязнью, которая встречала меня на родине.

Профессора английских университетов считают дурным тоном походить на профессиональных ученых. Они держат себя как любители и делают вид, что трудная и кропотливая научно-исследовательская работа их не занимает. Все, конечно, понимают, что это не более чем поза. Да и не нужно особой наблюдательности, чтобы заметить, с каким волнением вое эти джентльмены, добровольно надевшие маску невозмутимости, относятся к новым идеям и с каким живейшим удовольствием их обсуждают. В Гарварде отсутствие явного интереса к творческой научной работе - отнюдь не только условность поведения. Истинно гарвардский профессор действительно считает дурным тоном слишком много говорить и слишком много размышлять о науке. Стремление вести себя по-джентльменски требует от него такой затраты энергии, что ни на что другое у него уже просто не хватает сил.

Теперь, наверное, моим читателям нетрудно представить, с каким нетерпением я ждал окончания войны, чтобы встретиться с европейскими учеными и снова насладиться относительной свободой дальнего путешествия. Рука отца вряд ли могла настигнуть меня за океаном. Но, кроме того, было еще одно обстоятельство, сообщавшее этому путешествию особенную привлекательность в моих глазах: приближалось время открытия международного математического конгресса, который должен был состояться в Страсбурге.

В нормальное время в научном мире существовал обычай, по которому раз в три-четыре года ученые, работающие в одной и той же области - математике, физике, химии, - собирались в каком-нибудь крупном центре, чтобы познакомиться с достижениями друг друга и сообща обсудить наиболее важные проблемы своей науки. Разразившаяся война временно помешала ученым в очередной раз продемонстрировать единство науки, а разделение мира на два враждебных лагеря после войны грозило надолго сделать эти встречи невозможными.

Последний международный математический конгресс перед первой мировой войной происходил в 1912 году в Кембридже (Англия). Следующий должен был состояться в 1916 году, но созвать его не было никакой возможности. Поэтому конгресс 1920 года не был подготовлен заблаговременно. Воспользовавшись благоприятным стечением обстоятельств, Франция взяла инициативу в свои руки и предложила созвать конгресс в одном из городов, только что возвращенных в ее лоно, а именно в Страсбурге. Предложение это оправдывалось тем, что в новой Франции Страсбургский университет стал вторым по значению университетом в стране и единственным провинциальным учебным заведением со своими собственными традициями.

По многим причинам решение провести конгресс в Страсбурге оказалось неудачным. Потом я даже жалел, что своим присутствием как бы выразил согласие с этим решением. Немцев в виде наказания лишили права участия в конгрессе. В зрелые годы я пришел к выводу, что подобные меры недопустимы в практике международных научных отношений. Возможно, что в противном случае конгресс еще очень долго не мог бы состояться, но, может быть, лучше было согласиться на отсрочку, чем допустить проникновение националистического духа в такое действительно интернациональное учреждение, как международный съезд ученых. В свое оправдание я могу сказать немного: я был молод и занимал такое незначительное положение, что не чувствовал личной ответственности за направление развития мировой науки. Мне представлялся прекрасный случай поехать в Европу не туристом, а ученым - очень скромным, но все-таки ученым, - у кого бы на моем месте хватило духа отказаться?

Конгресс должен был состояться в сентябре, и мне хотелось до этого поработать с кем-нибудь из европейских математиков, интересующихся теми же вопросами, что и я. По некотором размышлении я остановил свой выбор на Морисе Фреше. Фреше яснее других понимал, какие возможности открывает математика кривых по сравнению с математикой точек (я говорил об этом в предыдущей главе), и в то время все были уверены, что его работы станут важным этапом на пути создания новой математической науки.

Надо сказать, что в настоящее время полученные Фреше результаты, при всей своей значительности, занимают в математике все-таки совсем не то место, которое им когда-то прочили. В какой-то степени это связано с тем, что его работы проникнуты духом абстрактного формализма, глубоко враждебным любым конкретным физическим применениям. Но в то время в Страсбурге - оценить прошлое всегда легче, чем предсказать будущее, - большинство считало, что вождем математиков среднего поколения станет, конечно, Фреше.

Лично меня в работе Фреше привлекало главным образом то, что по своей внутренней направленности она очень близко примыкала к тому, чем я пытался заниматься в Колумбийском университете в период увлечения топологией. Занятия под руководством Рассела и последующее знакомство с работами Уайтхеда пробудили во мне интерес к использованию в математике аппарата формальной логики. А в работе Фреше многие части так и напрашивались, чтобы их изложили на том странном и в высшей степени оригинальном математико-логическом языке, который Уайтхед и Рассел изобрели для своей "Principia Mathematica"^*.

^* ("Принципы математики" (лат.) -трехтомный труд Рассела и Уайтхеда по математической логике.)

Собственно, теперь я мог бы уже приступить к описанию конгресса, но, прежде чем рассказывать о событиях, происходивших в Страсбурге летом 1920 года, мне хотелось бы остановиться на смысле терминов "постулационизм" и "конструкционализм". Достоинства и недостатки этих двух школ до сих пор являются предметом многочисленных споров в математике. Не мудрено, что в Страсбурге эта проблема доставила мне множество волнений.

