Тетрадь восьмая

- Раз, два, три, четыре, пять! Я иду искать! - громко прокричал Петя. Он просунул голову в дверь и оглядел комнату. Оли не было видно. Комната, где играли дети, в этот день имела необычный вид. Казалось, ее специально готовили для того, чтобы в ней было удобно прятаться: мебель была сдвинута с привычных мест, на полу повсюду громоздились горы всяких вещей: книг, игрушек.

Петя на цыпочках подошел к креслу и заглянул за него - Оли там не оказалось. Он приоткрыл дверцу опустевшего шкафа для одежды - и здесь Оли не было. Тут Петя вдруг заметил, что из-за груды книг торчит кончик платья. Он тихонечко подкрался к книгам и заглянул за них. Там на корточках сидела Оля, закрыв лицо руками.

- Вот ты где! - закричал Петя.- Нашел!

Оля от неожиданности вздрогнула и вскочила на ноги. При этом она нечаянно толкнула груду книг, за которой пряталась. Книги стали падать на Петю. Он отскочил в сторону и налетел на папу, который как раз в этот момент вошел в комнату, неся в руках большую стопку книг. Папа пошатнулся, и книги из стопки посыпались на Петю.

Оля немножко испугалась и хотела заплакать. Петя тоже растерялся и не знал, что делать.

- Натворили же мы дел! - произнес папа и засмеялся. Дети тоже засмеялись.

- Вот что, друзья,- сказал папа.- Игру в прятки временно придется прекратить. Перед нами стоит задача: до маминого прихода нужно успеть сделать хотя бы одно - расставить книги в новом книжном шкафу.

- Задача? - удивленно переспросил Петя. - Математическая, что ли?

- И математическая тоже. В любой задаче, если подумать, можно увидеть математику. Ведь мы не должны брать с пола книги все подряд без разбора и засовывать их в шкаф как попало. Нужно расставить книжки так, чтобы ими было удобно пользоваться: для каждой полки выбрать книжки по определенному признаку.

Петя спросил:

- Как это, по признаку? Что это такое?

Папа стал объяснять:

- Предметы отличаются друг от друга по разным признакам: по размеру, по цвету, по форме. И часто приходится из множества каких-нибудь предметов выделять предметы по определенному признаку. Между прочим, и тебе не раз приходилось это делать во время наших занятий.

- Разве? - удивился Петя.

- Вспомни-ка, ты искал предметы, имеющие форму круга. Выбирал из четырехугольников прямоугольники, а из них квадраты. Помнишь?

- Помню, - ответил Петя. Папа сказал:

- Вот и сейчас из множества наших книг выбирай книги по какому-нибудь признаку и ставь их на полки.

- Я тоже хочу выбирать книги!

- Конечно, Оленька, - одобрил папа. - И ты тоже выбирай книжки.

Папа вышел в другую комнату за книгами, которые там еще оставались. А дети начали вытаскивать из груды нужные им книжки и ставить их в шкаф. Через несколько минут папа вернулся с новой стопкой книг. Петина полка была уже наполовину заполнена. Книги ровно стояли на ней, и все они были одного и того же размера. А Оля успела поставить на свою полку только три книжки. Все они были одного цвета - красного.

- Ну что ж, неплохо! Я вижу, по какому признаку выбирал книжки каждый из вас. Но давайте подумаем: удобно ли будет пользоваться так расставленными книжками?

Папа продолжал:

- По-моему, книжки на твоей полке, Петя, расставлены не очень удобно. Каких только книг тут нет! Сказки для детей, рассказы для взрослых, книги, нужные мне для работы, словари - все вперемешку! При таком беспорядке нужную книжку быстро не найдешь! Так что размер не очень подходящий здесь признак. Подумай-ка еще, как лучше расставить книги.

Петя предложил:

- Давай ставить книги так. На одну полку - только детские, на другую - для твоей работы. И так по всем полкам расставим - на каждую что-нибудь свое. Тогда легко будет искать книжки.

- Вот это - другое дело! - воскликнул папа. - Теперь ты предложил подходящий признак. И множество книг с твоей полки придется распределить по нескольким полкам.

- А мое множество красных книжек тоже придется распределить? - спросила Оля.

- Сказала тоже: множество! - захихикал Петя. - Какое же это множество?! Ведь на твоей полке всего три книжки!

- Ну и что? У тебя множество, а у меня почему-то не множество?! У меня тоже множество! Вот так!

Папа улыбнулся:

- Смотрите-ка, как энергично Оля спорит! И знаешь, Петя, она права. В математике слово "множество" употребляют не только тогда, когда предметов много. Всякий раз, когда по какому-нибудь признаку выбраны предметы (в любом количестве!), говорят, что это множество. Сейчас я вам разные примеры приведу.

Множество самолетов на аэродроме (неважно, много там самолетов или мало).

