1. Первые шаги на математическом поприще

"Я - математик" - вторая часть моей автобиографии. В первой части, озаглавленной "Бывший вундеркинд", я писал о нашей семье, о моих отношениях с отцом и о своей странной жизни чудо-ребенка. Теперь я хочу рассказать о пути, который я прошел как математик.

Чтобы связать воедино множество разрозненных фактов, лучше всего начать с какого-нибудь определенного рубежа. Для меня этим естественным рубежом является 1919 год, когда я начал работать в Массачусетском технологическом институте. Мне тогда исполнилось 24 года; слишком взрослый, чтобы продолжать считаться вундеркиндом, я в то же время еще недостаточно возмужал, чтобы совсем избавиться от странностей, свойственных необыкновенным детям.

Я не собираюсь возвращаться к своему детству, чтобы объяснить происхождение этих странностей - об этом достаточно написано в первой книге, - но о своей юности я все-таки хочу кое-что рассказать, поскольку в предыдущем томе я говорил об этом времени как о последней стадии развития ребенка, а сейчас оно интересует меня главным образом как начало формирования взрослого человека.

В детстве и ранней молодости самое сильное влияние оказывал на меня отец. Небольшого роста, живой, энергичный и темпераментный, Лео Винер легко увлекался, одинаково бурно выражая восторг и негодование; ученым он стал скорее в силу особенностей характера, чем благодаря какой-нибудь специальной подготовке. Профессор славянских языков и литературы в Гарвардском университете, отец как ученый впитал в себя лучшие традиции немецкой научной мысли, еврейской интеллектуальной культуры и того, что принято называть американским духом. Кроме этих особенностей, он отличался исключительным даром превращать всех окружающих в своих единомышленников, что, впрочем, объяснялось скорее притягательной силой его повышенной эмоциональности, чем любовью к власти.

Проведя двадцать лет в непосредственной близости с таким человеком и сознавая себя плотью от плоти его и костью от кости его, я, естественно, оказался вылепленным совсем по иному образцу, чем остальные мои сверстники.

Наукой я начал заниматься отчасти потому, что этого хотел отец, но в такой же степени и потому, что испытывал к научной деятельности глубокое внутреннее призвание. С раннего детства окружающий мир непрестанно возбуждал мое любопытство, и я настойчиво пытался проникнуть в сущность того, что видел и слышал. Мне было около четырех лет, когда я научился читать, и почти, с этого самого времени я начал увлекаться научной литературой самого различного характера. К семи годам у меня за плечами был уже опыт чтения таких книг, как естественная история Дарвина и Кингзли^*, работы Шарко, Жане и других сотрудников Сальпетриер^**. Это собрание книг по самым различным научным вопросам, состоящее из томов разного формата, отпечатанных одинаково мелким неряшливым шрифтом, хорошо известно под названием "Библиотеки Гумбольдта".

^* ( Кингзли Джон Стерлинг (1854-1929) - американский естествоиспытатель.)

^** (Шарко Жан Мартен (1825-1893)-один из виднейших представителей французской медицинской науки XIX века, основоположник современного клинического учения о нервных болезнях, в течение нескольких лет главный врач в женской больнице Сальпетриер в Париже; Жане Пьер (1859-1947) - крупнейший французский психопатолог и психолог, директор психологической лаборатории Сальпетриер.)

Необузданность моей любознательности могла сравниться только с упорным стремлением отца упорядочить мое образование. Сам я занимался тем, что доставляло мне удовольствие, отец же учил меня языкам - древним и современным - и математике. Нельзя сказать, что эти предметы совсем меня не интересовали, но я занимался ими от случая к случаю, а при этих условиях нечего было и думать удовлетворить отца, который требовал не только точных знаний, но и безусловного умения применять их. Его суровая педантичность причиняла мне много страданий, и только убеждение, что он человек глубоко честный ; и по-настоящему незаурядный, делало меня терпеливым. Необычно усложненный курс обучения, который я проходил дома, естественно, превращал меня в отшельника и развивал то наивное отношение ко всем вопросам, не связанным с наукой, которое невольно вызывало у окружающих чувство раздражения и антипатии. Я проводил немало времени с детьми, но никогда не пользовался особым расположением товарищей. Когда я в 9 лет поступил в среднюю школу^*, у меня, наконец, появилось несколько друзей, но не среди соучеников, а из ребят моего возраста.

^* (В Америке 7-8-летние дети обычно поступают в начальную школу с восьмилетним курсом обучения, а затем в среднюю, где занимаются еще 4 года. Таким образом, поступая в среднюю школу в возрасте 9 лет, Винер оказался в одном классе с 15-16-летними подростками.)

Особое положение, которое я занимал среди детей, подчеркивала еще тяжелая близорукость - я видел настолько плохо, что одно время врачи опасались полной потери зрения. Этот недостаток никак не сказывался на моем общем физическом самочувствии, но лишал меня возможности принимать участие в обычных забавах, которыми увлекались мои сверстники. Неуклюжий от природы, я чувствовал себя еще более беспомощным из-за слабого зрения и вынужден был отказываться от игр, требующих мало-мальской ловкости. Физическая неуклюжесть сама по себе достаточно неприятна, я же ощущал ее особенно остро из-за постоянных нотаций отца и язвительных замечаний, которые он то и дело отпускал по моему адресу. Про самого Лео Винера никто не сказал бы, что он мастер на все руки, но, в отличие от меня, он интересовался сельским хозяйством, садоводством и вообще всякой деятельностью на лоне природы, стараясь до конца использовать скромные способности, отпущенные ему господом богом. Моя очевидная непригодность к такого рода занятиям приводила его в полное замешательство.

Из-за постоянного одиночества, на которое я был обречен благодаря избранной отцом системе воспитания, из меня получился нелюдимый и неуклюжий подросток с весьма неустойчивой психикой. Я то преисполнялся невероятным самомнением и страшно гордился своими талантами, то под влиянием резких замечаний отца проникался сознанием собственного ничтожества и впадал в мрачное уныние при мысли о терниях и ухабах, которые ожидали меня на бесконечно долгом пути, заранее предопределенном моей из ряда вон выходящей образованностью. А тут еще постоянная отцовская агрессивность, только-только удерживающаяся на грани общепринятых приличий. Впрочем, надо сказать, что его природная импульсивность и внутренняя потребность в справедливости смягчали пагубность воздействия, которое такой пример мог бы оказать в других условиях. Ко всему этому примешивалась еще проблема национальности, проблема, являвшаяся постоянным источником неприятностей на протяжении большей части моей жизни и немало содействовавшая тому, что в течение долгого времени я не мог обрести достаточную внутреннюю устойчивость.

Я вырос в еврейской семье. Мои родители единодушно стояли за ассимиляцию и стремились, чтобы наш образ жизни ничем не отличался от образа жизни окружающих нас американцев, но относились они к своему еврейству по-разному. Для отца желание не выделяться среди других было инстинктивной мерой самозащиты, а еврейский вопрос - одним из множества вопросов, которыми он интересовался, и только; мать же угнетал самый факт нашего происхождения, и вопрос об антисемитизме составлял главную заботу ее жизни.

