2. Математика: прекрасное в науке [1992 Волошинов А.В.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Французский энциклопедический словарь Ларусс определяет прекрасное как то, что "радует глаз или разум". Просто и ясно. Не будем обсуждать достоинства еще одного определения красоты, а обратим внимание на вторую часть данного определения, на то, что красота радует разум. Да, кроме красоты, постигаемой чувствами, есть и другая красота, постигаемая разумом. Это особый вид красоты - красота науки.

Как ни удивительно, но и эту необыкновенную красоту, красоту разума, успели прочувствовать древние греки. В диалоге Платона "Пир" мы читаем о том, как "беременный духовно" (говоря современными штампами - "ученый-теоретик, разрабатывающий сложнейшую проблему") "ищет везде прекрасное, в котором он мог бы разрешиться от бремени". Платон взволнованно говорит о том, как происходит восхождение к высшей красоте - красоте разума, красоте познания. "Начав с отдельных проявлений прекрасного, надо все время, словно бы по ступенькам, подниматься ради самого прекрасного вверх - от одного прекрасного тела к двум, от двух - ко всем, а затем от прекрасных тел к прекрасным нравам, а от прекрасных нравов к прекрасным учениям, пока не поднимешься от этих учений к тому, которое и есть учение о самом прекрасном, и не познаешь наконец, что же это - прекрасное. И в созерцании прекрасного самого по себе.. . только и может жить человек..."

Слова Платона - вдохновенный гимн торжеству Разума, стремлению к прекрасному, которое неотделимо от научного творчества. Раздумья о красоте научного поиска, о величии человеческого духа никогда не переставали волновать мыслящих людей. И через два тысячелетия в унисон Платону звучат слова великого представителя нашего столетия М. Горького: "Наука - высший разум человечества, это солнце, которое человек создал из плоти и крови своей, создал и зажег перед Оою для того, чтобы осветить тьму своей тяжелой Пзни, чтобы найти из нее выход к свободе, справедливей, красоте".

Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе... Он увидит прежде всего, что прекрасное существует вечно, что оно не возникает, не уничтожается, не увеличивается, не убывает...

Математика: прекрасное в науке

В чем же заключается красота науки? И если таковая существует, то есть ли эстетика науки, изучающая законы этой необычной красоты? Как самостоятельной дисциплины науки эстетики нет. И сегодня категории эстетики применяются главным образом к искусству, реже - к технике (техническая эстетика) и как исключение - к науке. Мысли о красоте науки, как говорят, только витают в воздухе, иногда они оседают на бумаге в виде отдельных высказываний некоторых ученых, но философскому анализу эти мысли практически не подвергались. Почему? Видимо, и потому, что великие ученые, которым прежде всего и "дано" увидеть истинную красоту науки, лишь останавливаются на мгновение, завороженные ее красотой. Нечасто позволяют они себе такие остановки, еще реже - философские или поэтические размышления об их причинах. Ведь научный поиск - это беспрерывное восхождение к истине, постоянная работа разума на пределе сил и возможностей, работа, не терпящая расслабления и отдыха. Так альпинисты на восхождении к вершине лишь на мгновение останавливаются, пораженные красотой и величием гор. Останавливаются, молча вытирая со лба струи соленого пота, и вновь устремляются к вершине, не имея возможности на неспешное наслаждение красотой.

И тем не менее в богатой истории человеческой цивилизации находились люди, бравшие на себя смелость заняться анализом красоты науки. В их числе следует назвать Френсиса Хатчесона (1694-1747), шотландского философа эпохи Просвещения, автора "Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах". Для нас особый интерес представляет раздел "О красоте теорем" первого трактата Хатчесона "О красоте, порядке, гармонии, целесообразности", начинающийся словами: "Красота теорем, или доказательств правильности всеобщих истин, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку по природе своей она значительно отличается от ранее рассмотренных видов красоты; и, однако, нет такой другой, в которой мы могли бы увидеть такое поразительное разнообразие при единообразии..."

Внимательно читая раздел "О красоте теорем", можно выделить три признака красоты науки, установленых Хатчесоном: 1) красота есть единство в многообразии; 2) красота заключена во всеобщности научных истин; 3) научная красота - это обретение неочевидной истины.

