1. Введение. Математика и изучение реального мира

1. Некоторые исторические сведения

На протяжении нескольких веков физика и астрономия были основными источниками математических проблем и основными областями, в которых испытывалась сила новых математических методов. Однако в последнее время это положение вещей существенно изменилось. Сейчас, буквально на наших глазах, математические методы быстро входят в экономику, социологию, лингвистику, биологию и т. д. Возникли и вошли в обиход такие термины, как математическая лингвистика, математическая экономика, математическая биология. Чем же обусловлено такое энергичное вторжение математики в области, бывшие еще сравнительно недавно достаточно далекими от нее?

Было бы ошибкой считать, что важность точных количественных методов для таких наук, как биология, была понята лишь в наше время. На самом деле, первые попытки в этом направлении относятся к достаточно далекому прошлому. Так, например, еще в 1680 г. Джованни Борелли опубликовал в Риме обширный труд «О движении животных» (De Motu Animalium), в котором сделал попытку применить геометрические и механические соображения к исследованию движений животных и человека. Впрочем, первые идеи такого рода были, видимо, у Леонардо да Винчи - одного из самых универсальных гениев в истории человеческой культуры.

Переходя к более поздним временам, следует прежде всего упомянуть исследования Гельмгольца, который в своих работах по слуху и зрению пользовался математическим аппаратом, развитым в значительной мере им самим для изучения волновых процессов. Возможность изложить и исследовать биологические проблемы в физических и математических понятиях глубоко интересовала и немецкого физиолога прошлого века Дюбуа-Реймона.

Среди работ, относящихся к нашему столетию, следует прежде всего упомянуть фундаментальный труд д’Арси Томсона «О росте и форме» (1917 г.), посвященный применению математических методов к исследованию геометрических форм и процесса роста животных и растительных организмов. Несколькими годами позже была опубликована работа А. Лотка «Элементы физической биологии» (1924 г.), в которой автор, используя в основном аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, рассматривает чрезвычайно широкий круг проблем - от молекулярных процессов в клетках до психических функций центральной нервной системы. Примерно к тому же времени относятся исследования итальянского математика В. Вольтерра, изложенные затем в его книге «Лекции по математической теории борьбы за существование» (1931 г.), и книга Дж. Холдейна «Математическая теория естественного отбора» (1924 г.). Начиная с 30-х годов число работ, содержащих попытки математического подхода к тем или иным проблемам биологии, стало быстро возрастать. Сложились целые коллективы, работающие в этом направлении (например, школа Н. Рашевского в США). Ряд важных идей, по существу предвосхитивших в известной мере исходные положения современной биокибернетики, содержится в исследованиях нашего соотечественника академика И. И. Шмальгаузена, начатых им еще в 30-х годах.

Среди различных математических методов уже сравнительно давно «завоевала права гражданства» в биологических исследованиях математическая статистика. Биологическими применениями статистических методов интересовался знаменитый английский статистик К. Пирсон. Более того, ряд исследований в области математической статистики, например работы Р. Фишера и его школы, в значительной мере стимулировались именно потребностями биологии.

2. Сущность математического подхода к изучению реального мира. Модели

Приведенный краткий и весьма неполный перечень работ, связанных с применением математических методов к биологическим проблемам, показывает, что такого рода исследования уже имеют довольно длительную историю. И все же о действительно широком проникновении математических методов в биологию стало возможным говорить лишь в самое последнее время. Впрочем, и сейчас еще эти методы в биологии играют гораздо меньшую роль, чем, скажем, в физике. Оказалось, что применять математику для исследования живой природы гораздо труднее, чем, например, для изучения движения планет. Для того чтобы понять природу этих трудностей, посмотрим, в чем же, собственно, состоит сущность математического подхода к изучению объектов и явлений окружающего нас мира.

Характерная черта математики состоит в том, что она оперирует, как правило, отвлеченными, идеализированными понятиями. Такие понятия, как, например, «прямая плоскость», «число», не означают каких-либо реальных предметов, а лишь некоторые «мысленные модели» существующих в природе вещей. К такого рода моделированию (моделированию в указанном здесь логическом смысле, а не в инженерном) приходится прибегать, по существу, всякий раз, когда речь идет о применении математики к изучению окружающего мира. Например, в механике мы вводим такие понятия, как «материальная точка», «идеальная жидкость» и т. д. Это тоже математические идеализации, т. е. модели реальных физических тел. А затем к изучению этих моделей применяется соответствующий математический аппарат, скажем, теория дифференциальных уравнений или что-либо еще.