Детей в нашей семье воспитывали не только в полном неведении своего происхождения, но сознательно создавали о нем ложное представление. Мы, однако, не могли не заметить, что среди окружающих нас людей каким-то необъяснимым образом оказывалось довольно много евреев. Так как мать часто делала о евреях весьма нелестные замечания, у меня рано сложилось впечатление, что она стыдится своего происхождения и того, что мы тоже как-то с этим связаны. Позднее, когда мне исполнилось пятнадцать лет и из разговора с отцом я узнал, что мы тоже евреи, я вспомнил об этих замечаниях. Ощущение приниженности, которое от них осталось, пробудило во мне глубокое внутреннее беспокойство, и прошло много лет, прежде чем я обрел необходимую меру доверия к самому себе. До тех же пор я постоянно переходил из одной крайности в другую: сегодня сознавал в себе огромные силы, завтра сомневался в том, что я хоть чего-нибудь стою, и в соответствии с этими колебаниями становился то невыносимо самоуверенным, то столь же невыносимо малодушным.

Однако теми успехами, которых я достиг на жизненном поприще, и в том числе научными, я, конечно, обязан некоторым особенностям своего воспитания. Отцовская независимость повлияла и на склад моего характера и на мои привычки. Но гораздо важнее оказалось другое. Самую сильную сторону отца составляли не столько его исключительные умственные способности, сколько удивительная готовность совершенствовать свои знания ценой непрерывного упорного труда. На моих глазах он довел себя до полного изнеможения, переведя с русского языка на английский двадцати четырехтомное собрание сочинений Толстого за два года, - труд, воистину достойный Геркулеса! Естественно, что от других он ожидал того же, на что был способен сам. Поэтому с тех пор, как я вышел из младенческого возраста, я не помню такого времени, когда бы я мог жить спокойно, радуясь достигнутым успехам.

После окончания школы я поступил в Тафтс-колледж, недалеко от Бостона, потом занимался в Гарвардском и Корнельском университетах; в 14 лет в Тафтс-колледже я получил степень бакалавра^*, в 18 лет в Гарварде - степень доктора философии^**.

^* ( Первая ученая степень, присуждаемая обычно по окончании колледжа.)

^** ( Самая высокая научная степень, присуждаемая университетами по представлении диссертационной работы.)

Но по мере того, как я постепенно добивался самостоятельности (очень незначительной!), по мере того, как с возрастом ко мне приближалась независимость зрелости, я все яснее и яснее понимал, что завоеванная мною свобода - это прежде всего свобода ошибаться и испытывать горечь поражения. Правда, из-за склонности отца внезапно принимать решения, предопределяющие мое будущее и связывающие меня так же крепко, как если бы их принял я сам, даже эта нерадостная свобода была довольно ограничена.

После защиты докторской диссертации Гарвардский университет предоставил мне стипендию для путешествия за границу. Я использовал ее, чтобы побывать в Англии - в Кембридже, а потом в Германии - в Геттингене. Хотя мне и раньше случалось уезжать из дома, только во время этой поездки я почувствовал, что волен жить по своему усмотрению, и вкусил радость свободного труда.

В Кембридже моим главным учителем и наставником был Бертран Рассел. Под его руководством я изучал математическую логику и множество других гораздо более общих вопросов, касающихся философии математики и философии науки вообще. Рассел, который в то время - впрочем, и сейчас тоже - больше всего напоминал сумасшедшего шляпочника^*, блестяще читал лекции, посвященные главным образом недавно созданной теории относительности Эйнштейна.

^* ( Один из персонажей знаменитой детской книги английского математика и писателя Льюиса Керрола (1832-1898) "Алиса в стране чудес".)

Вместе с небольшой группой студентов, собиравшейся у него дома, я изучал его работы по математической логике и, кроме того, слушал несколько рекомендованных им математических курсов. Самыми интересными из них оказались лекции по высшей математике, которые читал Г. X. Харди, ставший впоследствии профессором в Оксфорде и Кембридже и оказавшийся, быть может, самой значительной фигурой из английских математиков этого поколения.

В Гарварде я защищал докторскую диссертацию по философии математики. Рассел убедил меня, что нельзя заниматься философией математики, не познакомившись более серьезно с самой математикой.

Я обратился к Харди и обнаружил, что он не только идеальный учитель, но и ученый, которого каждый молодой честолюбивый математик смело мог избрать образцом для подражания. Я впервые увидел его у Рассела, когда приезжал в Кембридж с отцом, который по своей обычной рассеянности бросил меня там на произвол судьбы. Тогда мы оба приняли Харди за студента, и только позднее я узнал, что этот робкий юноша, упорно стремившийся оставаться в тени, - великолепный спортсмен и высший авторитет во всех играх с мячом. В зрелые годы Харди стал типичным кембриджским профессором: невероятно сухопарый, вечно в не выутюженных брюках и мятой куртке, добрый, готовый каждому прийти на помощь, но ревниво оберегающий свою независимость и панически боящийся женщин - таким он остался у меня в памяти.

Лекции Харди доставляли мне истинное наслаждение. Я и раньше делал попытки проникнуть в область высшей математики, но каждый раз у меня оставалось чувство неудовлетворенности. Я постоянно ощущал, что в ряде доказательств имеются какие-то пробелы, и у меня не было желания притворяться, что я этого не замечаю. Позже выяснилось, что я был прав и что логические пробелы в обоснованиях математики беспокоили не только меня, но : и моих учителей. Однако Харди с такой обдуманностью и осторожностью вел меня по лабиринту высшей математики, что при нашем приближении все препятствия отступали как по мановению волшебной палочки, и я, наконец, понял, что такое настоящее математическое доказательство. Харди же я обязал знакомством с интегралом Лебега - знакомством, которое привело меня к первым значительным математическим успехам.

Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину (или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода. Измерение объемов (или площадей, или длин) сложных областей неправильного строения совершенно необходимо для теории вероятностей и математической статистики; что касается меня, то уже в те далекие годы перед первой мировой войной мне казалось, что этим двум тесно связанным между собой разделам в дальнейшем предстоит завоевать многие области физики. Эти дисциплины были расположены на "ничьей земле" между физикой и математикой. Как раз в таких промежуточных областях, лежащих на стыке нескольких наук, я сделал свои самые крупные открытия; по-видимому, это было связано с тем, что работа такого рода наиболее соответствует каким-то особенностям моей натуры.

На самом деле теория вероятностей и математическая статистика в какой-то мере предвосхитили основные тенденции развития современной математики в том отношении, что они органически опираются на физические представления и в этом смысле непосредственно зависят от понятий меры и вероятности, разъясненных на физическом языке в статистической механике замечательного американского ученого Джошуа Уилларда Гиббса. В дальнейшем рассмотрение вопросов, связанных с развитием математических идей в направлении их применения к решению конкретных физических задач окружающего нас реального мира, будет основной темой настоящей книги.

При изучении теории интеграла Лебега последовательно переходят от меры (т. е. длины) изолированных интервалов к мере более сложных множеств, состоящих из бесконечной последовательности интервалов, и далее к мере еще более сложных множеств, которые (так же как и совокупность точек, не принадлежащих к нашему множеству) можно сколь угодно точно приблизить такой последовательностью интервалов. Аккуратное изложение этой теории требует знания высшей математики, но не содержит никаких особенно длинных математических преобразований или запутанных логических построений. Для нас здесь существенно только то, что Лебег сумел разумным образом распространить понятие длины (т. е. меры) со случая отдельного интервала на случай наиболее сложных точечных множеств, для которых это понятие оказывается еще имеющим смысл.