Принцип единства в многообразии Хатчесон считает универсальным эстетическим принципом, равно применимым и к неживой, и к живой природе, и к эстетической оценке науки. Действительно, любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, н0 в то же время эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине, устанавливаемой теоремой. Например, теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества конкретных прямоугольных треугольников, но все это многообразие треугольников обладает единственным общим свойством, описываемым теоремой. Вероятно, каждый школьник испытывал чувство радости, чувство научной красоты, когда впервые обнаружил, что, например, переместительное свойство сложения, замеченное им на множестве конкретных арифметических примеров, есть не что иное, как единый универсальный закон алгебры: a+b = b+a, справедливый для любых чисел.

Перейдем ко второму признаку красоты - всеобщности научных истин. "У теорем,- читаем мы у Хатчесона,- есть еще одна красота, которую нельзя обойти и которая состоит в том, что одна теорема может содержать огромное множество следствий, которые легко из нее выводятся. .. Когда исследуют природу, подобной красотой обладает познание определенных великих принципов или всеобщих сил, из которых вытекают бесчисленные следствия. Таково тяготение в схеме сэра Исаака Ньютона... И мы наслаждаемся этим удовольствием, даже если у нас нет никаких перспектив на получение какой-либо иной выгоды от такого способа Дедукции, кроме непосредственного удовольствия от созерцания красоты". Как точно сказано! И как чутко предвидит Хатчесон в 1725 г. могущество закона тяготения Ньютона, который пока еще называется "схемой Ньютона": ведь прощло только 38 лет со дня его опубликования (1687) - срок не столь уж большой для осознания столь грандиозного открытия!

Математика: прекрасное в науке

Каждый может проиллюстрировать эту мысль Хатчесона своими примерами: в математике - это любая из теорем, например теорема Пифагора, в физике - закон тяготения или законы электромагнетизма, в химии - периодический закон Менделеева, в биологии - законы генетики, всеобщность которых мы постигаем на самих себе. Возвращаясь к теореме Пифагора, заметим, что существование около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) свидетельствует об огромном числе конкретных реализаций этой теоремы и ее следствий.

Наконец, третий признак - обретение неочевидной истины. Любой из нас согласится с тем, что постижение очевидной истины (ее символом стало утверждение, что дважды два - четыре) не доставляет ему эстетического наслаждения. В аксиомах мало красоты, утверждает Хатчесон, ибо их справедливость очевидна. Немного удовольствия доставляют нам и легкие теоремы, истинность которых видна "невооруженным глазом". Только открытие истин, спрятанных от нас наукой или природой, открытие, требующее поиска и серьезных усилий, доставляет нам в конце пути истинное наслаждение - познание неведомой истины. В этом и состоит радость и красота познания. Свою мысль Хатчесон подтверждает интересным примером. Ясно, что объем цилиндра больше объема вписанного в него шара, объем которого больше объема конуса, вписанного в цилиндр. Это очевидная истина, не приносящая нам никакого удовлетворения. Но когда мы установим, что объемы этих тел относятся как 3:2:1, т. е. когда мы обретем неочевидную истину, мы почувствуем, как прекрасна эта теорема и какое мы получаем удовольствие от ее первого открытия. Напомним, что первая часть этой теоремы, связывающая объемы цилиндра и вписанной в него сферы, была доказана Архимедом и почиталась им как лучшее из всех своих замечательных открытий.

В заключение Хатчесон делает важный вывод: красота науки неравнозначна научному знанию. Красота науки заключается не в собрании застывших законов, а в обретении новых знаний, в открытии новых истин, в обнаружении стройности и порядка там, где еще недавно царил хаос. Только беспрерывное движение вперед, а точнее вверх, к новым вершинам истины,- такова формула прекрасного в науке.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Ясно, что все три выведенных Хатчесоном эстетических принципа справедливы для любой науки, но получены они Хатчесоном для математики. И дело здесь не в том, что остальные науки во времена Хатчесона были еще недостаточно развиты по сравнению с математикой. Дело в том, что математика во все времена была и остается "первой красавицей" среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике. Чуть позже мы попытаемся обосновать эту мысль.

