Предисловие

Издательство "Знание" решило выпустить книгу, в которой бы рассказывалось о месте математики в современной системе наук, эволюции ее роли в активной человеческой деятельности. По замыслу издателей, в книге должно быть объединено рассуждение по поводу общих гносеологических проблем с обсуждением конкретных проблем, в которых математика получила право голоса совсем недавно.

Эта инициатива издательства не только своевременна. Она необходима. Подобные книги всегда приковывали к себе внимание читателей. Математика проникает во все новые области человеческого знания, становится необходимым средством в различных областях человеческой практики. Она становится стандартным, обычным рядовым инструментом, которым пользуются тысячи и тысячи людей. Элементарные знания о математике, понимание ее возможностей становятся таким же необходимым элементом общей культуры, как знание собственной истории и литературы, элементарные представления о физике и т. д.

Математика постепенно перестает образовывать узкую корпорацию людей, связанных друг с другом таинствами, в которые, кроме них, никто не допущен. Математик превращается в массовую специальность, как врач, инженер или учитель.

Эволюционирует и сама математика. В ней возникают новые задачи и новые направления. Еще более важно, что в ней самой начинает происходить переоценка ценностей, смещение целей и идеалов.

Но все это часто скрыто не только от зрителя, но и от непосредственных участников событий. Многие еще живут теми представлениями, которые сформировались в начале века, ибо человеческие традиции, привычки и взгляды всегда имеют большую инерцию. Конечно, новое должно найти опору, получить широкое распространение и начать влиять на нашу деятельность. Общественное признание оказывается всегда важнее любых деклараций. Вот почему для ускорения процессов, внедрения математики, более эффективного использования ее возможностей необходимы апелляция к широким кругам интеллигенции, ее более полная информированность о происходящем. Узкопрофессиональный диалог также нужен, но без широкого взгляда на проблему, без участия общественного мнения очень трудно раздвинуть рамки традиционных представлений.

Поэтому инициатива издательства встретила широкий интерес потенциальных авторов, и только планируемые размеры сборника ограничили количество интересных публикаций.

Сборник открывается статьей академика А. А. Дородницына. Она носит гносеологический характер и посвящена связи "описательных" и "точных" наук. В статье говорится, главным образом, о естественных науках, но сама по себе проблема значительно шире, и то, о чем говорит автор, касается в значительной степени и гуманитарных наук. Автор подчеркивает, что любая естественная наука, а я бы добавил и вообще любая научная дисциплина, неизбежно, в процессе своей эволюции, становится все более и более "точной" в том смысле, какой этому слову придает автор. По мере развития наших знаний роль численных оценок, математических методов анализа, строгих языков описания непрерывно растет. Степень использования математики является своеобразным мерилом зрелости дисциплины.

То, что знания нужны человеку для его повседневной практики, для того, чтобы продолжать существование рода своего, для сохранения своего гомеостазиса, наверное, не требует объяснения. Конечно, эта связь "знаний" и "дела" не так проста. Многое опосредовано. У человека существует внутренняя потребность к знаниям и т. д. Кажется, что потребности "знать" и "уметь" - это нечто совсем разное. Говоря о земных делах, Гете, например, писал: "Zu etwas höheren sind wir geboren... " - для чего-то высшего мы рождены. Но эти высшие цели, если их посмотреть под микроскопом, имеют всегда вполне земное происхождение.

Все это относится и к математике.

Дорогой читатель, не думайте, что так говоря о математике, лишая ее ореола духовной исключительности, я унижаю ее. Наоборот. Я укрепляю ее пъедестал, на который она вознесена Жизнью, человеческой Жизнью, которая сегодня уже не может развиваться без математики. Читатель, несомненно, убедится в этом, прочитав книгу.