Харди умер несколько лет тому назад^*; его более молодой коллега и неизменный товарищ по работе Дж. Е. Литлвуд, с которым мне тоже приходилось работать, еще жив.

^* (Книга Винера вышла в Америке в 1956 г.; Харди умер в 1947 г. )

В то время, о котором я сейчас рассказываю, Литлвуд казался просто одним из многих блестящих молодых людей; позднее, познакомившись с ним поближе, я узнал, что он замечательный альпинист и еще более замечательный математик. Небольшого роста, плотный, мускулистый, как и пристало настоящему спортсмену, Литлвуд и в математике и в альпинизме отличался неистощимым запасом сил и безупречным мастерством.

За долгие годы творческого содружества роли Харди и Литлвуда определились вполне четко: оригинальность замыслов и ясность мысли шли от Харди, непреклонное упорство и неустанная энергия - от Литлвуда. Интересно, что из них двоих Литлвуд был гораздо менее заметен, чем Харди. Однажды произошел такой случай. Литлвуд приехал в Геттинген к Эдмунду Ландау. Увидев его, этот баловень судьбы и математики со свойственной ему непосредственностью воскликнул: "Так, значит, Вы на самом деле существуете! А я-то думал, что это псевдоним, которым Харди подписывает свои работы, когда считает, что они недостаточно хороши для него".

Немного позднее, в этом же академическом году, Ландау и Давид Гильберт стали моими учителями; это произошло весной 1914 года, когда я перед самым началом первой мировой войны перебрался в Геттинген.

Ландау родился в богатой еврейской семье, где многие поколения мужчин занимались банковским делом. В детстве он тоже был чем-то вроде вундеркинда. Его воспитывали в обстановке изысканной роскоши, и он с раннего возраста привык пользоваться всеми благами жизни, которые можно получить за деньги. Этот миниатюрный человек с совершенно недисциплинированным умом и внешностью херувима - маленькие стоящие торчком усики не нарушали общего впечатления - всегда казался чуточку не на месте в этом грубом мире. Если кто-нибудь спрашивал, как отыскать в Геттингепе его дом, он совершенно спокойно говорил: "Нет ничего проще. Это самый красивый дом в городе".

Второй мой учитель, Гильберт, был человеком совсем другого склада. Спокойный, похожий на крестьянина, уроженец Восточной Пруссии, он отличался неподдельной скромностью, хотя хорошо сознавал свои силы. Про сына, не обладавшего выдающимися математическими способностями, он любил говорить: "Математические способности сын унаследовал от матери, все остальное от меня".

Гильберт брался за решение сложнейших проблем во всех областях современной математики и каждый раз добивался блистательных успехов. Он как будто олицетворял собой лучшие традиции великих гениев прошлого. В моих глазах он был как раз таким ученым, которым я хотел бы стать сам: необычайно острое абстрактное мышление сочеталось у него с поразительным умением не отрываться от конкретного физического смысла проблемы.

За время пребывания в Кембридже Рассел не только показал мне настоящее значение математики, но и убедил в необходимости связи математики с физикой. По его инициативе я начал изучать замечательные достижения Резерфорда и других ученых в области электронной теории строения материи. Я не добился никаких особенных успехов, но получил по крайней мере возможность заблаговременно познакомиться с той самой теорией строения атомного ядра, которая в наше время привела к получению искусственных химических элементов и созданию атомной бомбы. Сейчас эти области науки вызывают в мире не меньший интерес, чем теория относительности Эйнштейна,- кстати, впервые оценить ее значение мне тоже помог Рассел. Научная атмосфера Геттингена, где я продолжал занятия, начатые в Кембридже, еще больше убедила меня в правильности отношения Рассела к физике. На лето я возвратился в Нью-Хемпшир^*, приехав в Америку как раз в тот момент, когда началась первая мировая война.

^* (Один из восточных штатов США. )

Следующий академический год я снова провел в Кембридже. Но в обстановке смертей и несчастий ни у кого не лежала душа к серьезной исследовательской работе, и я тоже оказался не в состоянии добиться каких-нибудь интересных результатов. В конце зимы 1914-1915 года немецкий подводный флот начал становиться серьезной угрозой на море, и отец потребовал, чтобы я вернулся домой.

Для Америки война началась на несколько лет позже, чем для Европы, но я думал о ней неотступно с августа 1914 года. Теперешнее поколение, выросшее в обстановке кризиса и связанных с ним неурядиц, вряд ли может себе представить, каким страшным потрясением явилась война для моих современников. Воспитанные с детства в убеждении, что затянувшееся викторианское благополучие является естественным состоянием человечества, мы верили, что в результате медленной, но неизбежной эволюции постепенно создадутся еще более благоприятные условия существования. Даже сейчас, сорок лет спустя, нам трудно себе представить, что та длинная цепь катастроф, через которые мы прошли, и есть нормальная человеческая жизнь. Мне кажется, что у каждого из нас время от времени появляется тайная мечта проснуться в одно прекрасное утро и снова вернуться к размеренной, спокойной жизни начала столетия.

В это тяжелое время я беспорядочно хватался за множество дел - научных и ненаучных. Подсознательно я все время ждал, что война вот-вот кончится и тогда с возвращением нормальной жизни можно будет снова строить планы на будущее. Конец 1914-1915 учебного года я провел в Колумбийском университете, небрежно и не всегда вежливо слушая профессоров, которые после Харди и ученых Гарварда казались мне очень неинтересными. Бесконечные претензии, которые я предъявлял всем и каждому по поводу того, что со мной недостаточно считаются, и неумение играть в бридж сделали меня притчей во языцех всего общежития, где остальные доктора наук были гораздо старше меня. Поэтому свободное время, которого у меня оказалось более чем достаточно, я заполнял долгими одинокими прогулками от университета до Беттери^*, а в промежутках слишком часто посещал кино и театр.

^* (Беттери-парк расположен в южной части Маихеттена.)

Математикой я тогда занимался много, но безуспешно. Мне хотелось использовать полученные у Рассела навыки абстрактного мышления в области топологии - своеобразной математической дисциплины, имеющей дело с узлами и другими геометрическими образованиями, характеризующимися своими общими свойствами, которые сохраняются при любой сколь угодно значительной деформации пространства, если только в процессе этой деформации не возникает никаких новых разрывов и не совмещаются никакие две ранее отделенные друг от друга точки. Топология включает в себя изучение таких объектов, как, например, известный односторонний лист Мёбиуса, который можно получить, вырезав полоску бумаги и склеив концы после поворота одного из них на 180°. С помощью такой ленты можно показать эффектный фокус, предложив кому-нибудь из непосвященных сказать, что произойдет, если в середине такой ленты проколоть отверстие и начать разрезать ленту пополам вдоль всей длины до тех пор, пока разрез не вернется к исходному отверстию. Попробуйте проделать это сами, и вы убедитесь, что, как это ни невероятно, после такого разреза лента вовсе не распадается на два куска, а превращается в вдвое более длинное, но зато вдвое более узкое кольцо, закрученное на 360° вместо исходных 180°.