Хатчесон оказал заметное влияние на формирование эстетических взглядов последующих философов: Давида Юма (1711 - 1776), Адама Смита (1723-1790). Мысль Хатчесона о красоте единства в многообразии мы находим и в трудах родоначальника немецкой классической философии, "кенигсбергского затворника"^* Иммануила Канта. В книге "Естественная история и теория неба" Кант признается в том, что космогонические проблемы для него являются не только предметом научных исследований, но и источником светлой радости. Многие строки этой книги представляют собой непревзойденные образцы вдохновенных научных стихотворений в прозе, вечный и немеркнущий сплав логики науки и поэзии искусства.

^* (Кант безвыездно прожил всю свою долгую жизнь в родном Кенигсберге (ныне г. Калининград), учился в Кенигсбергском университете, затем стал его профессором, читал в нем только курсы философии, эстетики, истории, филологии, но и математики, физики, астрономии, космогонии и даже Фортификации. Всю свою жизнь этот "всеобъемлющий гений" посвятил науке, отказавшись от личной жизни и даже поездок в другие города.)

Но перенесемся из XVIII века в век XX. В 1931 г. в Москве вышла в свет небольшая книга драматурга и искусствоведа В. М. Волькенштейна "Опыт современной эстетики". Авторское введение прекрасно рисует дух того времени: "...автор ищет прежде всего определение той новой красоты, которая характеризует нашу бурную эпоху... Эта новая красота перед нами в еще невиданных произведениях искусств, в удивительных изобретениях техники, в новых методах мышления..." Последнее для нас является самым главным. Впрочем, это было отмечено и в предисловии первого наркома просвещения, писателя, искусствоведа, академика А. В. Луначарского (1875-1933), которым открывалась книга: "Само оглавление книги показывает, что Волькенштейн стремится распространить понятия эстетического на область мышления, считая возможным оценивать с эстетической точки зрения понятия: математические, физические, шахматную игру, всякое научное построение или формулу. Не подлежит сомнению, что это так. Беспрестанно у самих ученых... с уст срываются замечания: красивая теория, изящное разрешение затруднений и т. д. и т. д. Восхищение перед силой человеческого ума есть, конечно, глубоко эстетическое явление, своеобразное, но ничем радикально не различающееся от восхищения перед физической ловкостью человека, перед красотою здания и т. д.".

Вселенная своей неизмеримой громадностью, безграничным разнообразием и красотой, которые сияют в ней со всех сторон, повергает дух в немое удивление.

Две вещи наполняют душу всегда новым и все более сильным удивлением и благоговением...- это звездное небо надо мной и моральный закон во мне.

Математика: прекрасное в науке

Итак, стремясь дать новое определение прекрасного, Волькенштейн пытается найти признаки красоты в науке: математике, физике, химии. Эти признаки, по Волькенштейну, таковы: 1) эстетическое впечатление "возникает только в связи с целесообразным, сложным (трудным) преодолением"; 2) "красиво сведение сложности к простоте"; 3) "всякое математическое оформление научных достижений, если оно наглядно и гармонично, вызывает эстетическое впечатление".

Легко видеть, что формула "красота есть целесообразное, трудное преодоление" перекликается с формулой Хатчесона "красота есть обретение неочевидной истины". Да, Природа прячет свои законы в сокровенных тайниках и открываются они только тому, у когс хватает сил на трудное преодоление. И как вознаграждение в конце пути ожидает ученого красота открывающейся истины. Альберт Эйнштейн (1879-1955) любил повторять, что Бог (т. е. Природа) изощрен но не злонамерен (эта надпись была сделана у Эйнштейна на камине). Изощренность Природы состоит в том что она ловко скрывает от человека свои законы, а ю внешнее проявление выглядит поначалу как полный хаос. Не злонамеренность же Природы означает существование у нее законов и принципиальную возможность их обнаружения в конце целесообразного и трудное преодоления. Познание гармонии Природы, когда лиш нее и кажущееся отпадает, когда истина обретает вели чавую простоту и ясность, и есть высшая красота научного поиска.