Греческая геометрия исходит из некоторых основных предположений, называемых аксиомами или постулатами; эти предположения рассматриваются как простейшие бесспорные законы логики и геометрии. Некоторые из них имеют в основном формально-логический характер, вроде аксиомы о том, что две величины, равные одной и той же третьей величине, должны быть равны между собой. Другие описывают пространственные отношения, как, например, аксиома параллельности, утверждающая, что через каждую точку Р плоскости, не лежащую на заданной в той же плоскости прямой l, проходит одна и только одна прямая, не пересекающая l, которая и называется параллельной L.

Этот последний постулат не обладает самоочевидностью чисто логических постулатов математики. Целые поколения ученых всячески пытались доказать, что он не может нарушаться. В XVIII столетии итальянский математик Саккери потратил много усилий на исследование различных следствий, получающихся при отказе от аксиомы о параллельности, в надежде, что при этом он рано или поздно придет к какому-либо логическому противоречию. Саккери проделал интереснейшую работу и нашел множество новых форм аксиомы о параллельности, но все его усилия оказались тщетными. Чем более он старался найти противоречия среди следствий из отказа от этой аксиомы, тем более содержательной становилась совокупность фактов, получающаяся при таком отказе. Эта все возрастающая совокупность фактов постепенно приобретала характер геометрии, страшно причудливой по сравнению с обычной геометрией Евклида, но тем не менее внутренне нисколько не противоречивой.

Наконец, в начале XIX столетия целая группа ученых - венгерский математик Янош Бояи, русский математик Лобачевский и великий немецкий математик Гаусс - пришла к смелому заключению о том, что отказ от аксиомы о параллельности вообще не приводит ни к какому противоречию, а означает только переход к новой, "неевклидовой" геометрии. Начиная с этого времени, все более и более росло понимание того, что так называемые постулаты геометрии, а также постулаты других математических дисциплин вовсе не являются непререкаемыми истинами. К ним начали относиться как к предположениям, которые можно принять или отвергнуть в зависимости от особенностей изучаемой математической системы.

Это соблазнительное отношение к математическим постулатам как к предположениям, произвольно устанавливаемым исследователем в зависимости от решаемой задачи, а не как к неизменным законам мышления постепенно стало обычным для математиков во всех странах. В Америке одним из первых пропагандистов этой точки зрения и, пожалуй, главным из ее ранних сторонников был Эдвард В. Хантингтон из Гарвардского университета; я учился вместе с ним в 1912 году, и он оказал большое влияние на мой образ мыслей.

В Англии главным постулационистом был, вероятно, Уайтхед, но он соединял с чистым постулационизмом представление о том, что изучаемые математикой объекты сами представляют собой некоторые логические конструкции, а не просто какие-то величины, описываемые совокупностью постулатов. Например, точки он иногда рассматривал как совокупность всех тех выпуклых фигур, про которые обычно говорят, что они содержат данную точку. Любопытно отметить, что аналогичные идеи независимо высказывал и Хантингтон и что важное исследование в этом направлении еще на несколько лет раньше было выполнено философом ДжошияРойсом^*. Но классическим примером конструкционализма в математике остается определение целых чисел, данное Уайтхедом и Расселом в "Prineipia Mathematica".

^* (Джошия Ройс (1855-1916) - американский философ и педагог.)

Различие между постулационистской трактовкой чисел и конструкционалистской трактовкой, предложенной Уайтхедом и Расселом, заключается в следующем. Для постулациониста числа являются некоторыми неопределяемыми объектами, связанными совокупностью принятых формальных отношений, или предметами особого рода, строящимися на основе нашего опыта при помощи определенных правил комбинирования данных более простых исходных опытов. При постулационистской трактовке числа являются просто объектами, связанными отношениями "перед" и "после" так, что если а находится перед b, а b перед с, то а будет и перед с, и что для каждого числа, отличного от нуля, существует число, находящееся непосредственно перед ним (т. е. непосредственно ему предшествующее) . Это и есть основные постулаты при таком подходе к числовой системе.

При конструкционалистской трактовке чисел сперва вводится понятие единичного множества - такой совокупности объектов, что, взяв любой из них, мы будем иметь тот же самый объект. Число "один" после этого служит для обозначений совокупности всех единичных множеств. Диадой далее называется совокупность объектов, не являющаяся единичным множеством, но становящаяся единичным множеством после удаления из нее любого из входящих в нее объектов. Тогда число "два" - это совокупность всех диад. После этого триада определяется как совокупность объектов, не являющаяся ни единичным множеством, ни диадой, но превращающаяся в диаду при удалении любого из входящих в нее объектов, а число "три" - как совокупность всех триад. Подобным образом при помощи процесса, называемого процессом математической индукции, может быть построено полное множество всех положительных целых чисел.

