Задачи и дополнения

1. Определить положение одиночной ошибки в искаженном слове 1100011 кода Хемминга длины 7.

2. Пусть 11010011 и 11001111 - искаженные слова расширенного кода Хемминга длины 8. Какое из этих слов содержит одиночную, а какое - двойную ошибку? В случае одиночной ошибки определить ее положение.

3. К проверкам кода Хемминга длины 7 добавим (не меняя длины кода) общую проверку на четность:

Сколько слов удовлетворяет соотношениям (5) и (7)?

4. Доказать, что код из задачи 3 исправляет одиночные и обнаруживает двойные ошибки.

5. Построить систему проверок для кода Хемминга длины 15. Сколько кодовых слов содержит этот код? Сколько информационных и сколько проверочных символов имеется в кодовом слове?

6. Если задан код Хемминга длины n = 2^m - 1, то существуют два простых способа получить из него коды с исправлением одиночных и обнаружением двойных ошибок.

Первый из них (он аналогичен способу, разобранному в конце этого параграфа) таков: к кодовым словам добавляем проверочный символ α₀, а к проверочным соотношениям кода Хемминга - общую проверку на четность: ∑ⁿ_i=0 = α_i = 0.

Во втором способе (см. задачу 3) длина кодовых слов не меняется, но добавляется общая проверка на четность: ∑ⁿ_i=1 = α_i = 0.

Сколько информационных и проверочных символов содержится в каждом из описанных здесь кодов?