Знай же, художник, что нужны во всем простота и единство.

"Красиво сведение сложности к простоте". Это принцип, видимо, является главным эстетическим принципом науки. Впрочем, вот мнение Эйнштейна: "Наш опыт убеждает нас, что Природа - это сочетание самых простых математических идей", "Бог ни за что не упустил бы возможности сделать Природу такой простой", другой выдающийся соотечественник Эйнштейна Гей-зенберг в одной из своих работ писал: "Все еще может считаться лучшим критерием корректности новых концепций старая латинская пословица "Simplex sigillum veri" ("Простота - признак истинности"), которая была выведена большими буквами в физической аудитории Геттингенского университета ".

Блестящим примером торжества простоты в науке является развитие взглядов человечества на устройство мироздания. Первой научной моделью Вселенной была геоцентрическая система великого александрийского ученого Клавдия Птолемея (II в. н. э.). Для своего времени это была красивая теория, так как она объясняла сложное и непонятное движение планет на небосводе достаточно простым образом - вращением планет вокруг Земли по основным кругам (деферентам) и вспомогательным кругам (эпициклам). Кроме того, теория Птолемея могла предсказывать положение планет на небосводе и ею с успехом пользовались мореплаватели более 1000 лет. Однако гелиоцентрическая система Николая Коперника (1473-1543) позволяла гораздо проще объяснять суть истинного Движения планет относительно неподвижных звезд, она не нуждалась в эпициклах и как более простая научная теория была более красивой^*. Законы Иоганна Кеплера (1571-1630) уточнили систему Коперника и придали ей математическую строгость, а Исаак Ньютон (1643-1727)в свою очередь показал, что законы Кеплера является логическим следствием законов механики и закона тяготения. Законы Ньютона являются вершиной красоты и простоты в научном описании Солнечной системы! А на очереди уже стоят тайны устройства Вселенной... Таким образом, эстетическая ценность науки непрерывно возрастает. Каждая новая, более простая теория воспринимается как более красивая.

^* (За многие века система Птолемея была настолько хорошо разработана, что ею продолжали пользоваться и после Коперника. Ведь система Коперника, до тех пор пока она не подверглась математической обработке и ряду уточнений,имела только мировоззренческое значение.)

Система мира по Птолемею. Иллюстрация из 'Небесного атласа' Целлариуса. Амстердам. 1708

Математика: прекрасное в науке

Согласно третьему признаку Волькенштейна, математика несет красоту в любую науку. Строго говоря, этот тезис является следствием предыдущего: красиво сведение сложности к простоте, ибо математика и есть тот инструмент науки, который позволяет, говоря словами основоположника кибернетики Норберта Винера (1894-1964), "находить порядок в хаосе, который нас окружает". Волькенштейн отмечает эту особую роль математики в науке и, следовательно, ее особую эстетическую ценность: "Математика есть область утонченной красоты. Ее формулы выражают сложные соотношение чисел в определенной форме. Поэтому они могут быть красивы, или, как говорят математики, "изящны".

Широко известно, какой эстетический восторг испытывал выдающийся немецкий физик Людвиг Больцман (1844-1906) при виде уравнений Максвелла: "Не Бог ли начертал эти письмена? " Мы позволим себе привести здесь эти уравнения без необходимых пояснений, а просто как "письмена" - красивые, но непонятные иероглифы:

Система мира по Копернику. Иллюстрация из 'Небесного атласа' Целлариуса. По сравнению с гелиоцентрической моделью Птолемея это была более простая и более красивая научная теория.

Математика: прекрасное в науке

Что же восхищало Больцмана в этих уравнениях? Конечно, и красота формы, которую можно оценить, не понимая сути уравнений. Действительно, сами уравнения просты по форме. Части уравнений, содержащие пары

, почти полностью равноправны, а сами уравнения почти полностью симметричны. Но главное, конечно, в красоте содержания уравнений, которая раскрывается далеко не каждому. Эта красота содержания заключается в том, что сами уравнения подсказали английскому физику, основателю классической электродинамики Джеймсу Клерку Максвеллу (1831 - 1879) идею электромагнитных волн и позволили связать воедино электричество, магнетизм и свет.