Неспециалисту все эти рассуждения могут показаться пустой игрой отвлеченными понятиями. В самом деле, разве, вводя эти определения первых целых чисел, мы не пользовались цифрами 1, 2 и 3 лишь в слегка завуалированном виде? Но для логика это возражение звучит малоубедительно, так как большая точность приведенных выше определений позволяет ему стать на твердую почву и перейти отсюда к более сложным математическим идеям.

Искусство построения все более и более сложных математических объектов, таких, как множества множеств и отношения между отношениями, было известно мне и из работ Хантингтона и из работ Рассела. К тому времени я уже написал две-три статьи о применении этой техники к некоторым элементарным математическим ситуациям.

Постулационизм и конструкционализм, о которых здесь идет речь, отнюдь не были чисто математическими течениями. Постулационистские взгляды, в частности, разделяют многие физики. И теория относительности Эйнштейна, и новая квантовая механика представляют собой как раз те разделы, в которых физика вырвалась из рамок классической геометрии Евклида и приняла новые определения, задаваемые некоторыми совокупностями аксиом, но не опирающиеся на неизменную и незаменимую геометрическую интуицию, лежащую в основе старой кантианской теории пространства.

Конечно, справедливо, что тенденция придумывать постулаты ради постулирования и писать научные статьи ради их писания получила широкое распространение в современной математике. И все-таки холодное и суровое посредничество логики подобно холодному и суровому посредничеству мрамора принуждает к определенной внутренней дисциплине всех и в том числе поклонников новой моды свободы, за исключением, быть может, самых пустых и пошлых математиков.

Как я уже говорил, меня воспитали в постулационистских традициях, но в первые годы создания конструкционализма; выросшего яз постулациоиизма, я приобщился и к этому движению. Раздумывая, с кем из французских ученых я мог бы совместно заниматься наукой, я искал такого человека, работы которого показывали бы, что он связан с одним или с обоими из этих двух направлений мысли. В этом отношении Фреше не имел соперников среди французских математиков.

До сих пор я говорил о развитии постулациоиизма и конструкцпонализма только в Англии ив Америке. В Германии тоже довольно рано появились представители обоих этих направлений; наиболее значительными и оригинальными среди них были Г. Фреге и Шредер. Во Франции, наоборот, сравнительно поздно привились новые навыки мышления, но как только постулационизм получил здесь признание, Фреше стал бесспорным вождем нового направления. Я сам сделал одну или две не совсем безуспешные попытки дополнить постулационизм Фреше и использовать его в качестве аппарата для конструкционалистского изучения новых более сложных пространств, в которых роль точек играют кривые. Эти мои попытки фактически лежали, однако, уже вне рамок собственных работ Фреше.

Я написал Фреше и попросил его взять меня в ученики на время летних каникул. В ответ пришло очень теплое письмо с приглашением приехать. Фреше собирался провести лето в Беарне на испанской границе, но потом его планы изменились, и он предложил мне сначала поработать вместе с ним в Страсбурге, а в конце лета перебраться в маленькую деревушку в Лотарингии, которую немцы называли Дагсбург, а французы - Дабо.

В начале июля я уже находился на борту французского пассажирского парохода "Ла Турен", совершавшего регулярные рейсы между Америкой и Францией. На том же пароходе плыли в Европу несколько друзей нашей семьи, которые обещали родителям приглядывать за мной. Но с самого начала произошло что-то странное. Нас окружила компания юнцов, от которых сильно несло винным перегаром, и тут выяснилось, что мои пуританские привычки плохо согласуются с представлениями моих стражей о радостях морских путешествий.

Я не принадлежал к числу идейных трезвенников и с удовольствием пил вино, которое подавали к столу. Правда, я всегда разбавлял его водой, так как крепкие спиртные напитки не доставляли мне удовольствия. К сожалению, компания, в которую я попал, не только придерживалась противоположных взглядов, но еще всячески старалась изменить мои вкусы. Эти попытки возмущали меня до глубины души. Я считаю, что обычай заставлять людей пить - такое же посягательство на личную свободу, как стремление синеносых^* утвердить сухой закон. В общем, я плохо чувствовал себя на пароходе и ни с кем не сблизился. Я с нетерпением ждал той минуты, когда можно будет сойти на берег и расстаться, наконец, с моими спутниками.

^* (Насмешливое прозвище пуритан.)

Во время путешествия произошел один довольно интересный, хотя и не очень приятный эпизод. Погода нам не благоприятствовала, большую часть пути было хмуро и облачно. Под конец в течение нескольких дней никак не удавалось определить высоту солнца. Пароход шел с полной скоростью, а курс определялся только по лагу и компасу. Поддерживать связь по радио в то время уже умели, но ориентироваться с его помощью еще не научились. Капитан считал, что мы находимся у Бишоп Рок^*, и собирался пристать к берегу. Внезапно в тумане прямо перед носом корабля показались скалы. Немедленно раз-далась команда: "Полный назад!" Но было уже поздно - мы оказались в опасной зоне.

^* ( Островок у юго-западного побережья Англии.)

Идя задним ходом, корабль получил на корме основательную пробоину. В третий класс начала проникать вода, еще немного, и пассажиров охватила бы паника, К счастью, офицерам удалось сохранить порядок, правда, с помощью одного французского боксера, который случайно оказался в числе пассажиров.

