97. Искусная починка

Рис. 109

На дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т. е. площадь пробоины оказалась равной 13 см*5 см = 65 см². Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата в 8 см (т. е. площадь квадрата равнялась 64 см²), разрезал ее прямыми линиями на четыре части А, В, С, D так, как это показано на рис. 109, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине (рис. 110). Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло таким образом, что плотник сумел квадрат в 64 см² обратить в прямоугольник с площадью 65 см². Как это могло случиться?

Рис. 110

Решение. Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники А и В равны между собой. Также равны и трапеции С, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника А с трапецией С и треугольника В с трапецией D. В чем же секрет? Его легко обнаружить, если посмотреть на рис. 111. Дело в том, что точки G, Н, Е не лежат на одной прямой, tg ∠ EHK= =⁸/₃, a tg ∠ HGJ= ⁵/₂. Так как ⁸/₃ - ⁵/₂ = ¹/₆ > 0, то ∠ EHK > ∠ HGJ. Линия GHE является не прямой, а ломаной линией. Точно так же линия EFG - ломаная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см², но в нем имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см². Наибольшая ширина щели равна, как легко видеть, 5 - 3 - ^5*3/₈ = ¹/₈ сантиметра. Таким образом, хитрому плотнику все равно пришлось при починке замазывать небольшую щель.

Рис. 111

Из тех же частей А, В, С, D можно сложить еще одну фигуру (рис. 112).

Рис. 112

Многоугольник KLGMNOFP может быть разложен на два прямоугольника размером 5*6 см² и маленький прямоугольник размером 3*1 см². Следовательно, его площадь равна 2*30 см² + 3 см² = 63 см². Но, с другой стороны, он состоит из частей А, В, С, Д суммарная площадь которых, как мы знаем, равна 64 см². Разгадка этого софизма опять заключена в том, что точки Е, F, G, Н не лежат на прямой линии. Подробное рассмотрейие этого случая мы оставляем читателю.