Мы привыкли к делению наук на естественные и гуманитарные. При этом математику относят к естественным наукам в самую первую очередь. Но это не вполне справедливо. Скорее, математика занимает некое промежуточное положение, будучи связана с изучением как окружающей природы, так и различных форм человеческой деятельности. Можно сказать, что математика - это язык, на котором можно описывать различные явления. Но этот язык подчинен весьма жестким и строгим правилам логики. И научиться говорить на математическом языке о том или ином круге событий подчас весьма сложно. Мы лучше всего умеем говорить на нем о механических и физических явлениях, но в принципе этот язык чрезвычайно универсален.

3. Что мы умеем моделировать

Когда строится та или иная модель, то она, конечно, должна прежде всего отражать существенные черты моделируемого объекта, иначе ее изучение мало что нам даст для познания этого объекта. С другой стороны, модель не должна быть слишком сложна, иначе она будет недоступна для точного математического исследования^*. Если речь идет о моделировании сложной системы, то весьма трудно удовлетворить одновременно обоим этим требованиям - достаточная простота и, вместе с тем, достаточная «похожесть». Поэтому в первую очередь математические методы развивались применительно к изучению достаточно простых систем. Примером области естествознания, в которой математические методы применяются давно и с большим успехом, может служить классическая механика, в частности небесная механика. Развитые здесь математические методы позволяют весьма точно описывать движение системы материальных тел, например, предсказывать на много лет вперед солнечные и лунные затмения, вычислять орбиты комет и т. д. Однако и здесь возникает много трудных и сложных математических проблем^**, в том числе и таких, которые остаются нерешенными до сих пор, несмотря на то, что рассматривается такая система как система материальных точек.

^* (Говорят, что однажды Микеланджело, отвечая на вопрос о том, как создать скульптуру из глыбы камня, сказал: «Скульптура уже заключена в камне. Нужно только срезать все лишнее, и она предстанет перед вами». Эти слова можно применить и к тому, как создается абстрактная модель реального явления. Но как отделить «лишнее» от «необходимого»?. Это трудно и в искусстве и в науке.)

^** ( Примером здесь может служить известная задача трех тел, состоящая в определении всех возможных движений трех масс, связанных силами взаимного притяжения.)

Что же касается любой биологической системы, то построение ее удовлетворительной математической модели оказывается, как правило, чрезвычайно сложным делом.

4. Появление новых возможностей

Итак, математические методы исследования мы можем успешно развивать в тех областях, где нам удается создать достаточно хорошие общие понятия, создать соответствующий изучаемым явлениям «математический язык». Если явления, которые мы изучаем, сложны, то они могут оказаться за пределами возможностей тех математических методов, которыми мы располагаем.

Однако сейчас у нас есть серьезные основания для того, чтобы смотреть на дело оптимистически. За последние 20-25 лет в самой математике произошли существенные изменения, значительно расширившие круг ее возможностей. Часто это расширение области применимости математических методов, происшедшее в последние годы, связывают в первую очередь с появлением быстродействующих вычислительных машин. Бесспорно, появление таких машин сыграло тут очень большую роль, но дело не только в них. На протяжении тех же 20-25 лет, в которые укладывается вся история развития электронной вычислительной техники, в математике возник ряд новых направлений и областей, связанных именно с исследованием сложных систем и анализом таких ситуаций, в которых классические математические методы неприменимы. К таким областям математики относятся теория игр, теория автоматов, новые методы решения задач об оптимальном регулировании, теория операций и т. д. возможно, конечно, что людям во все времена было свойственно переоценивать научные достижения именно своей эпохи, однако, даже сделав известную скидку на это обстоятельство, можно утверждать, что именно сейчас математика гораздо больше приспособлена к анализу сложных систем, имеющих много степеней свободы и состоящих из большого числа взаимодействующих между собой частей, чем это было еще сравнительно недавно, скажем, в первой половине нашего века.

Сейчас выяснилась возможность построения достаточно удовлетворительных математических моделей в таких сложных и запутанных ситуациях, которые возникают, например, в экономике. Интересным примером возникновения хорошей математической модели в области, в которой это трудно было ожидать заранее, может служить теория информации. Хотя она возникла всего около 20 лет тому назад, сейчас она представляет собой развитую математическую теорию, со многими теоремами и разнообразными методами. Однако основной и решающий шаг в построении теории, сделанный основоположником этой теории К. Шенноном в конце 40-х годов, состоял не в теоремах, а в формулировке таких фундаментальных понятий, как количество информации и пропускная способность канала, т. е. в создании такой модели, которая отражает общую математическую сущность самых разнообразных способов передачи сообщений.

В последнее время ряд небезуспешных попыток построения математических моделей был сделан и применительно к биологическим системам и явлениям. Некоторые из этих моделей мы рассмотрим ниже, но сперва поговорим о тех возможностях и перспективах, которые связаны с применением в биологии современной вычислительной техники.