134. Наибольшее число

Допустим, что играют в домино четверо. Каждый играет "за себя", т. е. на каждого игрока ведется отдельный счет выигранных очков. Перед началом игры каждый игрок имеет по семи косточек. При этом могут получаться такие интересные расположения косточек, при которых первый игрок обязательно выигрывает, в то время как второй и третий игроки не смогут положить ни одной косточки. Пусть, например, у первого игрока будут четыре первых .нуля и три последних единицы, т. е. такие косточки:

а у четвертого игрока пусть будут остальные единицы и нули, т. е. косточки

и еще какая-либо косточка. Остальные косточки домино поделены между вторым и третьим игроками. В таком случае первый игрок выигрывает после того, как будут положены все 13 указанных выше косточек домино, а второй и третий игроки не смогут поставить ни одной из своих.

В самом деле, первый игрок начинает игру и ставит (0,0). Второй и третий досадуют, ибо у них нет подходящей косточки. Тогда четвертый игрок может положить любую из трех косточек (0,4), (0,5) или (0,6). Но первый приложит в ответ (4,1), (5,1) или (6,1). Второй и третий опять не смогут ничего положить, а четвертый поставит (1,1), или (1,2), или (1,3), на что первый может ответить (1,0), (2,0), (3,0) и т. д. Таким образом, он положит все свои косточки, , в то время как у второго и третьего игроков останутся все их косточки, а у четвертого - одна. Сколько же выигрывает первый? Сумма очков в положенных 13 косточках равна, как легко видеть, 48, а число очков всей игры есть 168. Значит, первый, игрок выигрывает 168 - 48= 120 очков в одну игру. Это наибольшее возможное число.

Можно составить и другие партии, подобные предыдущей. Для этого стоит только нули и единицы заменить соответственно косточками с иным количеством очков: 2, 3, 4, 5 или 6. Число подобных партий, следовательно, равно числу всех простых сочетаний из семи элементов по 2, т.е. равно 21. Ясно, что вероятность получить такую партию случайно весьма мала. Кроме того, все остальные партии, за исключением приведенной выше, дадут меньшее, чем 120, число выигранных очков.