Более доступным примером красоты формы и содержания в науке, а также красоты математического оформления являются структурные формулы в химии, в особенности структурная формула бензола С₆Н₆ как основа многих формул органической химии:

Внешняя красота этой формулы видна с первого взгляда. Объясняется она прежде всего ее математическим оформлением: в основе формулы лежит правильный шестиугольник - геометрическая фигура, обладающая многими видами симметрии. Но помимо внешней красоты эта формула излучает и красоту внутреннюю. В чем она? В том, что структурная формула отражает взаимное расположение атомов в молекуле и порядок связи между ними. Таким образом, структурная формула определяет свойства вещества, объясняет внутреннее строение вещества, и в этом ее внутренняя красота, красота содержания.

А кто сегодня занимается вопросами эстетики науки? Пожалуй, пальму первенства здесь следует отдать академику А. Б. Мигдалу - физику-теоретику, основоположнику многих научных направлений в ядерной физике. Будучи человеком широких интересов, Мигдал ходит Время и на интенсивную научную и организаторскую деятельность, и на занятия альпинизмом и горными лыжами, и на поиски красоты в науке. В статье Мигдала "О красоте науки" мы читаем: "Что можно сказать о красоте науки, красоте мысленных построений, которых не нарисовать на бумаге, не высечь на камне, не переложить на музыку? Красота науки, как и искусства, определяется ощущением соразмерности и взаимосвязанности частей, образующих целое, и отражает гармонию мира".

В книге "Поиски истины", адресованной юношеству, Мигдал высказывает интереснейшую мысль о том, что "понятие красоты играет важную роль для проверки правильности результатов и для отыскания новых законов и является отражением гармонии, существующей в природе". Это, вообще, любимая мысль всех современных физиков, начиная от Альберта Эйнштейна и английского физика Поля Дирака, которому принадлежит афоризм о том, что красота является критерием истинности физической теории. Более того, красота являлась путеводной звездой в поисках истины и для Платона, и для Кеплера, к чему мы еще вернемся на страницах этой книги.

Отдавая должное признакам внешней красоты математических формул, Мигдал считает, что "гораздо важнее не внешние, а более глубокие признаки красоты результатов. Красиво, если выражение связывает в простой форме разнородные явления, если устанавливаются неожиданные связи. Одна из красивейших формул теоретической физики - это формула теории тяготения Эйнштейна, связывающая радиус кривизны пространства с плотностью материи... Требование красоты" не являясь абсолютным, играет важнейшую роль как для отыскания новых законов природы, так и для проверки полученных результатов".

Наконец, Мигдал анализирует понятие симметрии как источник красоты в физике. Следует сказать, что истинная роль симметрии в науке стала проясняться только в XX веке. В 1918 г. немецкий математик Эмми Иетер (1882-1935) доказала замечательную теорему, согласно которой каждому виду симметрии соответствует свой закон сохранения. Например, знаменитый закон сохранения энергии является следствием однородности времени, т. е. симметрии относительно сдвигов по времени. В 1963 г. американский физик-теоретик Юджин Пол Вигнер получил Нобелевскую премию по физике за исследования принципов симметрии, лежащих в основе взаимодействия элементарных частиц. Выдающаяся роль симметрии в искусстве известна давно: симметрия сопровождает искусство едва ли не с момента его зарождения. И вот в XX веке человечество убеждается в огромной роли симметрии в формировании законов природы. Таким образом, симметрия является едва ли не единственным общепризнанным критерием красоты как в науке, так и в искусстве. (Этот важный вопрос мы рассмотрим подробнее в главе 4.)

Нам остается ответить еще на один вопрос, который следует из заголовка этого параграфа: почему именно математика претендует на роль "первой красавицы" среди остальных наук?