Любое человеческое знание начинается с накопления фактов, с помощью наблюдения или направленного эксперимента. Но не превращенная в систему, река новых знаний не утолит жажду. Пока хаос новых фактов не струк-туризован, пока человек не может окинуть взглядом явления в целом, он не может эти знания использовать для практики. Поэтому второй этап - это этап переработки информации, представление ее в такой форме, которая уже может быть "переварена" человеком.

Ну а третий этап - это возвращение к практике, использование знаний для тех целей, ради которых они были созданы.

Эта диалектическая цепочка вполне универсальна, и ни один этап не может быть исключен. Математика занимает в ней вполне определенное и очень важное место.

С развитием наук непрерывно растет роль второго этапа. Этот этап - превращение хаотического нагромождения фактов в стройную конструкцию. Это агрегирование и обобщение информации, создание абстрактных теорий, дающих рецептуру человеческим действиям. Математика является одним из инструментов второго этапа. С ее помощью упорядочиваются факты, строятся абстрактные теории и т. д.

О содержании и значении математики имеет хождение много ложных представлений. Прежде всего математика - это не только инструмент количественных оценок. В ней не меньше чем в других науках (а я думаю, что и значительно больше!) средств для качественного анализа. Последние 100-150 лет прошли под знаком развития прежде всего качественных методов. Асимптотические теории, качественная теория дифференциальных уравнений, комбинаторная топология, функциональный анализ, теория множеств и многие другие дисциплины - это прежде всего качественные теории.

В математике всегда присутствует и неформальный интуитивный элемент. Представления об "исключительности" математики, ее непогрешимости постепенно становятся архаизмом. После того, как в математике вскрылось много логических противоречий (например, в теории множеств), и особенно после того, как стала очевидной невозможность строгого обоснования арифметики, начало возникать понимание того, что математика не столь уж отличается от других естественных наук, как это было принято думать раньше. Но математика - это все-таки математика. За тысячи лет своего существования она создала удивительную культуру мышления и язык абстракций, дающий возможность унифицировать описание разнообразных по своей природе процессов. Потому-то и говорят, что уровень развития научных дисциплин характеризуется, в частности, способностью дисциплины поставить себе на службу математические методы анализа, т.е. приобщиться к той системе универсальных методов исследования, которая и представляет собой математику.

Но как ни совершенна математика - эта мать всех наук, непосредственно она выполняет всего лишь одну функцию - обработку информации, представление ее в таком виде, который позволяет человеку принять решение.

Современный этап развития вычислительной техники открыл для математики, для способов обработки информации новое поле деятельности, сделал их гораздо более эффективными. Вот почему возможности использования математики принципиально качественно расширились. Благодаря этому многие научные дисциплины легко перешли из младенческого возраста в возраст зрелости, если по-прежнему мы будем считать возможность использования математики мерилом уровня развития дисциплины. Это относится прежде всего к экономике. Очень важно, что открылись новые возможности для междисциплинарных исследований.

Все это изменило не только роль и место математики в жизни человеческого общества, но и представление о содержании математики.

Отсюда новые требования к обучению, к формированию научных и инженерных кадров. Эти вопросы обсуждаются в статье покойного члена-корреспондента Академии наук СССР А. А. Ляпунова.

В этой статье много спорного, и она, вероятно, вызовет многочисленные дискуссии. Я согласен далеко не со всеми утверждениями автора. Но я не хочу сейчас пускаться в подробное обсуждение. Алексей Андреевич Ляпунов был видным представителем отечественной школы прикладной математики. С его именем связано возникновение и развитие ряда прикладных направлений - математической лингвистики, биогеоценологии и др. И я думаю, что читателю интересно ознакомиться с рядом его идей, тем более что его многолетний опыт работы со школьниками, организации олимпиад, специальных летних школ сыграли большую роль в совершенствовании системы математического воспитания,

Следующая статья, написанная Г. Р. Иваницким и А. С. Куниским, носит загадочное название: "В поисках третьего измерения". Однако, как убедится читатель, загадочного в ней не так-то много. В ней идет речь о стерео-логии - сравнительно новой дисциплине, которая занимается восстановлением пространственной структуры объекта по его плоскостным изображениям. Этот новый способ обработки информации представляется очень актуальным. Авторы с большим мастерством демонстрируют содержание проблем на самом различном материале. Это и теория перспективы и расшифровка снимков, сделанных электронным микроскопом, и, наконец, голография. Написан-ная с большим мастерством, не перегруженная математическими подробностями, эта статья будет интересна весьма широкому кругу читателей.