Через несколько лет после того, как я начал заниматься этими вопросами, топология стала модным разделом математики, особенно в Америке, где возникла большая топологическая школа, возглавляемая Освальдом Вебленом и Дж. У. Александером. Однако моя работа так медленно двигалась вперед, что к этому времени я уже совершенно в ней разочаровался и то ли уничтожил, то ли потерял рукопись, над которой трудился в Колумбийском университете.

1915-1916 академический год я провел в Гарвардском университете в качестве преподавателя-стажера. В уставе Гарвардского университета есть странный пункт, позволяющий каждому защитившему в университете диссертацию на степень доктора наук прочесть курс лекций но собственному выбору. Воспользовавшись этой привилегией, я избрал своей темой работы Альфреда Норта Уайтхеда. Мои лекции были посвящены строгому логическому построению обоснований математики. Уайтхед наглядно показал, что, используя логические конструкции в качестве определений, легко добиться того, чтобы некоторые математические понятия с самого начала обладали свойствами, которые представители школы постулационистов вынуждены выводить из весьма искусственных формальных предпосылок. Так, например, Уайтхед предлагал рассматривать точку плоскости как совокупность всевозможных площадок, о которых, пользуясь более обычным математическим языком, можно говорить, что они содержат эту точку. Однако, читая лекции, я очень скоро столкнулся с серьезными логическими затруднениями, на которые немедленно обратил внимание профессор Дж. Д. Биркгоф. Мне еще не раз придется упоминать его имя, поэтому я хочу сказать о нем несколько слов.

Этот голландец из штата Мичиган был первым значительным американским математиком, не учившимся нигде, кроме Соединенных Штатов. В свое время он написал блестящую диссертацию по некоторым вопросам динамики, связанным с небесной механикой - областью прикладной математики, которой во Франции уделял особое внимание Анри Пуанкаре. С тех нор Биркгоф преисполнился решимости не только стать, но и надолго остаться первым среди американских ученых, работающих в тех классических разделах математики, которые объединяются под названием анализа и по существу представляют собой развитие исследований Ньютона по дифференциальному и интегральному исчислению и математической физике.

Высокий, худой, с неправильными чертами лица и плотно сжатым ртом убежденного кальвиниста, Биркгоф не заблуждался относительно своих на самом деле замечательных способностей. Как я потом узнал, он очень неприязненно относился к возможным соперникам и особенно резко проявлял свои чувства, когда речь шла о евреях. Биркгоф считал, что пресловутая ранняя зрелость евреев дает им лишний шанс на получение работы и облегчает борьбу, которую ведут все молодые математики в начале своей карьеры. Ему казалось, что это особенно несправедливо потому, что впечатление, которое производят евреи, как правило, обманчиво и со временем обнаруживается, что они недостаточно выносливы. Вначале, пока я был еще зеленым юнцом, Биркгоф, естественно, не обращал на меня серьезного внимания, но как только я оперился и добился некоторых успехов, он начал проявлять ко мне острую антипатию и как к еврею и - что было еще важнее - как к возможному сопернику.

В тот момент, когда я впервые почувствовал его неприязнь, мне трудно было понять, почему я и то, что меня непосредственно окружает, вызывает в нем такую враждебность. Меня действительно никто не назвал бы привлекательным молодым человеком, и сначала я думал, что дело только в этом. Честно говоря, трудно было ожидать, что из меня получится что-нибудь привлекательное: когда ребенка с пеленок готовят к карьере ученого, на обучение хорошим манерам остается не слишком много времени. Я уже достаточно говорил о своем необыкновенном детстве и сейчас могу больше не тратить красноречия на описание антипатии, невольно возникающей у людей, занимающих определенное положение, когда они сталкиваются с молодым человеком, к которому не знаешь как подступиться. А я принадлежал к числу именно таких молодых людей. Надо сказать, что, помимо всего прочего, я был еще чрезвычайно агрессивен по отношению к окружающим. Для этого имелись некоторые основания. Положение, которое я занимал в обществе, было в высшей степени неопределенным, и в глубине души я чувствовал, что не добьюсь успеха, если не проявлю всей напористости, на которую только способен. В этом убеждении меня поддерживал и пример отца, который, несмотря на все наши разногласия, по-прежнему оказывал на меня самое большое влияние и оставался в моих глазах идеалом человека. А уж он-то был настроен в высшей степени агрессивно!

Я знал об этом хотя бы потому, что до меня не раз доходили слухи о ссорах отца с товарищами по работе, что, впрочем, казалось мне совершенно обычным явлением. Правда, я не подозревал, что его вообще считали человеком в высшей степени непокладистым. Дело в том, что на людей, не склонных к бурным эмоциям, необузданный темперамент отца часто производил неприятное впечатление, а многочисленные недоразумения, которые при этом возникали, создали ему славу задиры, которую он заслуживал лишь отчасти. Много лет спустя я узнал, что враждебность Биркгофа в значительной степени объяснялась его полным непониманием характера отца и отвращением, которое вызывала у него привычка Лео Винера непрерывно хвастаться своим необыкновенным сыном.

Следующий учебный год я провел в университете штата Мэн. Я получил это место через бюро по найму преподавателей и чувствовал себя униженным из-за того, что моих научных достижений не хватило на то, чтобы получить работу, не прибегая к такого рода средствам. Весь год у меня было ощущение, что я живу в изгнании. (О горестных перипетиях этого времени я уже рассказал в первом томе.)

Конец академического года совпал со вступлением Соединенных Штатов в войну. Расставшись с университетом, я сделал несколько попыток попасть в армию, но из-за слабого зрения был отвергнут всеми родами войск. Некоторое время я работал на заводе "Дженерал электрик" в Линие^*, но отец вызвал меня оттуда, так как я получил предложение, которое он счел более интересным: речь шла о третьестепенной должности в редакции Американской энциклопедии в Олбани^**.

^* (Один из крупнейших трестов электропромышленности, имеющий предприятия во многих городах США; Лини - город в штата Нью-Йорк.)

^** (Административный центр штата Нью-Йорк.)

Расставшись через короткий срок с энциклопедией, я с целой кучей других военных и штатских математиков взялся за работу на испытательном полигоне в Абердине в штате Мэриленд. Наша задача состояла в том, чтобы составить таблицу стрельбы артиллерийских орудий. В Абердине я пробыл больше полугода, сначала как штатский, потом как солдат. В роли военного мне пришлось солоно. Бывшие вундеркинды, очевидно, совершенно, но годятся для военной службы. Во всяком случае, я то и дело оказывался повинным в грубых проступках, и, хотя всем было ясно, что мной не руководит злая воля, я производил явно неблагоприятное впечатление. Сойтись со своими товарищами я не сумел, и необходимость жить в бараках приводила меня в отчаяние. В феврале 1919 года во снисхождение к моей неспособности меня уволили из армии.