Нам всем предложили спуститься в каюты и надеть спасательные пояса. У меня было не очень приятное ощущение, когда я поднимался наверх среди беспорядочно снующей толпы. Очень хотелось оказаться на палубе как можно скорее, но я понимал, что малейшая попытка ускорить общее движение или пройти впереди других в эти минуты не только акт трусости, но и прямая угроза общему благополучию. Усилием воли я заставлял себя уступать дорогу и подниматься наверх размеренным шагом.

На палубе мы не узнали ничего нового. Корабль постепенно заливало водой, и переборки грозили вот-вот рухнуть. Плотники из корабельной команды делали героические усилия, чтобы спасти положение (их попытки увенчались успехом: переборки действительно выдержали переезд через Ла-Манш, и мы благополучно добрались до Гавра). В ту ночь всем приказали остаться на палубе. Мы спали, не снимая спасательных поясов, каждый около шлюпки, в которой ему предназначалось место в случае катастрофы. Помню, что ночью кто-то уронил мне на голову бутылку.

На следующее утро мы без всяких приключений высадились в Гавре. Оказалось, что корабль поврежден гораздо серьезнее, чем предполагалось: понадобилось несколько месяцев на то, чтобы привести его в порядок и снова спустить на воду. На берегу меня ждала почта и в том числе письмо от Фреше с сообщением, что он предпочитал бы встретиться со мной немного позже. Недолго думая, я вновь пересек Ла-Манш, высадился в Саутгемптоне и поехал в Кембридж.

В Кембридже я застал нескольких своих старых друзей. Д-р Бернард Мусцио охотно приютил меня у себя. И он и его жена занимались психологией и работали в Австралии. Я познакомился с ними еще в студенческие годы в Кембридже; позднее, во время войны, они приезжали в Бостон с английской военной миссией. Я навестил еще некоторых знакомых и побывал у Харди, который как раз собирался переехать в Оксфорд, где он получил кафедру.

Вообще я убедился, что в Кембридже меня не забыли. Во всяком случае, старые друзья встретили меня с такой сердечностью, о которой я не смел и мечтать в Гарварде. Официально я никогда не числился студентом Кембриджа. В свое время мне просто разрешили посещать лекции, не требуя выполнения никаких формальностей, поскольку об этом существовала специальная договоренность между Гарвардским и Кембриджским университетами. Несколько лет спустя я как-то спросил у Джесси Уайтхед, дочери Альфреда Норта Уайтхеда, имею, ли я право называться кембриджцем. "Мне кажется, что в вашем положении, - сказала она, - правильнее всего считать себя незаконным сыном alma mater"^*. Теперь я с радостью убедился, что alma mater гостеприимно принимает в своем доме внебрачных детей.

^* (Буквально "мать-кормилица" (лат.), в переносном смысле университет.)

Пробыв несколько дней в Кембридже, я уехал в Париж. Дешевая гостиница неподалеку от Лувра, в которой я остановился, поражала отвратительными санитарно-гигиеническими условиями. Но вегетарианские привычки не причиняли мне в Париже особенных хлопот: на каждом шагу здесь встречались дешевые рестораны, в которых подавали доброкачественные и вкусные овощные блюда.

В отличие от Кембриджа, никаких друзей в Париже у меня не было, французским языком я владел ровно настолько, чтобы кое-как объясниться; может быть, поэтому парижские дома казались мне укрепленными крепостями, выстроившимися сомкнутым строем по обеим сторонам улиц и совершенно неприступными для иностранца. Оживленные кафе, попадавшиеся на каждом шагу, и своеобразная уличная жизнь ежеминутно ранили мой юношеский пуританизм. Я чувствовал себя несчастным и мечтал о возвращении домой. Все свободное время, а у меня его было более чем достаточно, я бродил по городу, иногда заходя в музеи. Особенно привлекательным казался мне Музей Центральной школы искусств и ремесел (Ecole centrale des arts-et-metiers). Я узнал о его существовании от одного американского друга, не раз бывавшего во Франции. Он рассказывал, что в этом музее, где покрытые пылью экспонаты расставлены с типично французской бессистемностью, собраны любопытные реликвии, связанные с великими изобретениями XIX столетия, и различные приборы, с помощью которых производились наиболее замечательные научные эксперименты.

Фреше назначил мне первое свидание в лицее на бульваре Сен-Мишель, где он принимал аспирантские экзамены, а потом как-то пригласил позавтракать с ним в эльзасском brasserie^* там же на бульваре. Усатый, мускулистый, среднего роста, Фреше внешне походил на спортсмена. Во время войны он служил в армии переводчиком (он хорошо знал английский язык). Фреше, так же как и я, любил гулять пешком, и тут мы сразу нашли общий язык.

^* (Ресторане (франц.).)