Статья профессора Ю. М. Свирежева дает довольно широкий обзор его взглядов на характер проблем, возникающих при описании процессов, происходящих в биоте. Будучи по своей профессии математиком, точнее, "машинным математиком", Ю. М. Свирежев сложился как биолог в результате многолетней совместной работы с одним из крупнейших представителей советской школы естествоиспытателей II. В. Тимофеевым-Ресовским.

Роль этой школы трудно переоценить. И именно сейчас, когда интерес к системным исследованиям становится все более острым и их практическая необходимость становится постепенно все более очевидной, мы начинаем понимать, что школа Вернадского - Сукачева - Тимофеева-Ресовского собственно и заложила основы системного анализа биосферы. Будучи, прежде всего, естествоиспытателями, очень далекими от математики, представители этой школы сформулировали целый ряд принципов и воззрений, без которых современная наука вряд ли могла бы даже ставить задачу системного исследования процессов, происходящих в биосфере.

Одним из таких центральных понятий является понятие биогеоценоза, как ячейки биосферы, связи внутри которого значительно сильнее любых внешних связей. Эта концепция позволяет расчленить биосферу на отдельные элементы, проводить ее, если угодно, атомистическое рассмотрение.

Далее, очень важно возникшее в этой школе представление о роли различия характерных временных масштабов функционирования отдельных популяций, составляющий единый биогеоценоз. Обо всем этом и говорится в статье Ю. М. Свирежева.

Основное внимание автор концентрирует на проблемах устойчивости. Я тоже думаю, что центральная проблема всех популяционных теорий - это проблема стабильности. В конечном счете стремление к стабильности, к сохранению и упрочиванию гомеостазиса - пружина всей жизнедеятельности живых существ, пружина, которая завела механизм эволюции. Может быть, даже и больше - конечная "цель", если здесь имеет смысл говорить о цели функционирования Жизни.

Тридцать лет назад известный физик Шредингер написал интересную книгу "Что такое жизнь с точки зрения физика". Там говорится, в частности, и о том, что в природе реализуются как правило, те процессы, которые наиболее экономичны, наиболее эффективны с точки зрения энергозатрат. При малых числах Рейнольдса реализуется течение Пуазейля не потому, что турбулентное течение невозможно, а потому, что оно более экономно. Оно требует меньших энергетических затрат для того, чтобы обеспечить заданный расход жидкости, нежели турбулентное. Точно так же и процессы жизнедеятельности обладают удивительной экономичностью. Такой взгляд логичен и позволяет, наверное, правильно оценить целый ряд особенностей процессов, протекающих в живом мире.

Но может быть и другой, кибернетический взгляд на эту проблему. Предположим, что возникли когда-то процессы, обладающие зачатками обратных связей, обратных связей, которые стабилизируют их течение. Не мог ли этот факт оказаться тем спусковым крючком, нажатием на который Его Величество Случай запустил великую машину эволюцию, которая в конечном счете привела к появлению авторов этого сборника!

Конечно, это еще далеко не гипотезы, а мысли вслух. Но независимо от них проблема устойчивости является одной из центральных проблем современной биогеоценологии.

И поэтому вполне уместно, что ей посвящается столько внимания.