Несколько месяцев я перебивался литературной поденщиной для газет, а потом написал две работы по алгебре. Сами по себе они были неплохи, но лежали очень уж в стороне от основных научных проблем, занимавших в то время ученых. Тем не менее именно после их опубликования профессор В. Ф. Осгуд из Гарвардского университета помог мне получить должность ассистента^* на кафедре математики Массачусетского технологического института.

^* (В американских высших учебных заведениях существует четыре преподавательские должности для лиц, имеющих ученую степень: самая младшая instructor, затем assistant professor, as-sociate professor и самая старшая full professor или просто professor, которым в СССР приблизительно соответствуют должности ассистента, старшего преподавателя, доцента и профессора.)

Осгуд был другом моего отца, и какой-нибудь год тому назад я еще изредка играл вместе с его сыновьями. В смысле науки Осгуда надо, наверное, считать главным представителем немецких традиций в американской математике. Он учился в Геттингене, там же женился на молоденькой немке и уехал из Германии с твердым намерением вести в Америке жизнь немецкого профессора. Вернее даже было бы сказать, жизнь немецкого тайного советника, потому что его идеалом был Феликс Клейн, рывший в течение многих лет предметом поклонения всех немецких математиков и, как известно, удостоенный высокого титула Geheimrat'a^*. Оогуд был краснощеким здоровяком, ко времени нашего знакомства, увы, сильно облысевшим; следуя европейской моде, он в виде компенсации носил пышную лопатообразную бороду. На собраниях Гарвардского математического клуба Осгуд играл роль римского папы; обычно же он сидел в клубе, наслаждаясь сигарой, с которой обращался весьма странным, явно у кого-то заимствованным, способом: обстругивал сигару перочинным ножом в виде наконечника и докуривал до горького конца (потом мы узнали, что так курил сигары Феликс Клейн).

^* (Тайного советника (нем.).)

Осгуд написал несколько своих книг по-немецки, обнаружив вполне приличное знание языка, кроме того, он отличался способностью определять, что в математике правильно и что нет, руководствуясь некими моральными принципами, не имеющими никакого отношения к логике. Один из его принципов заключался, например, в том, что всех, кто работал под его руководством, он автоматически причислял к своим единомышленникам.

В свое время я, наверное, недостаточно поблагодарил профессора Осгуда. Позаботившись, чтобы Массачусетский технологический институт, или МТИ, как его обычно называют, пригласил меня на работу, он действительно оказал мне большую услугу. У меня, однако, были некоторые основания не слишком высоко ценить этот акт милосердия. Прежде всего, Осгуд никогда по-настоящему меня не уважал, и я думаю, что если бы меня пригласили в Гарвардский университет, он вряд ли бы этому обрадовался. И еще одно. После окончания войны, но мере того как возобновлялась нормальная жизнь, вакансий появлялось все больше и больше; МТИ нуждался в огромном количестве людей для выполнения текущей преподавательской работы, но только для такой работы. В то время, о котором идет сейчас речь, администрация института предъявляла к кафедре математики одно-единственное требование - обеспечить регулярное чтение лекций. Все, что выходило за пределы повседневной рутины, не встречало никакой поддержки. Правда, на кафедре математики работало несколько преданных делу людей, которые вопреки всему верили, что настанет день, когда МТИ займет достойное место рядом с Гарвардским и Принстонским университетами и станет одним из крупных центров творческой математической мысли Америки. Они стойко защищали свою позицию, несмотря на крайне неблагоприятные обстоятельства, заключавшиеся в том, что МТИ в то время считался обычным высшим техническим училищем и к математике здесь относились просто как к одному из средств подготовки инженеров. Положение этих энтузиастов несколько облегчалось благосклонным отношением заведующего кафедрой. Профессор X. У. Тайлер - маленький, живой и тоже с бородой - но только теоретически сочувствовал честолюбивым стремлениям своих сотрудников, но и практически им помогал. Сам он наукой не занимался и вначале спокойно мирился со второстепенным положением своей кафедры, считая, что его миссия - содействовать образованию людей, интересы которых сосредоточены прежде всего на инженерном деле. Но, как всякий хороший администратор, Тайлер был рад возможности выдвинуть свою кафедру, и позднее, когда мы, его подчиненные, начали завоевывать определенное положение в научном мире, он стоял за нас горой.

Новые товарищи по работе встретили меня, в общем, дружелюбно, а в лице К. Л. Э. Мура я нашел горячего защитника и верного союзника. Мур обладал замечательным даром заражать окружающих своей любовью к математике; благодаря этой способности он многим помог достичь того высокого уровня в науке, который для него самого был невозможен. Вот почему мне хочется засвидетельствовать здесь свое уважение этому большому, нескладному, комичному человеку и выразить восхищение его самоотверженностью, честностью и добротой.

Первые годы работы в МТИ я продолжал жить вместе с родными. Моя младшая сестра Берта занималась химией сначала в Рэдклиф-колледже, а потом в МТИ; старшая, Констанс, после окончания Рэдклиф-колледжа получила приглашение продолжить занятия математикой в Чикаго. Констанс регулярно писала о своих учебных делах, и эти отчеты, из которых было видно, что она обучается по очень примитивной системе, с одной стороны, будили во мне множество честолюбивых замыслов, а с другой, показывали, что мои шансы на широкое признание очень невелики.

В этот период моей жизни я усиленно пытался завязать какие-нибудь светские знакомства, принимая ради этого участие в воскресных чаепитиях, устраиваемых у нас дома или у кого-нибудь из друзей сестер. Я остался таким же неуклюжим, как в детстве, и родители все так же меня третировали. Они упорно навязывали мне друзей, которых сами для меня выбирали, категорически отвергая всех, кто почему-либо им не нравился. Нечего и говорить, что если я обращал чуть больше внимания на какую-нибудь девушку, они немедленно накладывали на нее вето. При решении этого вопроса мать и отец исходили прежде всего из того, как эта девушка относится к членам нашей семьи; то, как она относилась ко мне самому, имело второстепенное значение. В этой ситуации я никогда ни в чем не мог быть заранее уверен и постепенно все более и более проникался решимостью воспользоваться летними каникулами, чтобы раз и навсегда сбросить с себя ярмо родительской тирании.

Институт был для меня местом отдохновения от домашнего гнета. Несмотря на тяжелую нагрузку - больше двадцати часов в неделю, - я находил время не только на то, чтобы изучать работы других, но и творить самому. Целый день с девяти утра до пяти вечера я просиживал в институте, но даже при этих условиях - откуда только молодость берет силы! - у меня не было большей радости, чем провести воскресенье (суббота считалась рабочим днем) в пустой аудитории, зная, что здесь меня никто не потревожит. Сейчас пятая часть того, что я тогда делал, оказалась бы мне не под силу.

Что же касается моих досугов, то, кроме кино и посещения старого Копли-театра, я развлекался прогулками в Мидлсекские горы, бродил по Голубым Холмам, а иногда сам мастерил примитивные санки для катанья с гор позади кладбища Маунт Обен; были у меня и друзья: несколько молодых сотрудников на кафедре и кое-кто из аспирантов Гарвардского университета. Зимой я доставлял себе удовольствие пройтись до МТИ по льду или от-правиться пешком по Спакс-стрит от дома до Бостона; весной и осенью я очень неважно и без особого увлечения играл в теннис.