Но он все еще не мог принять меня в Страсбурге, поэтому я решил ненадолго поехать в Бельгию, чтобы навестить своих друзей. Я застал их в Лувене. Они только что привели в порядок свой прекрасный старый дом, в котором во время войны жили немецкие офицеры, приведшие его в состояние мерзости запустения. К сожалению, я приехал в очень неудачный момент: у них как раз гостили ректор Гарвардского университета А. Л. Лоуел и его жена. Из-за этого меня в основном препоручили детям. Большую часть времени я гулял с младшим сыном хозяев, который только что провел год в Гарвардской юридической школе. Он водил меня по городу, где мы на каждом шагу натыкались на следы пожаров и разрушений. Я осмотрел руины библиотеки, неф церкви, наполовину скрытый от глаз еще не разобранным эшафотом; часто мы бродили по окрестностям и разговаривали.

Освободившись от оков Гарвардской дисциплины, мой спутник с жаром нападал на некоторые стороны английской и американской системы обучения юристов. Ему гораздо больше нравилась юриспруденция тех стран, которые позаимствовали свое законодательство у римлян; он считал, что более естественно подводить каждое дело под определенный закон, чем заниматься розысками прецедентов^*.

^* ( Отличительная черта английского гражданского права, действующего в Англии, Шотландии, Ирландии и США,- отсутствие гражданского кодекса; при вынесении приговора суд руководствуется прецедентами, т. е. принятыми ранее решениями, которые являются образцами для всех аналогичных случаев.)

Пробыв несколько дней в Бельгии, я отправился в Страсбург, решив ехать через Люксембург и заодно побывать в стране железа^*. Для меня было большим облегчением очутиться среди людей, охотнее говоривших по-немецки, чем по-французски, так как в этом языке я чувствовал себя гораздо более уверенно.

^* (Винер имеет в виду Рейнскую область, где сосредоточено много металлургических предприятий.)

В Страсбурге я снял комнату с пансионом в новой части города. Каждый или почти каждый день я проводил несколько часов у Фреше в маленьком садике около его дома рядом с Илль-Рейнским каналом^*.

^* (Канал, соединяющий р. Илль (левый приток Рейна) с Рейном.)

В работах Фреше имелось несколько положений, которые мне хотелось развить дальше. Его подход к обобщенным пространствам вовсе не использовал того, что в математике называется "координатами". Иначе говоря, Фреше даже и не пытался представлять точки своих пространств в виде совокупностей чисел. В координатном представлении каждой паре точек естественно сопоставляется своя совокупность чисел, получаемая вычитанием чисел, описывающих одну из этих точек, из чисел, описывающих другую. В обычной геометрии на плоскости или в трехмерном пространстве такой метод сопоставления определенных чисел каждому прямолинейному отрезку, задаваемому парой его конечных точек, является основой векторного исчисления. В обычном трехмерном пространстве задание вектора, соединяющего какую-либо фиксированную точку с некоторой другой, сводится к указанию, насколько надо продвинуться сперва на север (или на юг) от первой точки, затем на запад (или на восток) и, наконец, после этого вверх (или вниз) для того, чтобы попасть в эту другую точку.

Векторное исчисление не очень новая область математики. Более полутораста лет тому назад люди уже знали, что в трехмерном пространстве существуют "направленные величины" (условно говоря, "величины со стрелками"), которые можно складывать. Так, например, если сделать один шаг в направлении одной стрелки, а затем второй в направлении другой, то совокупность двух шагов можно рассматривать как один "суммарный" шаг в некотором новом направлении. Мы не можем здесь останавливаться на множестве других операций, которые математики умеют производить с такими "направленными величинами". Существенно только подчеркнуть, что, как уже давно было известно, подобное "векторное исчисление" возможно и в пространствах, число измерений которых превосходит три, и даже в бесконечномерных пространствах.

Созданная Фреше общая теория перехода к пределу и дифференцирования применима ко многим различным пространствам и в том числе ко всем векторным пространствам. Однако она вовсе не требует, чтобы точки пространства обязательно рассматривались как "отрезки со стрелкой". Тем не менее класс векторных пространств представляет собой весьма существенную область приложения общей теории Фреше и, безусловно, заслуживает специального выделения при помощи соответственно подобранной системы аксиом. Фреше, который не считал векторные пространства более важными, чем другие "обобщенные пространства", не пытался продвинуться в этом направлении, я же с горячностью взялся за дело, решив довести его до конца.

Теория, к которой я пришел, оказалась тесно связанной с так называемой "теорией групп", изучающей правила комбинирования последовательных преобразований любой совокупности объектов; фактически она представляла собой интересный специальный раздел этой весьма общей теории.

Мне удалось построить полную систему аксиом, определяющую всевозможные векторные пространства. Работа понравилась Фреше, но не произвела на него особенно сильного впечатления. Однако через несколько недель, увидав в польском математическом журнале статью Стефана Банаха, содержащую точно те же результаты - не более и не менее общие, - он страшно разволновался. Банах сделал то же, что и я, но на несколько месяцев раньше. Поскольку трудились мы совершенно независимо, полная самостоятельность обеих работ не вызывала никаких сомнений.

В результате в течение некоторого времени изученные мной и Банахом пространства так и назывались пространствами Банаха - Винера. С тех пор прошло тридцать четыре года, на протяжении которых теория этих пространств не переставала привлекать внимание исследователей. Но хотя за это время появилось немало относящихся к ней работ, только сейчас начинает полностью выявляться ее значение в разнообразных разделах математики.