К сожалению, формализация термина "устойчивость" очень трудна. Очевидно, что понятие устойчивости, по Ляпунову, не есть адекватное понятие. Любая жизнь на Земле неустойчива в смысле Ляпунова. Значит, речь может идти только о стабильности, об оценке характерных масштабов стабильности - представления очень нечеткие и плохо согласуемые с использованием математических методов исследования.

В статье описаны многочисленные попытки преодоления этой трудности, введение различных мер стабильности, носящих характер энтропии. Автор объясняет, почему эти меры не могут дать адекватного описания и почему в то же время они в какой-то степени характеризуют явление стабильности.

Далее автор развивает глубокую и интересную мысль об "иерархической" устойчивости биоты. Каждый этаж иерархической организации биоты сам по себе неустойчив, и через некоторое время τ незначительные исходные возмущения способны качественно перестроить процесс, например привести к эллиминации некоторых популяций в сообществах.

Следующий уровень оказывает стабилизирующее влияние на нижний уровень. Последнее означает следующее. Если мы рассмотрим теперь систему, включающую оба уровня, то она снова будет неустойчива, но характерное время потери устойчивости τ₁ будет значительно большим τ.

В статье кандидата физико-математических наук А. Н. Ворощука обсуждается одна из труднейших проблем моделирования процессов, происходящих в человеческом обществе - проблема демографических моделей. Главное место по объему в статье занимает перечисление трудностей создания формализованного описания. Автор много и убедительно рассказывает о недостатках существующих демографических моделей, о бесперспективности прямой статистической обработки, которая может дать только ретроспективную оценку процесса, ее зависимость от параметров, которые, может быть, были существенны в предшествующие годы. Поскольку любые демографические характеристики обладают определенной инерционностью, то для нужд краткосрочного планирования статистическая экстраполяция может, конечно, служить источником необходимых оценок трудовых ресурсов. Но долгосрочные оценки делать с помощью чисто статистических методов практически бессмысленно. Это особенно важно иметь в виду при обсуждении глобальных моделей.

В своей статье А. Н. Ворощук довольно подробно говорит о принципиальной трудности проверки гипотез. Любые эксперименты с демографическим процессом крайне опасны, а результаты их ненадежны!

У читателя сначала создается впечатление полной безнадежности использования формализованных языков и в построении моделей демографических процессов, практической невозможности управления ими. А без достаточного уровня понимания нашей способности воздействовать на динамику народонаселения все долгосрочные прогнозы, мировые модели, международные программы и т. д. и т. п. останутся практически необоснованными.

Так где же выход?

Мне кажется, что самое интересное в работе А.Н. Ворощука это то, что он впервые обратил внимание на то, что оставаясь в рамках традиционной демографии решить эти проблемы нельзя! Создать надежно работающие модели, которые можно использовать для долгосрочных оценок, не удастся. Автор декларирует необходимость системного подхода при анализе процессов воспроизводства человека и трудовых ресурсов. Что это значит?

Конечно, человек является продуктом своей среды, продуктом общества, и поэтому демография необходимо должна быть общественной наукой. Но процесс антропогенеза в условиях стада шел, по-видимому, около 10 млн. лет, а процесс общественного развития составляет лишь тысячную долю этого периода. Поэтому, рассматривая человека только как члена общества, игнорируя те устойчивые биологические характеристики, которые приобрела человеческая популяция за те десять миллионов лет, в течение которых она существовала в форме стада, вряд ли можно построить удовлетворительную модель процесса воспроизводства человека.

По мнению автора, с которым я полностью согласен, только создание широкой системной концепции, рассматривающей человека не только как члена общественного коллектива, но и как продукт биологической эволюции, имеет шанс дать практически важные результаты. Таким образом, в статье поставлен вопрос о необходимости коренного расширения демографии как научной дисциплины. И автор показывает это достаточно убедительно.