Математика: прекрасное в науке

Конечно, проще всего было бы ответить на данный вопрос известным афоризмом "короля математиков" Карла Гаусса (1777-1855): "Математика - царица всех наук... Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, останется за ней". Однако ясно, что это не объяснение, а декларация, и, чтобы разобраться в существе дела, мы должны вновь спросить себя: что такое математика? Гораздо легче ответить на аналогичный вопрос биологу или геологу. Первый скажет, что биология - это наука о живой природе, а второй - что геология - это наука о недрах Земли. А вот у математики нет своего материального предмета исследования, его нельзя потрогать руками или увидеть глазами. Тем не менее значительная часть математических понятий и теорий родилась при изучении реальных явлений (всем известна история возникновения и развития арифметики и геометрии). Как это ни парадоксально, но именно математика в процессе своего развития лишилась материального предмета изучения, и это сделало ее всемогущественной наукой. Сегодня любой человек, даже совершенно далекий от математики, знает, что математика представляет собой могучую силу, сфера влияния которой практически не ограничена.

"Что такое математика?" - так называется книга американских математиков Р. Куранта и Г. Роббинса, которую мы рекомендуем всем, кто захочет увидеть математику во всем блеске ее красоты и могуществе ее приложений, ибо, как сказано в авторском введении, "и для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия математикой смогут дать ответ на вопрос: что такое математика?"

Тем не менее попробуем немного пофилософствовать. Известно классическое определение математики, данное Ф. Энгельсом: "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира". Это определение указывает не только на предмет математики, но и на его происхождение - реальный мир. Однако за сто лет своего интенсивного развития математика ушла далеко вперед, у нее появились новые нетрадиционные разделы, и стало ясно, что данное определение нуждается в уточнении.

Математика: прекрасное в науке

Новое определение математики предложила группа французских математиков, объединившаяся под псевдонимом Никола Бурбаки, которая определяет математику как науку о математических структурах. К великому удовольствию любителей искусства, мы должны констатировать, что история повторяется: эстетику по-новому определяют как науку об эстетическом, а математику - как науку о математических структурах! Но не надо спешить иронизировать по этому поводу. Вспомним предостережение выдающегося американского математика Рихарда Куранта (1888-1972), данное им в статье "Математика в современном мире": "На вопрос "Что такое математика?" невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений семантических предложений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы".

Определение математики, предлагаемое Бурбаки страдает еще одним важным дефектом: оно не отражает отношения математики к окружающему нас миру, еэкду тем если исходить из определения Ф. Энгельса, т. е. в вопросе об отношении математики к действительности занимать материалистические позиции, то ановится понятным, почему "книга природы написана языке математики" (Галилей). "Но совершенно неверно,- указывал Ф. Энгельс,- будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира" (т. 20, с. 37). Зародившись в реальном мире и пройдя путь абстракции и развития в самой математике, математические понятия вновь "спускаются на землю" и идут по ней в своем триумфальном шествии. Именно "земным происхождением" и объясняется поразительная эффективность математики в естествознании.

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.

Среди всех наук Математика пользуется особенным уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что ее положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.

Математика: прекрасное в науке

Вот как важно даже в такой абстрактной науке, как математика, стоять на правильных философских позициях. Несмотря на непререкаемый авторитет группы Н. Бурбаки в современном математическом мире и беспрецедентную задачу, решаемую этой группой,- попытку изложить главнейшие разделы математики на основе единого формального аксиоматического метода, некоторые философские воззрения Н. Бурбаки нельзя назвать бесспорными. Но бесспорно в этом определении математики следующее: "математическая структура" в математике, так же как и "бытие" в логике Гегеля или "прекрасное" в эстетике, является той изначальной категорией, с которой начинается восхождение от абстрактного к конкретному в математике, начинается "проникновение в составляющие элементы", о котором говорил Р. Курант.

Так что же такое математика и в чем ее особая красота? "Математика - это больше, чем наука, это язык" - так определил место математики в системе наук знаменитый датский физик Нильс Бор (1885-1962). Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики, но в этом и особая красота математики, выделяющая ее среди других наук. Ибо всякий язык красив уже сам по себе как средство общения.

В самом деле, как только любая из наук переведет свои проблемы на язык математики, так тут же к ее услугам откроется весь богатейший арсенал математики, обладающий массой универсальных методов и способный решать многие конкретные задачи. Например, сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, представитель любой науки получит в руки полный набор математических методов от качественных методов исследования дифференциальных уравнений до современных численных методов решения этих уравнений на ЭВМ.