К этому времени мой постоянно углублявшийся интерес к физическим аспектам математики начал приобретать некоторую определенность. Здания МТИ, построенные на берегу Ривер-Чарльз, располагались так, что прямо из окон открывался широкий вид на живописные окрестности. Особенную радость доставляла река. За причудливыми капризами воды, казалось, можно следить с утра до вечера. Но для меня, математика и физика, в этой красоте была совсем особенная привлекательность. Как установить математические закономерности, которые управляют движением всей этой массы беспорядочно бурлящей воды? Ведь высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Ривер-Чарльз иногда внезапно покрывалась высокими валами с белыми гребнями пены, иногда чуть морщилась еле заметной рябью; длина ее волн то не превышала двух-трех дюймов, то достигала нескольких ярдов^*.

^* ( Дюйм и ярд -линейные меры длины, принятые в Великобритании и США. Дюйм равен приблизительно 2,5 см, ярд - 91 см.)

Как дать математическое описание всех этих бросающихся в глаза явлений? Каким аппаратом воспользоваться, чтобы не утонуть в бесконечном разнообразии мелких подробностей этой картины? Было ясно, что эта задача как-то связана с проблемой статистического осреднения, родственной понятию интеграла Лебега, изучением которого я в это время как раз занимался. Так у меня впервые появилась мысль, что абстрактные математические теории, которые я изучал, имеют непосредственное отношение к описанию природы. Отсюда было уже недалеко до убеждения, что природа, в широком смысле этого слова, может и должна служить не только источником задач, решаемых в моих исследованиях, но и подсказывать аппарат, пригодный для их решения.

Одному из своих старших товарищей по кафедре, Хенри Бэйярду Филлипсу, я особенно признателен за то, что он помог мне оценить значение физики для математики. Этот высокий, худощавый уроженец Каролины^*, лишенный , каких бы то ни было признаков возраста, вырос в то тяжелое время, когда никто еще не успел забыть гражданскую войну^**.

^* (Северная и Южная Каролина - штаты на юго-востоке США.)

^** (Война между северными и южными штатами 1861-1865 гг.)

Он до сих пор продолжает заниматься наукой и, не изменив своих принципов, по-прежнему убежден, что сделать новую работу гораздо интереснее, чем ее опубликовать. Ему больше, чем кому бы то ни было другому, я обязан тем, что понял, как важно математику иметь физическую интуицию. Кроме того, Филлипс познакомил меня с замечательными работами Уилларда Гиббса по статистической механике, и это знакомство оказалось значительной вехой на моем жизненном пути.

Уиллард Гиббс, один из величайших американских ученых, фактически создал новую научную дисциплину, лежащую в промежуточной области между физикой и математикой. Вся его бедная событиями жизнь протекала в стенах Иельского университета, где он и умер в 1903 году, не добившись известности даже среди студентов и товарищей по работе.

Гиббс сделал много интересного и в физике и в математике, но меня прежде всего интересовали его основные работы, относящиеся к статистической механике. Именно эти работы во многом определили мой собственный путь ученого.

Дело в том, что традиционный взгляд на физику, идущий от великого Ньютона, неразрывно связан с детерминистскими представлениями, согласно которым точное знание состояния всей вселенной или любой ее замкнутой части в какой-либо один момент времени уже содержит в себе точное знание всей ее последующей истории. В соответствии с основным предположением Ньютона, зная положение скорости частиц в волне на поверхности Ривер-Чарльз, можно рассчитать движение этой волны во все последующие века. К сожалению, обладая измерительными приборами, сделанными всего лишь руками человека, невозможно получить абсолютно точные значения положений и скоростей всех частиц в начальный момент времени. Поэтому физик, реально подходящий к явлениям природы, неизбежно сталкивается с вопросом: а что же на самом деле можно утверждать, опираясь на те приближенные данные о начальном состоянии, которые он может получить с помощью существующих приборов?

При решении этого вопроса ученый вынужден рассматривать вместо одной-единственной вселенной множество различающихся между собой миров, причем каждый из них имеет лишь некоторую определенную вероятность совпасть с тем, в котором он живет. Он не в состоянии с уверенностью сказать, что же будет происходить отныне и вовеки, а может только объяснить, что, по всей вероятности, произойдет в какое-либо определенное время, при каких-то определенных условиях. Новая область науки, опирающаяся на понятие вероятности, складывалась в течение значительного промежутка времени, но только работы Гиббса, в которых математически четко были сформулированы основные идеи статистической физики, внесли в это направление полную ясность.

Идеи Гиббса не случайно произвели на меня такое сильное впечатление. Как раз перед моим первым учебным семестром в МТИ д-р И. Барнет из Цинциннати^* перешел на работу в Кембридж, и мы с ним оживленно обсуждали различные математические и не математические вопросы. Мне предстояло впервые вести самостоятельную научную работу, и я как-то не знал, на чем сосредоточить свои усилия. Я попросил Барнета указать мне какую-нибудь симпатичную задачу, над которой еще никто не работал. Он сказал, что имеется огромное поле деятельности, связанное с обобщением понятия вероятности на ситуации, где "возможные состояния" не могут быть представлены точками некоторой плоскости или области пространства, а имеют характер кривых, описываемых какими-нибудь движущимися объектами.

^* (Город в штате Огайо.)

Примером задачи, в которой "возможные состояния" естественно представляются точками, является задача о распределении попаданий в мишень в случае, когда по мишени делается несколько выстрелов и нужно заранее указать вероятную кучность пулевых отверстий. С другой стороны, в задаче о разлетающихся из улья пчелах или, еще лучше, о блуждании пьяного человека, выбирающего направление каждого своего шага без всякой связи с предыдущим, приходится говорить о вероятностях различных путей. Предположим, например, что наш пьяница находится в центре квадратного поля заданных размеров; как в таком случае рассчитать, сколько в среднем понадобится ему времени, чтобы выбраться с этого поля?

Эта задача о вероятностном расчете процессов, содержащих беспорядочные колебания, имеет большую и содержательную историю. Начало XX века сопровождалось существенными изменениями в математике, отражающими новые, более сложные представления о внешнем мире. к В XIX столетии основной интерес математики сосредоточивался на изучении точечных объектов и величин, зависящих от переменных, значения которых также являлись точками. Новые концепции, возникшие в начале нашего века, ставили своей целью заменить точки траекториями точек, т. е. кривыми.

Любопытно, что корни этого нового подхода к математике можно найти еще в XIX и даже в XVIII столетиях - я имею сейчас в виду те разделы математики, которые касались так называемого вариационного исчисления. В первоначальном дифференциальном исчислении Ньютона и Лейбница рассматривались задачи на максимум и минимум, в которых искомый максимум пли минимум имел характер вершины холма или дна чаши (немного более сложный, но родственный характер имеет также перевал в горном хребте). Что же касается вариационного исчисления, то здесь рассматриваются значительно более сложные задачи, типа задачи нахождения самого быстрого пути от одной точки до другой в области, в которой возможная скорость передвижения меняется от точки к точке. Иными словами, в этом случае также решаются задачи на максимум или минимум, но ответом является уже не точка, а кривая.

