146. Пешка и конь

Поставим на шахматную доску одну пешку. Может ли конь, помещенный на одну из свободных клеток, обойти все остальные клетки и вернуться на исходную, побывав на каждом поле только один раз?

Решение. Для того чтобы конь обошел все свободные 63 клетки, он должен сделать 63 хода. Заметим, что при каждом ходе конь меняет цвет поля, на котором он находился. Так что после хода с номером 63 он будет находиться на поле, цвет которого отличен от цвета исходного поля. Но по условию после этого хода конь должен вернуться на исходную клетку. Полученное противоречие доказывает, что конь не может совершить требуемое путешествие.

Точно так же можно рассуждать, если на доске стоит любое нечетное число фигур.