Какое-то время я еще продолжал трудиться в этой области и даже опубликовал одну-две работы, но постепенно увлекся совсем другой тематикой. Поэтому сейчас такие векторные пространства совершенно, справедливо называют именем одного Банаха.

Я, безусловно, был одним из родителей этого ребенка, выношенного не в чреве женщины, а в голове мужчины, но по некоторым соображениям я в конце концов от него отказался. Во-первых, мне не хотелось торопиться, во- вторых, не хотелось изо дня в день внимательно следить за литературой. При создавшейся тогда ситуации то и другое было совершенно необходимо, так как иначе я не мог быть уверен, что Банах или кто-нибудь другой из его польских учеников уже не получили те или иные интересные данные, которые я еще только собираюсь опубликовать. Каждая математическая работа делается под некоторым давлением, но когда это давление усиливается еще за счет соревнования, в котором многое зависит от чистой случайности, оно становится для меня нестерпимым.

Существует, кроме того, еще одно обстоятельство, которое я всегда учитываю, принимаясь за ту или иную работу. Я говорю сейчас о той стороне математического творчества, к которой большинство относится весьма пренебрежительно и которую я называю математической эстетикой. Необходимость ответить на вопрос, что именно я имею в виду, ставит передо мной очень трудную задачу: я должен рассказать людям, не занимающимся математикой, не только о сущности того, что я сделал, но и о том, как я лично к этому отношусь. Для этого мне придется объяснить, почему некоторые проблемы, считавшиеся в течение долгого времени интересными, не только не вызывали у меня ни малейшего вожделения, но оказались совершенно непригодными для приложения моих сил и способностей.

Тут передо мной возникают трудности, с которыми в той или иной форме сталкивается каждый ученый, добившийся серьезных успехов в такой сложной и в высшей степени индивидуальной области творчества, как математика, и возымевший намерение рассказать о своей жизни.

Композитор, говоря о себе, не может ничего не сказать о технике композиции, гармонии и контрапункте, составляющих сущность его работы, хотя, за исключением профессиональных музыкантов, эту сторону его творчества сумеют оценить лишь немногие прилежные посетители концертов, да и то в весьма незначительной степени.

Писатель или художник, задумавший написать свою автобиографию, сталкивается с этой же проблемой. Правда, он может утешить себя мыслью, что наиболее образованная часть общества все-таки в состоянии оценить результаты его творчества.

И тем не менее ни один писатель и ни один художник не может считать, что честно написал свою автобиографию, если он не рассказал о своем творчестве того, что по-настоящему могут оценить только его товарищи по работе, да и то не все, а лишь наиболее квалифицированные из них.

При выполнении этой сложной задачи у представителей искусства есть огромное преимущество перед учеными. Оно заключается в том, что художнику пли музыканту гораздо легче привлечь внимание рядового читателя, чем математику. Легче хотя бы потому, что большинство людей, независимо от того, занимаются ли они сами художественным творчеством или нет, считает, что некоторая осведомленность в вопросах искусства является признаком общей культуры. А кроме того, читатель, который не в состоянии разобраться во всех технических ухищрениях, с помощью которых достигается тот или иной художественный эффект, вполне способен ощутить эмоциональное воздействие искусства, а этого уже совершенно достаточно для того, чтобы искренне заинтересоваться процессом создания тех произведений, которые обычно доступны глазам и ушам непосвященных лишь в совершенно законченном виде.

Специфическая трудность, с которой сталкивается математик, пишущий свою автобиографию, заключается в том, что большинство так называемых культурных людей, не связанных с математикой по роду своих занятий, считает совершенно допустимым не иметь об этой науке ни малейшего представления. Математика для них - нечто в высшей степени скучное, сухое и отвлеченное. Если о ней когда-нибудь вспоминают, то она ассоциируется с неким подсобным аппаратом физики или с работой статистиков; в наиболее печальных случаях считается, что это почти то же самое, что занятие бухгалтерией. И уж, конечно, едва ли кто-нибудь из не математиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную и эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение.

Я решительно протестую против этого косного представления о математике. Существует немало математических работ, которые при всей строгости и логичности остаются в глазах опытного и компетентного специалиста чисто формальными опусами, ничего не говорящими ни уму, ни сердцу. Но существуют и другие. Их авторы видят задачу математики в том, чтобы с помощью четких и точных методов создать новое, более совершенное представление о мире, высказать какое-то apergus^*, которое еще немного приоткроет завесу таинственного.

^* (Здесь: суждение (франц.).)

Если математики вынуждены при этом пользоваться определенными средствами, которые их в чем-то ограничивают, то разве не так обстоит дело при любой творческой работе? И разве это определяет существо дела? Знание контрапункта не лишает композитора восприимчивости к музыке, а необходимость считаться с правилами грамматики и писать сонеты, соблюдая определенную форму, не отнимает у поэта свободы творчества. Ибо полная свобода делать все, что ты хочешь и как ты хочешь, - это, в сущности, не более, чем свобода вообще ничего не делать.