Таким образом, истоки "математики кривых" относятся к весьма удаленному от нас периоду, однако полное развитие эта математика получила совсем недавно. Мир кривых гораздо разнообразнее и богаче мира точек, но только математики XX столетия сумели овладеть его богатством.

Под влиянием бесед с Барнетом весь первый год пребывания в Массачусетском технологическом институте я потратил на поиски возможностей распространения понятия интеграла Лебега на случаи более сложные, чем те, которыми занимался сам Лебег. На эту тему уже имелась одна работа. Ее сделал молодой француз Гато, погибший на войне. К сожалению, он не охватил всего вопроса в целом, и, когда я попробовал продолжить его исследования, у меня создалось впечатление, что они ведут меня в неверном направлении.

Английский ученый П. Дж. Даниел, преподававший тогда в Институте Раиса в Хьюстоне (Техас), тоже написал несколько статей, имевших отношение к интересующей меня задаче. Его работы понравились мне гораздо больше, чем статья Гато, и я решил взять их за основу. Однако Даниел не рассматривал специально пространства кривых, и моя попытка применить его методы к этим новым объектам сперва показалась мне самому надуманной и малоинтересной.

В то время я с жадностью набрасывался на различные научные журналы и в том числе просматривал "Труды Лондонского математического общества" ("Proceedings of the London Mathematical society"). Там я наткнулся на статью Дж. И.Тэйлора -впоследствии сэра Джеффри Тэйлора^*, - посвященную теории турбулентности. Вопросы турбулентности имеют первостепенное значение для аэродинамики и авиации, и сэр Джеффри в течение многих лет считался столпом британской науки в этой области. Статья Тэйлора близко соприкасалась с тем, что меня интересовало, так как в случае турбулентного движения траекториями частиц воздуха являются очень сложные кривые и окончательные результаты его статьи включают в себя понятие "осреднения", представляющее собой не что иное, как некоторый способ интегрирования по всей совокупности таких кривых.

^* (В Англии существует обычай присуждать дворянские звания за выдающиеся заслуги (в том числе и научные); при этом награжденный получает право именоваться "сор" с обязательным прибавлением имени, например: "сэр Джеффри Тэйлор" или просто "сэр Джеффри" (вместо обычного "мистер Тэйлор").)

Позднее, во время своих неоднократных поездок в Англию, я довольно хорошо познакомился с Тэйлором. Это любопытный образец типично английского ученого-профессионала с глубокими знаниями, который держит себя в науке как любитель. Тэйлор - известный яхтсмен, у него наружность человека, проводящего большую часть жизни на свежем воздухе, самым замечательным своим достижением он считает изобретение нового типа якоря для яхт.

Познакомившись со статьей Тэйлора, я более серьезно задумался о возможности физической теории, оперирующей с понятием осреднения по множеству кривых. Проблема турбулентности была слишком сложной, чтобы немедленно приступить к атаке, но имелась другая родственная проблема, которая оказалась вполне подходящей для анализа, относящегося именно к той области, которую я для себя выбрал. Это была проблема брауновского движения, явившаяся предметом моей первой важной математической работы.

Чтобы понять, что такое брауновское движение, представим себе сперва игру в пушбол^* на поле, кишащем игроками. Некоторые из них толкают мяч в одну сторону, некоторые в другую, и в результате большинство толчков гасят друг друга. Однако равновесие шара под действием противоположно направленных ударов будет все же лишь приближенным, так как не все толчки точно компенсируют друг друга. Поэтому шар будет все-таки медленно передвигаться по полю, причем движение его будет сильно напоминать движение пьяницы, о котором мы говорили выше. Иначе говоря, оно будет представлять собой пример беспорядочного движения, при котором будущие перемещения очень мало зависят от того, как двигался шар раньше.

^* ( Игра, ври которой игроки каждой из двух команд пытаются толкнуть огромный надутый шар так, чтобы в конце концов загнать его в ворота противника.)

Рассмотрим теперь молекулы жидкости или газа. Эти молекулы не находятся в покое, но совершают случайные, беспорядочные движения, подобные движению людей в густой толпе. Движение это будет тем более интенсивным, чем выше температура. Предположим, далее, что в жидкость помещен крохотный шарик, который отдельные молекулы толкают точно так же, как толпа игроков толкает мяч при игре в пушбол. Если наш шарик будет совсем уж крошечным, то мы его просто не сможем увидеть, а если он будет слишком большим, то столкновения молекул с ним будут в среднем весьма точно уравновешивать друг друга, так. что они не вызовут никакого движения. Существует, однако, промежуточная область размеров, при которых наш шарик является достаточно большим, чтобы его можно было увидеть в микроскоп, и достаточно малым, чтобы толчки молекул вызвали его не прекрающающееся беспорядочное движение. Это движение, отражающее непрекращающееся беспорядочное перемещение молекул, называется брауновским движением. Оно было обнаружено вскоре после изобретения микроскопа, причем оказалось, что такое движение присуще всем без исключения достаточно малым частицам, наблюдаемым с помощью этого прибора.

Таким образом, брауновское движение дает нам ситуацию, в которой частицы описывают кривые, принадлежащие к некоторому статистическому множеству кривых. Тем самым оно представляло собой идеальный объект для применения моих идей о лебеговском интегрировании в пространстве кривых, обладающий также тем преимуществом, что объект этот был физически реальным и тесно связанным с идеями Гиббса. И действительно, применив здесь свои соображения, относящиеся к общей теории интегрирования, я добился значительного успеха.

Само по себе брауновское движение вовсе не было совсем неисследованной областью физики. Но в фундаментальных работах Эйнштейна и Смолуховского, посвященных этой проблеме, изучалось или поведение некоторой частицы в какой-то фиксированный момент времени, или же зависящие от времени статистические характеристики большой совокупности частиц, математические же свойства траекторий отдельных частиц никак не затрагивались.

В этом последнем направлении почти ничего не было известно, если не считать глубокого замечания французского физика Перрена, отметившего в своей книге "Атомы"^*, что крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих брауновское движение, заставляют вспомнить непрерывные нигде не дифференцируемые кривые математиков. В этом замечании говорится о непрерывности, поскольку частицы не совершают никаких мгновенных скачков, и о не дифференцируемости, поскольку кажется, что ни в какой момент времени эти частицы не обладают точно определенным направлением движения.

^* (Перрен Жан Батист (1870-1942) -лауреат Нобелевской премии 1926 г., с 1929 г. почетный член Академии наук СССР; книга "Атомы" вышла па русском языке в 1924 г.)

В случае физического брауновского движения частицы, разумеется, не во все моменты времени сталкиваются с молекулами - за каждым столкновением следует какой-то промежуток времени, в течение которого никаких столкновений не происходит. Эти промежутки, однако, слишком коротки, чтобы их можно было наблюдать каким-нибудь обычным способом. Естественно поэтому идеализировать брауновское движение, предположив молекулы бесконечно малыми, а столкновения - происходящими непрерывно. Именно такое идеализированное брауновское движение я и изучал, обнаружив при этом, что его свойства являются прекрасным суррогатом загадочных свойств истинного брауновского движения.

К моему удивлению и удовольствию, я убедился, что при таком понимании брауновского движения его формальная теория может быть доведена до высокой степени совершенства и изящества. В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что, за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории брауновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми.