Более того, он делает попытку найти способ объединения демографии как науки социально-экономической с теми общими популяциоиными концепциями, которые возникли к настоящему времени. Этот мост между дисциплинами он старается перебросить с помощью включения в демографический процесс жизнь человека в стадии эмбрионального развития. Действительно, в своем развитии эмбрион повторяет ряд стадий эволюции человека как живого вида и не зависит от социальных особенностей среды, к которой принадлежат его родители.

Оказывается, что уже даже такой подход позволяет получить целый ряд интересных результатов. В частности, схема автора объясняет (во всяком случае качественно) зависимость рождаемости от средней продолжительности жизни.

Будущее покажет, насколько все эти взгляды могут оказаться полезными при решении конкретных вопросов долгосрочного планирования. Но я думаю, что А. Н. Ворощуком сказано интересное и важное слово!

Последняя статья этого сборника написана автором предисловия. Конечно, очень трудно комментировать собственную статью. Но имея в виду интересы читателя, я все же скажу о ней несколько слов.

Статья посвящена проблеме, которая постепенно превращается в одну из важнейших проблем, стоящих перед человечеством - проблеме взаимодействия человека и окружающей среды. Но почему такую статью может и должен писать математик, и какое место математики в этой проблеме? Может ли математик сказать здесь что-нибудь новое? Ведь кажется, что проблема взаимоотношения человека и окружащей среды касается прежде всего биолога, географа, экономиста, климатолога. Я бы еще добавил - и гигиениста, и специалиста по проектированию городов, и геолога, и инженера, занимающегося воднохозяйственными проблемами, политика и т. д. и т. п.

Вот в этом все и дело. Это проблема междисциплинарная и самостоятельно решить эту проблему биологам, экономистам или представителям других профессий без помощи машинного математика очень трудно. Проблема требует их совместной работы. Их работа должна быть объединена не только единством цели, но и единством методологии и даже единством языка - биолог должен понимать инженера-экономиста и т. д. Необходимо совокупность исследований и усилий превратить в систему. Поэтому подобные междисциплинарные исследования нуждаются в математиках и привлекают их внимание нестандартностью постановок задач, необходимостью сочетания строгой математической мысли с разнообразным конкретным материалом.

Может быть, я и несколько преувеличиваю, но эта роль математика, как архитектора систем междисциплинарных исследований, действительно демонстрирует величие математики. И мне кажется, что именно теперь, когда междисциплинарные исследования начинают играть ключевую роль в развитии человеческой цивилизации, когда и проблема использования термоядерной энергии, и теория элементарных частиц, и современные проблемы биологии, экономики, государственного устройства и т. д. требуют объединения усилий исследователей самых различных специальностей, начинается новый период развития математики, ее места в жизни человечества.

В статье доктора физико-математических наук Л. А. Рвачева рассказывается о математическом моделировании эпидемических процессов.

Ну а что касается моей статьи... Дорогой читатель! В ней, рассказывая о работах Форрестера, Медоуза и других авторов глобальных моделей, я сделал попытку объяснить свою точку зрения на этот вопрос. И главный вывод: решение такой проблемы чересчур важно для человека, чтобы можно было обойтись кавалерийским наскоком, может быть, блестящим, но поверхностным анализом. Проблема оценок альтернативных вариантов развития человечества на Земле требует целеустремленных усилий больших коллективов талантливых и образованных специалистов, а не случайных любителей, стремящихся к тому же сделать карьеру и выпустить очередной бестселлер. Нужна настоящая научная школа, а Римский клуб и другие организации на Западе ее пока не создали.

Моя статья написана на базе целого ряда моих выступлений и публикаций. Однако в ней содержится и ряд новых идей и суждений. Некоторые ранее высказанные соображения подверглись определенным изменениям.

Предлагая этот сборник вниманию читающей публики, авторский коллектив надеется на ее реакцию. Сейчас идет глубокий процесс пересмотра традиционных взглядов и их формирование по важнейшим проблемам науки. Обратная связь с читателями может помочь развитию этого процесса.

Н. Н. Моисеев, член-корреспондент АН СССР