Тем не менее творчество математика действительно не находит того отклика, который вызывают произведения скульптора или музыканта. Но связано это совсем не с большей или меньшей эмоциональностью аудитории, к которой они обращаются. Дело просто в том, что научиться хотя бы элементарно разбираться в математике гораздо сложнее, чем научиться получать некоторое удовольствие от музыки. А ведь мы не удивляемся тому, что композиторы, с интересом обсуждающие произведения друг друга, довольно равнодушны к их исполнению на концертах, где большинство слушателей пассивно воспринимает созданную ими музыку, не испытывая при этом ничего, кроме смутных эмоций.

Приняв во внимание все эти соображения, придется признать, что подчеркнутая отчужденность математиков связана столько же с их интеллектуально-эстетическим снобизмом, сколько с реальными трудностями контакта с непрофессионалами. В самом деле, для того чтобы составить хотя бы отдаленное представление о содержании той или иной математической работы и решить, нравится она ему или нет, любитель математики должен обладать достаточно высокой специальной подготовкой, без которой он просто лишен возможности воспринимать что бы то ни было, хотя бы даже и совершенно пассивно.

При всем этом математики вовсе не отгорожены от остального мира, как это может показаться с первого взгляда. Существует очень большой и постоянно увеличивающийся контингент людей - инженеров, физиков, даже биологов, - которые, используя математику в своих профессиональных целях, постепенно приобретают достаточное количество знаний, чтобы оценить по-настоящему глубокую теорию или умное, изящное доказательство. Одним из мотивов, побудивших меня взяться за написание автобиографии, было стремление привлечь внимание общества к существованию вот этого более узкого круга любителей математики; попутно мне еще, конечно, хотелось, чтобы и те, кто не имеет никакого отношения к "возне с цифрами", хотя бы на минуту представили себе, какая это увлекательная и волнующая профессия.

Итак, после Страсбурга я оставил банаховы пространства. При этом я исходил скорее из эстетических, чем из строго логических соображений. В то время эта проблематика с чисто математической точки зрения и с точки зрения возможных приложений не казалась мне настолько увлекательной, чтобы я захотел связать с ней свою будущность ученого. Сейчас я вижу, что в некоторых своих аспектах теория банаховых пространств приобрела достаточную глубину и обогатилась достаточно большим количеством интересных теорем, чтобы вполне удовлетворить мои запросы в этом отношении.

Однако тогда я думал, что в ближайшие десятилетия она может дать материал только для довольно абстрактных и не очень значительных работ. И виноват в этом был не Банах - я ни в коем случае не хотел бы, чтобы мои слова прозвучали как упрек по его адресу, - а множество гораздо менее талантливых исследователей, с жадностью набросившихся на его идею. То, что этой теорией в первую очередь должны заинтересоваться дельцы от науки, рыщущие в поисках не слишком сложных тем для докторских диссертаций, я предвидел с самого начала.

Но главной причиной, заставившей меня отказаться от дальнейшей работы по теории банаховых пространств, было все-таки то, что меня снова целиком захватили исследования брауновского движения. Дифференциальное пространство, или пространство брауновского движения, но существу, является некой разновидностью векторных пространств и очень тесно связано с банаховыми пространствами. Но, в отличие от них, Оно имеет четкий физический смысл, что было для меня очень соблазнительной приманкой. К тому же в чисто математическом аспекте это была безраздельно моя область, в то время как в разработке теории банаховых пространств я мог рассчитывать лишь на положение младшего партнера.

Мне показалось, что, когда я впервые рассказал Фреше о дифференциальном пространстве, эта теория не произвела на него очень большого впечатления. Тем не менее Фреше помог мне встретиться с Полем Леви, работавшим тогда в Политехнической школе и считавшимся самым многообещающим среди молодых теоретико-вероятностников Франции. Леви не сразу поверил в то, что моя работа принципиально отличается от работы Гато, но в конце концов мне удалось его в этом убедить. С тех пор Леви стал одним из моих самых близких друзей и помощников, и начиная с этого времени во всех работах каждого из нас все время чувствовалось влияние другого. Любопытно, что третьим математиком, работы которого впоследствии оказались очень тесно связанными с работами Леви и моими, был швед Крамер, с которым я впервые встретился в Англии, - в то лето он одновременно со мной гостил у Мусцио.

Начав работать с Фреше, я настолько увлекся своими математическими делами, что на какое-то время забыл обо всем на свете. Когда, наконец, я немного пришел в себя и оглянулся вокруг, выяснилось, что я довольно одинок. Со мной в гостинице оказался один американец, с которым мы вместе плыли на "Ла Турен". Он, конечно, считал, что я стою немного. Мне очень хотелось подружиться с его приятелем, молодым английским композитором, который остановился в той же гостинице, но я неудачно взялся за дело, а мой бывший спутник и не подумал помочь мне занять достойное место в нашем маленьком кружке.