Множество птиц в небе или на земле; обычно такое множество называют стаей.

Множество листьев на дереве.

Множество музыкантов, играющих на сцене или на улице.

- Это называется оркестр! - воскликнул Петя.

- Да, - согласился папа, - множество музыкантов часто называют оркестром. А теперь сами приведите примеры каких-нибудь множеств.

- Множество деревьев в лесу. Множество моих солдатиков.

- Множество моих кукол, - сказала Оля.

- Хорошие примеры, - похвалил папа. - Но вернемся к книгам. Теперь ты, Петя, понимаешь, что книги на Оли-ной полке - это тоже множество? Множество из трех книг.

Петя снял с Олиной полки одну книгу и спросил:

- А теперь на полке тоже множество?

- Да, множество из двух книг. Петя снял с полки еще одну книгу:

- И теперь множество?

- Конечно. Множество из одной книги.

Петя снял с полки последнюю книгу и торжествующе взглянул на папу:

- Скажешь и теперь на полке множество книг?! Она же пустая!

- Представь себе, и теперь множество! Так говорят: пустое множество.

- Ха-ха-ха! - рассмеялся Петя. - Вот так множество! Пустое! Интересно...

И с хитрым видом он обратился к Оле:

- Знаешь, Оля,что вчера было? Выхожу я во двор и вижу: множество медведей! Представляешь?

- Не обманывай! У нас во дворе медведей не бывает, - возразила Оля. - Медведи в зоопарке.

- А я не обманываю! Это было пустое множество медведей. Пу-сто-е! Значит, не было ни одного медведя. Папа же объяснил.

- Молодец! - сказал папа. - Ты хоть и выдумщик, но что такое пустое множество, понял правильно.

Папа и дети дружно принялись за работу, и вскоре книги в новом шкафу были расставлены красиво, аккуратно и удобно.

- Ну, книги мы в порядок привели,- с удовольствием произнес папа.- Неплохо бы еще успеть навести порядок в ваших игрушках. Согласны?

- Согласны! - в один голос ответили Петя и Оля, а Петя продолжил:

- Игрушки мы тоже будем раскладывать по какому-нибудь признаку?

- Конечно. Все разложим по местам: отдельно - кубики, отдельно - Олины куклы, отдельно - твои машины...

Когда игрушки были разложены, папа предложил навести окончательный порядок в комнате. Для этого оставалось сделать совсем немного. Все вместе они быстро уложили одежду в шкаф, расстелили ковер, расставили кресла и стулья.

- Вот у нас и снова стало красиво! - сказала Оля.

- Да, - с удовлетворением подтвердил папа.- Мама наверняка нас похвалит за такую работу.

- А пока мама не пришла, давай еще математикой позанимаемся,- попросил Петя.- Мне понравилось всякие множества раскладывать. Порасклады-ваем еще!

Папа сказал:

- Хорошее предложение! Очень важно научиться действовать с множествами. Возьмем какое-нибудь множество и будем раскладывать его на части по разным признакам. Не забывай при этом, что всякая часть множества - это тоже какое-то множество.

- А какое множество мы будем раскладывать? - спросил Петя.

- Ну, множество для этого найти совсем легко. Например, множество твоих машин. Давай-ка их сюда. Кстати, сколько их всего у тебя? Сосчитай!

Петя сосчитал:

- Восемь.

- Это множество можно раскладывать на части по-разному. Вот один признак: для чего предназначена машина - для перевозки людей или грузов.

- Я понял! - обрадовался Петя.

- Получается две части: легковые машины и грузовые.

- Верно. В этом случае множество машин распадается на две части. Сколько машин в каждой из них?

- Легковых - три, грузовых - пять,- ответил Петя.

- Правильно,- сказал папа. - А вот другой признак, по которому можно раскладывать на части это же множество машин: цвет. Скажи-ка нам, Оленька, какого цвета машины у Пети?

Оля внимательно осмотрела машины.

- Красная,- медленно произнесла она.- Опять красная... - И после небольшой паузы добавила:- А еще желтые и синие.

- Молодец,- похвалил папа Олю и обратился к Пете:

- Значит, на сколько частей распадается наше множество в этом случае?

- На три части, - бойко ответил Петя.- Красные, желтые и синие машины.

Петя продолжал:

- Красных машин две, желтых - три, синих - тоже три.

- Все верно,- сказал папа.- А теперь я усложняю задачу. Будем раскладывать множество машин на части по различным комбинациям наших двух признаков. То есть будем выделять машины одного цвета и предназначения. Я начинаю: красные легковые машины. Выбери их, Петя, и поставь отдельно. Так. Теперь красные грузовые машины. Выбери их.

- Но красных грузовых машин нет!

- Правильно. Значит, для этой комбинации получается пустое множество машин. Идем дальше. Желтые легковые машины. Продолжай сам.