Математика: прекрасное в науке

Но математика - это особое средство общения: она помогает найти общий язык служителям разных наук и, что еще важнее, она помогает ученому "разговаривать" с природой. Так, волны на воде, звуковые волны и радиоволны описываются на языке математики одним и тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения (см. (10.1)). Радиофизикам уже нет нужды решать волновое уравнение, которое за них решили акустики. Более того, с помощью математики здесь выявляется родство в столь разнородных на первый взгляд физических явлениях, как распространение радиоволн и волн на воде и в воздухе.

Таким образом, в математике как ни в какой другой науке находит выражение важнейший критерий научной красоты - единство в многообразии. Математика раскрывает перед человеком красоту внутренних связей, существующих в природе, и указывает на внутреннее единство мира. То, что именно в математике достигается в наивысшей форме единство в многообразии, а следовательно, и наибольшая красота в науке, отмечал в статье "Смысл и значение красоты в точных науках" В. Гейзенберг: "Понимание всего богато окрашенного многообразия явлений достигается путем осознания присущего всем явлениям объединяющего принципа форм, выражаемого на языке математики. Таким же образом устанавливается тесная взаимосвязь между тем, что воспринимается как прекрасное, и тем, что доступно пониманию лишь с помощью интеллекта ".

Язык математики - это особый язык науки. В отличие от естественного языка (русского или английского), который в основном классифицирует предметы и потому является языком качественным, язык математики прежде всего количественный. Количественный язык представляет собой дальнейшее развитие и уточнение обычного качественного языка, но он не исключает а скорее дополняет последний.

Дюрер. Меланхолия. Гравюра на меди. 1514. Во времена Возрождения меланхолический темперамент отождествляли с творческим началом. На гравюре Дюрера Меланхолия окружена атрибутами зодчества и геометрии, отчего математики любят считать этот шедевр графического искусства олицетворением творческого духа математика, а саму Меланхолию - представительницей математики в мире прекрасного

Важнейшим преимуществом количественного языка математики является краткость и точность. В этом его огромное преимущество и в этом его красота, ибо именно в математическом языке претворяется один из основных признаков красоты в науке: сведение сложности к простоте. Всем известно, что с помощью математического языка - функций, уравнений, формул - точно и кратко описываются самые разнообразные свойства и явления, происходящие в природе и обществе. Древнегреческому математику Апполонию из Перги (ок. 260 - ок. 170 гг. до н. э.) потребовалось восемь книг, чтобы описать свойства конических сечений. Между тем на языке аналитической геометрии, т. е. с помощью алгебраических формул, эти свойства доказываются на нескольких страницах. Эталоном простоты и красоты, символом современной физики стала знаменитая формула Эйнштейна

выражающая в простой и изящной математической форме глубокие физические идеи.

Математика: прекрасное в науке

Итак, математика - это не только самостоятельная наука о "математических структурах", но и язык других наук, язык единый, универсальный, точный, простой и, следовательно, "красивый. Хорошо сказал об этих качествах математики наш современник, замечательный советский математик С. Л. Соболев, в 31 год ставший академиком: "Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей".

Последнее свойство математики, о котором говорит Соболев, дающее возможность "выспрашивать" у природы ее тайны и позволяющее делать потрясающие воображение открытия "на кончике пера", ставит математику в исключительное положение среди наук. Классическим примером триумфа математики в естествознании стало открытие планеты Нептун. Его история такова. Еще в XVIII веке (вскоре после открытия планеты Уран) в ее движении астрономы обнаружили некоторые "неправильности". Тогда же было высказано предположение о том, что эти отклонения орбиты вызваны притяжением неизвестной еще планеты. Однако только к середине XIX века параметры орбиты Неизвестной планеты были вычислены независимо друг от Друга англичанином Джоном Адамсом (1819-1892) и Французом Урбеном Леверье (1811 - 1877). Результаты вычислений Адаме в сентябре 1845 г. передал в Гриничскую обсерваторию (Великобритания), а Леверье 18 сентября 1846 г. послал в Берлинскую обсерваторию.

