Десять игр в заключение

Занимательные математические игры, о которых до сих пор рассказывалось, классифицированы, систематизированы и разбиты нами на шесть типов, шесть групп (иногда условно) . Однако многие существующие игры не укладываются в эту классификацию. Богатство и неисчерпаемость интеллектуальных игр не позволяют ограничить все их какими-то жесткими, заданными рамками. В заключение мы как раз и приведем десять необычных игр, для которых не нашлось места в шести основных главах книги.

1. Так-тикс. На доске n*n расставлены одинаковые фишки - на каждом поле по одной. Игроки по очереди берут их из любого вертикального или горизонтального ряда, причем обязательно подряд, пропускать пустые поля нельзя. Проигрывает тот, кто возьмет последнюю фишку.

Уже при малых значениях п игра получается достаточно сложной. Для доски 3*3 легко убедиться, что первый игрок выигрывает, если берет центральную или угловую фишку, или весь центральный ряд. Анализ игры на доске 4*4 не так прост, доказано, что второй игрок обладает выигрышной стратегией. Так-тикс напоминает ним, но исследование игры при n>4 существенно усложняется из-за использования пересекающихся рядой фишек.

2. Щелк! В этой игре фишки заполняют произвольный прямоугольник m*n. Ход состоит в следующем. Игрок выбирает любое поле доски, мысленно проводит через него два взаимно перпендикулярных луча вверх и вправо и затем все фишки, оказавшиеся внутри прямого угла, снимает с доски - "откусывает". Проигрывает тот, кто вынужден "откусить" фишку в левом нижнем углу.

Для двух частных случаев игры известны выигрышные стратегии. На квадратной доске n*n первый игрок выигрывает, "откусив" квадрат со стороной n-1. А на прямоугольнике 2-й начинающий добивается победы, "откусывая" фишку в правом верхнем углу. В нижнем ряду тогда останется на одну фишку больше, чем в верхнем, и это соотношение первый игрок должен восстанавливать каждым своим ходом.

3. Кто меньше? Игроки задумывают по одному числу от 1 до 5, и числа сравниваются. Если они совпадают или различаются больше, чем на единицу, каждый игрок получает количество очков, совпадающее со своим задуманным числом. Если же числа различаются на единицу, то игрок, выбравший меньшее число, получает очки, равные сумме задуманных чисел. Игра продолжается десять туров, и после каждого из них очки суммируются. Побеждает игрок, набравший большее число очков.

Для анализа этой сложной стратегической игры необходимо составить специальную матрицу - таблицу всех возможных вариантов ходов и соответствующего распределения очков. Оптимальный план действий находится с помощью методов математической теории игр.

4. "Посредственность". Пример игры для трех лиц. В каждом туре трое участников выбирают по одному числу из определенного множества чисел, причем очки засчитываются только тому игроку, который выберет среднее число из трех,- самому "посредственному". Количество начисленных очков совпадает с задуманным числом. Игра длится десять туров, и побеждает тот, кто набирает среднее число очков. Стратегия игры весьма сложна.

5. Сим. На листе бумаги по окружности расставляют несколько точек. При очередном ходе каждый из двух игроков-проводит линию своего цвета, соединяющую любые две точки. Проигрывает тот, кто вынужден первым построить треугольник своего цвета с вершинами в этих точках.

Если точек меньше пяти, то игра быстро заканчивается вничью. Теоретически ничья возможна и на пяти точках, но игра уже достаточно интересна. При шести точках найдена выигрышная стратегия для второго игрока. Если точек больше шести, то анализ игры весьма сложен. Доказано, что ничейный исход исключен, но вопрос о выигрышных стратегиях остается открытым.

Сим относится к играм на графах, и для его детального исследования применяется математическая теория графов.

