77. Квадрат

Из прямоугольника сгибанием получить квадрат

Решение. Взяв прямоугольный кусок бумаги А'D'СВ, складываем его наискось так, чтобы одна ия Коротких сторон, например СВ, легла на длинную BА', как это показано на рис. 65.

Рис. 65

Угол В поместится на краю ВА' в точке А, конец перегиба по краю CD' получится в точке D Сдел1м затем перегиб через точки Л и D, отогнув по прямой AD часть A'D'DA, которая выдается. Развернув после этого лист, найдем фигуру ABCD, которая и есть квадрат. В нем все четыре угла прямые и все стороны равны.

Линия сгиба, проходящая через два противоположных угла В и D, есть диагональ этого квадрата. Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных углов, как это видно на рис. 66. Непосредственным наложением убеждаемся, что диагонали квадрата пересекаются друг с другом под прямыми углами и что в точке пересечения они взаимно делятся пополам. Эта точка пересечения диагоналей квадрата называется центром квадрата.

Рис. 66

Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника, вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет, очевидно, по две равные стороны, т. е. эти треугольники равнобедренные. Кроме того, эти треугольники и прямоугольные, так как каждый из них имеет по прямому углу.

Две диагонали, как легко видеть, разделяют квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных и равнобедренных треугольника, общая вершина которых находится в центре квадрата.

Рис. 67

Перегнем теперь наш бумажный квадрат пополам так, чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей. Получаем сгиб, проходящий через центр квадрата (рис. 67). Линия этого сгиба обладает, как легко убедиться, следующими свойствами: 1) она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата, 2) делит эти стороны пополам, 3) параллельна двум первым сторонам квадрата, 4) сама делится в центре квадрата пополам, 5) делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника, 6) каждый из этих прямоугольников равновелик (т. е. равен по площади) одному из треугольников, на которые квадрат делится диагональю. Перегнем квадрат еще раз так, чтобы совпадали две другие строны. Полученный сгиб и сделанный раньше делят квадрат на 4 совпадающих при наложении квадрата (рис. 67).

Рис. 68

Перегнем эти 4 меньших квадрата через их углы, лежащие посередине сторон большего квадрата (по диагоналям), и получим квадрат (рис. 68), вписанный в наш начальный квадрат. Этот вписанный квадрат, как легко убедиться, имеет площадь, равную половине площади большого квадрата и имеет тот же центр. Соединяя середины сторон этого внутреннего, вписанного, квадрата, получим квадрат, площадь которого равна ¹/₄ площади первоначального (рис. 69). Если в этот последний квадрат по предыдущему опять впишем квадрат, то его площадь будет равна ¹/₈ площади первоначального. В этот, в свою очередь, можем вписать квадрат, площадь которого равна ¹/₁₆ площади первоначального, и т. д.

Рис. 69

Если перегнуть наш квадрат как угодно, но так, чтобы сгиб проходил через центр, то квадрат разделится на две совпадающие при наложении трапеции.