Но если расчеты Адамса продолжали пылиться в архивах Гринвичской обсерватории, то по расчетам Леверье 23 сентября 1846 г., в первый же вечер после получения письма от Леверье, немецкий астроном Иоганн Галле (1812-1910) обнаружил неизвестную планету точно в указанном месте небосвода! Как видим, история научных открытий полна драматизма. Открытие Нептуна было величайшим триумфом математики: далекая неизвестная планета была найдена в кабинете ученого только с помощью карандаша и бумаги, т. е. с помощью математики!

Наука чистой математики в ее современных вариантах может быть представлена в качестве самого оригинального продукта человеческого духа. Другим претендентом на это звание является музыка.

Математика: прекрасное в науке

Последующие сто лет истории науки были цепью блестящих побед и предсказаний математики и в других науках. И ядерная физика, и освоение космоса немыслимы без математики! Одним из последних открытий "на кончике пера" является открытие физического эффекта Т-слоя в плазме, сделанное группой советских ученых под руководством академиков А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Правда, вместо карандаша и бумаги современные математики располагают мощными ЭВМ, но суть остается той же: математические уравнения предсказывают физические явления.

В этом удивительном свойстве математики, называемом эвристическим (от архимедовой "эврики"), заключено высшее выражение еще одного признака красоты в науке - обретение неочевидной истины. Роль математики в постижении неочевидных истин, а значит, и красота математики непревзойдены.

"Непостижимая эффективность математики в естественных науках" - так называется знаменитая статья Вигнера и так с его легкой руки называют теперь это свойство математики. "Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира". Эти слова Ю. Вигнера - взволнованный гимн математике. Правда, в них звучит и растерянность перед необъяснимой загадкой, которая, как и в случае с Н. Бурбаки, вызвана философскими заблуждениями автора.

Математика: прекрасное в науке

Большинство математиков склонны видеть "непостижимую эффективность" воей науки в глубинных связях с реальным миром. Так считает и выдающийся мериканский математик, один из создатели ЭВМ, Дж. фон Нейман (1903-1957). развитые математические идеи, отмечает Нейман, начинают жить собственной лсизнью, благодаря чему математика становится похожей на искусство. Но слова Неймана служат и предостережением некоторым "эстетам от математики", ибо отрыв от реальности делает "математику для математики", как и "искусство для искусства", чахлым декадентским течением.

Но в одном вопросе сходятся все ученые: математика является символом мудрости науки, образцом научной строгости и простоты, эталоном совершенства и красоты в науке. Вот только несколько высказываний по этому поводу.

"Математические доказательства, как алмазы, тверды и прозрачны и поддаются лишь самой строгой логике". Джон Локк (1632-1704), английский философ.

"Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта,- совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике". Годфри Харди (1877-1947), английский математик.

"Но ведь мы определенно носим в себе ощущение математической красоты, гармонии чисел и формы, геометрического изящества. Все эти чувства - настоящие эстетические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим математикам". Анри Пуанкаре, французский математик.

"В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очертанных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее". Н. Е. Жуковский (1847-1921), русский математик, механик, основоположник современой гидроаэродинамики, "отец русской авиации".

"Холодные числа, внешне сухие формулы математи-и полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли". А. Д. Александров, советский математик, академик.

Математические доказательства, как алмазы, тверды и прозрачны...

"Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики". Андре Вей ль, французский математик.

"Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись - радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей". Морис Клайн, американский математик.

Лучше не скажешь! Однако возникает новый вопрос. Если наука, а тем более математика так богаты собственной немеркнущей красотой, то почему многие крупнейшие ученые, как никто знающие толк в эстетике науки, едва только речь заходит о прекрасном, непременно обращаются именно к искусству, словно к пещере Алладина, где собраны все сокровища культуры, где хранятся вечные и недосягаемые образцы эстетических ценностей человечества? Таким образом, мы подходим к интереснейшей и захватывающей проблеме, проблеме взаимодействия науки и искусства, которую мы и рассмотрим далее.