6. Рассада. На листе бумаги расставлено несколько точек, из которых начинает свой рост "рассада". Делая очередной ход, каждый из двух игроков проводит линию ("рассада пускает росток"), которая соединяет одну точку с другой либо описывает петлю и возвращается в исходную точку. При этом он ставит на линии новую точку. Линия не должна иметь самопересечений, пересечений с ранее проведенными линиями и проходить через точки, не служащие ее началом или концом. Наконец, из каждой точки не должно исходить более трех линий (ростков). Проигрывает тот, кто не в состоянии провести линию без нарушения правил.

Рассада - классическая игра на графе, при нахождении выигрышных стратегий используются также некоторые топологические свойства плоскости. Доказано, что партия длится не более 3n-1 ходов, где n - число точек в начале игры. Нетрудно убедиться перебором вариантов, что при n = 1, 3, 4 или 5 при правильной игре всегда побеждает первый игрок, а при n = 2 - второй. Для n≥6 полной ясности пока не удалось внести даже с помощью ЭВМ.

7. Четыре краски. Для игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок чертит произвольную область. Второй раскрашивает ее в любой цвет и присоединяет новую область. Первый игрок раскрашивает новую область и добавляет еще одну и т. д. Итак, на каждом ходу один из игроков раскрашивает область, начерченную противником, и дорисовывает свою область. При этом соседние области, имеющие общую протяженную границу, должны быть окрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на очередном ходу для правильной раскраски вынужден воспользоваться пятой краской.

Эта игра имеет отношение к старинной "проблеме о красках", которой занимались многие математики: какого минимального количества красок достаточно для раскраски произвольной географической карты с условием, что соседние страны всегда раскрашены в разные цвета. Совсем недавно американские математики Т. Аппель и М. Хейкен с помощью ЭВМ доказали, что для раскраски любой карты достаточно четырех красок. Так что в принципе данная игра может продолжаться бесконечно. Но одно дело теория, и совсем другое практика...

8. Оуа. Одна из простейших игр на перекладывание шариков (камней), более популярны калах и чисоло. У двух игроков имеется по ряду из семи лунок (углублений), в каждой из которых помещено по четыре шарика. Ход состоит в том, что игрок вынимает все шарики из любой лунки своего ряда и раскладывает их по одному в каждую из последующих лунок (и своих и чужих), двигаясь против часовой стрелки. Если на каком-то ходу из лунки вынимается 12 и более шариков, то при круговом обходе, дойдя до этой лунки, следует ее пропустить - оставить пустой. Если при распределении по лункам последний шарик опущен в крайнюю справа лунку на своей стороне или в любую лунку на стороне противника и при этом в лунке оказались 2 или 3 шарика, то ходивший игрок забирает из нее все шарики в качестве "добычи". Он также забирает последовательно все шарики из предшествующих лунок соперника, в которых тоже находятся 2 или 3 шарика, но не далее той лунки, где имеется другое число шариков. Игра прекращается, если оставшихся на доске шариков недостаточно, чтобы образовать "добычу". Победителем становится тот, у кого больше "добыча". Игра заканчивается и в том случае, если у одного из игроков все лунки оказываются пустыми - он проиграл.

9. Окружение десанта. Предлагаемая игра - еще одна разновидность крестиков-ноликов на бесконечной доске (листе клетчатой бумаги). Начинающий рисует крестик на любой клетке. Далее каждым своим ходом он ставит новый крестик на свободную клетку, соседнюю с уже ранее поставленным крестиком (у соседей общая сторона или вершина). Второму игроку разрешается на каждом ходу ставить сразу два нолика в любые две соседние клетки. Его задача - добиться, чтобы противник не смог поставить очередной крестик. Второй игрок, очевидно, всякий раз пытается вырваться из тисков.

10. Волки и овцы. Завершает раздел одна из самых простых и популярных шашечных игр. На первой горизонтали обычной доски стоят четыре белые шашки (волки), на последней - одна черная (овца). За один ход любая шашка может пойти на соседнее по диагонали черное поле, но волкам отступать запрещено. Овца стремится достичь первой горизонтали, волки же намерены поймать овцу, то есть запереть ее, чтобы у шашки не было ни одного хода. Доказано, что при точных действиях успеха добиваются волки - побеждают белые.