Мне кажется, что в статьях, написанных мной по этому вопросу, впервые было раскрыто нечто совершенно новое - возможность комбинирования лебеговой техники интегрирования с физическими идеями Гиббса. Тем не менее статьи не содержали решения некоторых важных проблем, нужного для формального оправдания результатов Гиббса; такое решение лишь позже было получено в терминах, использующих понятие интеграла Лебега, Бернардом Купменом, Дж. фон Нейманом и Дж. Биркгофом. Но это произошло лишь в 30-х годах, когда представление о том, что идеи Гиббса и Лебега вовсе не являются совсем чуждыми друг другу, уже не казалось столь неожиданным.

В период, когда я опубликовал свои первые статьи о брауновском движении, появились также исследования еще одного явления, которое также можно было бы описать в соответствии с моими работами. Это новое явление получило название дробового эффекта, и касалось оно прохождения электрического тока, состоящего из дискретного потока электронов, через электронную лампу. Такой дискретный поток нельзя создать без того, чтобы в отдельные моменты времени проходящие электроны не сбивались бы в плотную кучу, а в другие шли более редко. Эти нерегулярности, которые и составляют суть дробового эффекта, сами по себе очень малы, но они могут быть усилены и сделаны вполне заметными при помощи ламповых усилителей. Поэтому такой "ламповый шум", или "проводниковый шум", является серьезным препятствием при использовании электрических цепей с большим усилением.

В 1920 году очень редко встречались электрические цепи с усилением, при котором дробовой эффект начинал играть какую-нибудь роль. Однако дальнейшее развитие сперва радиовещания, а затем радиолокации и телевидения привело к тому, что дробовой эффект стал существенной заботой каждого радиоинженера.

Дробовой эффект не только очень близок по природе к брауновскому движению (оба они являются результатом дискретности основных элементов физического мира), но и описывается математически той же самой теорией. Так случилось, что мои работы по брауновскому движению через двадцать лет после опубликования оказались весьма полезны для инженеров-электриков. Однако при своем появлении и потом еще в течение долгого времени этот труд казался мертворожденным младенцем. Я долго собирался с духом, прежде чем за него приняться, и, наконец, летом в Страсбурге - об этом лете я буду рассказывать в следующей главе - написал первую статью. Математики тогда едва обратили на нее внимание.

К сожалению, прием, который ожидает в научном мире ту или иную работу, зависит не только от ценности ее содержания. Подчас гораздо более важным оказывается совсем другое. Например, то, какой интерес она представляет для ведущих специалистов соответствующей области. Непосредственно после первой мировой войны самыми большими математиками в Америке были Веблен и Биркгоф. Веблен занимался главным образом топологией - одним из специальных разделов математики, о котором я уже говорил. Он считал своей миссией убедить всех, что эта абстрактная область представляет собой новую американскую математику; что же касается европейской науки, занимавшейся главным образом анализом, выросшим из дифференциального и интегрального исчислений, то, по его мнению, она отжила свой век и уже не может дать миру ничего интересного. Веблен действительно является создателем интересного и значительного отдела математики, но его беспокойство по поводу печального состояния анализа оказалось по меньшей мере преждевременным. Как бы то ни было, я чувствовал себя слишком тесно связанным со старыми традициями, чтобы принять новую веру.

Биркгоф, наоборот, занимался анализом. Как я уже говорил, он считался признанным вождем американских аналитиков и был полон решимости сохранить это положение. Но Биркгоф был убежден, что анализ ограничивается теми разделами динамики, которые разрабатывал Пуанкаре и над которыми успешно трудился он сам; все, что выходило за пределы этой области, он безапелляционно относил к разряду малосущественных "специальных проблем".

Поскольку затронутые мной вопросы оказались вне круга интересов ведущих американских математиков, мои работы получили признание лишь много лет спустя, когда выросло новое поколение ученых и когда потребности промышленности и нужды новой мировой войны наглядно показали, что задачи, которыми я занимался, действительно заслуживают внимания.

В Европе мне оказали более радушный прием, чем на родине: Морис Фреше - я проводил вместе с ним лето 1920 года - очень благосклонно отнесся к моей работе, которая во многих отношениях была ему близка; его младший коллега Поль Леви начал исследования в области, смежной с моей, Тэйлор в Англии живо заинтересовался моими идеями.

Харди, мой старый учитель, конечно, не мог не проявить снисходительности к работе своего бывшего ученика. Он горячо одобрил то, что я сделал, и это было мне особенно приятно, так как в то время я совсем не был избалован знаками внимания. Но при всем этом и в Европе и в Соединенных Штатах ко мне относились просто как к молодому человеку со средними способностями, и уж во всяком случае никто не считал меня восходящей звездой молодого поколения ученых.

Тем не менее, как это часто бывает, я сам был полностью убежден в значительности моих новых идей, тем более, что они довольно быстро складывались в некую стройную систему, подчиняющуюся своим маленьким, но вполне определенным закономерностям. Основа безусловно была верна. Я настолько твердо в это верил, что уже тогда ничуть не удивился бы, скажи мне кто-нибудь, что эти работы имеют большое будущее. Чтобы представить себе дальнейшее развитие того, что Я сделал, мне нужно было более основательно познакомиться с теорией колебаний и волн или, выражаясь языком математики, с рядами Фурье, интегралом Фурье и тому подобными вещами. С этой целью я начал тщательно изучать все те разделы математики, связь которых с физикой уже была установлена. Сотрудники нашей кафедры очень сочувственно отнеслись к моему стремлению заниматься прикладной математикой. В результате, начиная с этого времени, моя работа больше никогда не носила случайный характер: я нашел дорогу, по которой мог смело идти вперед. Математика- наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой - это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости. Но очень часто молодые подающие надежды ученые, написав одну-две интересные работы, внезапно умолкают; проходит немного времени, и оказывается, что их имена так же безвозвратно преданы забвению, как имена экс-чемпионов спорта.

Жалкое зрелище являет собой человеческая жизнь, в которой короткий расцвет сменяется бесконечной вереницей тусклых, однообразных дней. Если математик хочет избежать этой участи, если он хочет, чтобы его карьера ученого не оказалась медленным спуском вниз, он должен использовать пору расцвета своих творческих сил на поиски такой неизвестной области науки или таких новых задач, которые, обладая достаточным внутренним содержанием и достаточной реальной ценностью, обеспечат ему возможность плодотворно работать в избранном направлении на протяжении всей жизни. Я вытянул счастливый жребий: проблемы, волновавшие меня в юности, так же как большинство вопросов, которые я поднял, начиная свою научную деятельность, до сих пор не утратили остроты; именно поэтому в шестьдесят лет мне нужны все оставшиеся у меня силы, чтобы справиться с требованиями, которые ежеминутно предъявляет мне жизнь.

Пусть только никто не подумает, что первый же успех сделал из меня героя в глазах родных. Отец радовался моему прилежанию и тому, что я в состоянии выполнить работу, доставляющую удовольствие по крайней мере мне самому; но, хотя я довольно громко выражал свои восторги, в то время они еще не находили отклика в стенах Гарвардского университета, а сам отец уже перестал по-настоящему заниматься математикой и не мог без посторонней помощи оценить то, что я сделал.