Петя с азартом стал выбирать нужные машины и ставить их отдельно. Оля помогала ему. Вот что у них получилось.

- Вы хорошо справились с задачей! - сказал папа детям.- На сколь-ко же частей распадается здесь множество машин?

- На четыре части,- ответил Петя и показал на четыре отдельно стоящие группы машин.

- Не совсем правильно. Ты подсчитал только те части, которые оказались не пустыми, и, значит, учел не все возможные комбинации. А этих комбинаций шесть: красные легковые, красные грузовые, желтые легковые, желтые грузовые, синие легковые, синие грузовые. Так что и частей получается шесть. Правда, две из них оказались пустыми множествами: красных грузовых и синих легковых машин у тебя нет.

- А зачем учитывать те части, которые пустые?

- Ты задал интересный вопрос,- одобрительно улыбнулся папа.- Ко-нечно, если заранее знаешь, что какое-то множество пустое, то его учитывать незачем. Но ведь часто бывает так, что заранее нельзя сказать, окажется ли среди выделенных частей пустое множество. Вот тебе пример. На школьном стадионе находится множество спортсменов. Выделим в этом множестве три части: множество школьников, играющих в футбол, множество школьников, играющих в волейбол, и множество школьников, играющих в баскетбол. Вполне может оказаться, что сегодня баскетбольная площадка пуста. Но это вовсе не означает, что ее не нужно было строить: на ней могли играть вчера и будут играть завтра. А вот еще пример...

- Я сам придумал пример! - воскликнул Петя.- Сейчас мама принесет с базара множество всяких вкусных вещей. И я в нем заранее две части выделил: фрукты и овощи.

- А еще мама обещала ягоды купить,- сказала Оля.

- Очень хорошо,- похвалил папа.- Части выделены верно. Давайте-ка для каждой из них приготовим подходящую посуду. Фрукты положим в вазу, овощи - в миску, а ягоды - на блюдо.

Не успел папа договорить, как в квартиру вошла мама. Все поспешили ей навстречу. Папа взял из маминых рук большую сумку с покупками.

- Мама, а мы знаем, что в твоей сумке три вида вкусных вещей,- сказал Петя.

- Ив самом деле, в моей сумке три вида "вкусных вещей": фрукты, овощи и ягоды. Или, как вы теперь говорите, в множестве покупок можно выделить три части, для которых, я вижу, уже и подходящая посуда приготовлена. Давайте ее заполним.

Вскоре тщательно вымытые овощи, ягоды и фрукты были красиво разложены на столе.

- Чур, мне фрукты! - выпалил Петя.

- Чур, мне ягоды! - повторила за ним Оля.

- Нет, так не годится,- сказала мама.- Вы получите вкусные вещи из всех трех множеств. Между прочим, каждое из них можно еще разложить на части. Ведь у нас три вида овощей: огурцы, помидоры, редиска. Фруктов тоже несколько видов, назови их, Петя.

- Груши, персики и виноград. Всего три вида.

- Правильно. А ягод сколько видов? Какие? Пусть папа нам ответит,- шутливо продолжала мама.

Папа "важным" голосом сказал:

- Два вида: малина и садовая земляника.

- Молодец! - похвалила мама папу.- До двух хорошо считаешь. А сколько теперь всего получилось множеств? Можешь сосчитать?

Папа улыбнулся и развел руками:

- Нет уж, мне не сосчитать: это слишком сложная задача. В нашей семье с ней только Петя может справиться. Ведь он у нас "главный математик".

Петя понимал, что папа шутит, но ему было приятно, что его назвали математиком. Ему захотелось не только хорошо справиться с задачей, но и записать ее решение. Петя взял тетрадку и начал рассуждать вслух:

- Из фруктов у нас получилось три множества, из ягод - два множества, из овощей - три множества. Значит, всего множеств - три прибавить два, прибавить три. Запишем это.

А три плюс два, да еще плюс три, получится... восемь! Мама сказала:

- Правильно. А папа уже показал тебе, как пишется цифра восемь?

- Нет.

- Давай покажу.

Теперь сам пиши восьмерки в тетради.

Петя написал в тетради несколько восьмерок, а потом закончил запись решения задачи.

- Я хочу еще решить какую-нибудь задачу,- попросил он маму.

- Пожалуйста. Вот тебе такая задача. Сейчас мы будем обедать. За обедом каждый из нас четверых воспользуется двумя тарелками. Сколько тарелок придется мыть после обеда?

Петя снова стал рассуждать:

- У каждого из нас две тарелки: А сколько нас? Четыре человека. Значит, нужно два умножить на четыре. Получится восемь. Запишем это. Придется мыть восемь тарелок.

- Правильно. Теперь я буду накрывать на стол, а вы с Олей будете мне помогать. А после обеда мы все вместе пойдем в зоопарк.