Композитор видел во мне обычного неуклюжего обывателя. Причем это мнение было связано не столько с моими дурными манерами и неумением держать себя в обществе, сколько с его убеждением, что математика по самой своей природе враждебна искусству. Я придерживался как раз противоположных взглядов (я уже о них писал) и утверждал, что математика - один из видов искусства. К сожалению, я говорил об этом так часто и так нудно, что мог вывести из терпения всякого, кто заранее не был склонен восторгаться этой наукой. В конце концов дело дошло до открытой словесной схватки, во время которой было сказано немало неприятного. Но в результате горизонт сразу прояснился, мы начали лучше понимать друг друга и в какой-то степени даже подружились.

Наконец, в один прекрасный день мы переехали в Дабо. Фреше с семьей остановился в лучшем отеле, а я, чтобы не докучать им сверх меры, снял комнату в другой гостинице.

В Дабо никто не мешал мне совершать одинокие прогулки по окрестностям; я с удовольствием карабкался по вогезским холмам из рыжего песчаника и спускался в узкие иссушенные долины, когда-то вырытые потоками, которые потом отвели для искусственного орошения.

Хозяева гостиницы относились ко мне с редкой заботливостью. В благодарность я при случае колол дрова и оказывал им разные мелкие услуги. Крики петухов и мычание коров напоминали мне о доме, а всплески воды в конце деревенской улицы, где женщины стирали в речке белье, и равномерные удары цепов на току доставляли истинное наслаждение.

Незадолго до начала конгресса мы вернулись в Страсбург. Я проводил большую часть времени, бродя по узким улочкам по соседству с кафедральным собором или гуляя вдоль набережных внутренних каналов, окружающих центр города.

На конгресс приехали трое моих друзей из Америки: Форрест Мюррей, Джо Уолш и Джеймс С. Тэйлор. Они остановились в той же гостинице, что и я, и мы разместились по двое в комнате. Немножко непонятный и вполне милый Форрест Мюррей из Гарвардского университета в течение многих лет был другом нашей семьи, и мне частенько случалось играть с ним в теннис. С Уолшем мы почти ровесники. В те времена это был веселый, добродушный парень со светлыми, стоящими торчком волосами. Он от всей души радовался поездке во Францию и собирался провести здесь целый год, благо после защиты докторской диссертации ему предоставили такую возможпость. Мне доставляло огромное удовольствие слышать его гулкий бас и смотреть, с какой жадностью он стремится как можно скорее все узнать и увидеть; Уолш до сих пор профессор кафедры математики в Гарвардском университете.

Джеймс С. Тэйлор, четвертый в нашей компании, принадлежал, как и я, к новому, послевоенному пополнению МТИ. (Сейчас Тэйлор уже в течение многих лет профессор Питтсбургского университета.) Он приходился каким-то родственником Финеасу Т. Барнуму^* и сам превосходно умел устраивать всевозможные развлечения. Позднее пути нашей четверки сильно разошлись, но в то время мы все были молоды и стремились в полную меру наслаждаться жизнью - этого было вполне достаточно, чтобы нас объединить.

^* (Барнум Финеас Т. (1810-1891) переменил множество профессий, прославился организацией нескольких выставок различных диковинок, одно время был хозяином передвижного цирка со зверинцем.)

Начали съезжаться и остальные участники конгресса. Из Америки приехало сразу несколько человек: профессор Принстонского университета Эйзенхарт со своей очаровательной молодой женой, Леонард Юджин Диксон, специалист по теории чисел из Чикаго, в прошлом знаток бриджа, известный своей любовью к Франции и всему французскому, и Соломон Лефшец из Канзаса. В молодости Лефшец работал в качестве инженера на одном из предприятий Веетингауза в Питтсбурге. Сильно пострадав в результате аварии на производстве, он оставил свою работу и занялся математикой. На новом поприще Лефшецу удалось добиться значительных успехов: через какое-то время он уже возглавлял математическое отделение Принстонского университета и впоследствии стал президентом Американского математического общества.

Среди приехавших был ряд ученых старшего поколения; для нас это были живые звенья, связывающие настоящее математики с ее великим прошлым. Сэр Джордж Гринхил, несмотря на преклонный возраст вое еще пышущий здоровьем, представлял Вулич^*; Камил Жордан, который, презрев свои девяносто лет, совершал вместе о нами пешеходные экскурсии, был живым памятником эпохи Луи-Филиппа. Жордан еще помнил те времена, когда во французской математике царствовал Коши - предмет поклонения всех начинающих ученых.

^* ( Предместье Лондона, где находится огромный арсенал, Королевская военная академия и другие военнртехнические учреждения.)

Когда через два года после конгресса Жордан умер, нам казалось, что преемственность математических традиций непоправимо нарушена.

Почетное место на конгрессе занимал профессор Жак Адамар из Парижа. Ему тогда было всего пятьдесят пять лет, но он начал играть видную роль в науке еще до начала нового века, и мы, желторотые птенцы, считали его исторической фигурой. Адамар был кумиром своих младших коллег; небольшого роста, с бородкой, он обладал специфической внешностью, в том стиле, который французы обозначают словом fin^*.

^* ( Здесь: изысканный, изящный (франц.).)