10. Математика и другие вопросы естествознания

Ограничившись только рассказом об Эйлере-математике, мы не могли бы полностью представить себе Эйлера-ученого.

На протяжении всей своей научной деятельности - а это значит на протяжении всей сознательной жизни - он живо интересовался и многими другими областями человеческих знаний. Его пытливый ум не мог оставить без внимания множество загадок, волновавших ученых того времени. И пусть для благодарных потомков Эйлер в первую очередь великий математик, однако его вклад в другие науки, в частности в механику, менее известен, но также весьма весом.

Время, когда жил и работал Эйлер, можно назвать золотым веком физики. Именно тогда завершалась первая великая научная революция, положившая начало современной науке. Многие ученые и естествоиспытатели с энтузиазмом возводили здание, фундамент которого был заложен Николаем Коперником, Джордано Бруно, Галилео Галилеем, Рене Декартом, Исааком Ньютоном и другими корифеями. Одним из крупнейших корпусов этого здания науки была физика (или, как ее называли в те времена, натурфилософия).

Известно, что в средние века наука почти полностью находилась в руках церкви; господствовали освященные церковью представления о принципиальном различии законов, управляющих явлениями на "грешной" Земле и на "божественных" небесах.

Общепризнанная тогда геоцентрическая система Птолемея легко согласовывалась с религиозными представлениями о мире. Представления о закономерностях движения тел средневековые ученые целиком заимствовали у древнегреческого философа Аристотеля (IV в. до н.э.). Согласно этим представлениям, существуют два вида движения земных тел: естественное и насильственное. Естественное движение происходит само по себе (скажем, движение дыма - вверх, движение камня - вниз и т. п.). Насильственное же движение, в том числе и равномерное прямолинейное, происходит только при наличии внешних причин (т. е. внешних сил), постоянно его поддерживающих (телегу тянет лошадь, мельничное колесо вращает вода и т. п.).

Требовалась смелость и для того, чтобы отказаться от образа мыслей большинства "благоразумных" людей, искренне веривших в "оккультные"^* качества тел, имевших "божественное" происхождение - и на этом основании не подлежавших научному исследованию.

^* (Т. е. сверхъестественные, мистические.)

Для полноты картины остается еще добавить пренебрежение научным экспериментом, характерное для средневековой науки. Неудивительно поэтому, что такая наука оказалась совершенно беспомощной во многих технических и теоретических задачах, решения которых требовало бурное развитие ремесел, торговли, мореплавания, военного дела - иными словами, решения которых требовала сама жизнь. Но "если у общества появляется техническая потребность, она продвигает науку больше, чем десяток университетов",- писал Энгельс.

Бурное развитие промышленности, торговли, и мореплавания нуждалось в науке, изучавшей свойства физических тел и формы проявления сил природы. И ..."наука восстала против церкви... Буржуазия нуждалась в науке и приняла участие в этом восстании" (Энгельс).

Одним из пионеров - творцов новой науки - был Рене Декарт (1596-1650), построивший атеистическую картину мира. Все явления природы он объяснял, не прибегая к оккультным свойствам тел, а основываясь лишь на движении материи и непосредственном - "контактном" - взаимодействии частиц. Декарт впервые в истории науки дал формулировку закона инерции, сформулировал закон сохранения движения во вселенной. Он ясно показал ценность своего способа изучения явлений природы - с помощью научных гипотез.

Гипотезой называется предположение, способное объяснить известные в данное время свойства или явления в соответствии с данными науки и основами научного мировоззрения. Дальнейшее развитие науки дополняет гипотезу новыми фактами, которые либо вновь и вновь подтверждают гипотезу - и тогда она становится общепризнанной теорией,- либо опровергают ее - и тогда на смену выдвигается новая гипотеза.

Несмотря на ряд сомнительных, а порой и просто ошибочных идей (только теперь мы узнали, что они были ошибочными), учение Декарта благодаря своим несомненным преимуществам завоевало множество сторонников и последователей - и вылилось в целое научное направление - картезианскую^* механику.

^* (Свое название - "картезианцы" - последователи Декарта получили в соответствии с латинским написанием фамилии Декарта - "Картезиус".)

Еще большую роль в развитии механики сыграли работы великого англичанина Исаака Ньютона (1643-1727). Основываясь на экспериментально обнаруженных свойствах тел (инертность, протяженность, непроницаемость и т.д.), а также на трех аксиомах движения (три закона Ньютона), Ньютон сумел количественно описать закономерности движения тел, обосновать открытый им закон всемирного тяготения. Используя свой метод построения теории из экспериментальных данных, Ньютон описал количественно и многие световые явления. В отличие от Декарта, Ньютон считал эксперимент единственным источником познания.

Между последователями ньютонианской и картезианской физических систем разгорелся знаменитый спор, который во многом определил дальнейшее развитие естественных наук^*.

^* (В начале книги уже говорилось, что магистерская диссертация 17-летнего Эйлера как раз и была посвящена сравнению натурфилософии Декарта и Ньютона.)

Картезианцы считали, что путем логических рассуждений все явления природы можно объяснить, основываясь на нескольких очевидных "первичных"" свойствах. Ньютонианцы же оперировали только экспериментально установленными свойствами, нисколько не заботясь об их "первичности" или "вторичности". И поистине, это был спор, рождавший истину: ведь доказательства принимались только строго научные, обоснованные, много раз перепроверенные.

Эйлера как математика не могли не привлекать попытки картезианцев построить ясную картину мира путем логических рассуждений, опираясь лишь на несколько основополагающих принципов. С другой стороны, много занимаясь прикладными вопросами, Эйлер понимал ценность экспериментального обоснования физических законов.

Однако как естествоиспытатель Эйлер был не столь удачлив. Пока речь идет о выводе математических следствий из физических законов, будь то в небесной механике или в геометрической оптике - он вне досягаемости. Когда же Эйлер пытается высказать собственные гипотезы для объяснения недостаточно исследованных явлений природы, то сразу же проявляется слабость его рационалистического мировоззрения.

Эйлер был убежден, что мир создан и упорядочен добрым богом по наилучшим естественным законам. Он занимался наукой с непосредственностью, которая соответствовала своему времени и исходила лишь из внутренней религиозности. Задолго до ныне известных достижений науки он верил, что именно богом поставлена перед человеком задача: путем изучения этих "наилучших" законов способствовать их познанию и применению. Однако познание должно предшествовать применению, а не наоборот.

Великая книга природы открыта для нас, считал Эйлер. Но бог написал ее на таком языке, научиться читать на котором можно лишь путем прилежания, любви и страданий. Язык этот - математика. Книга природы - это скорее не юридический кодекс, а учебник, содержащий не только установленные богом законы, но и поставленные им вопросы. Первым шагом изучающего этот язык является чтение, изучение, и лишь после глубокого изучения он сможет бегло говорить на этом языке и отвечать на поставленные вопросы. Затем следует самая трудная часть науки: решать эти математически сформулированные задачи. При разъяснениях и ответах на поставленные богом вопросы человек в конце концов находит наилучшие возможности, вытекающие из установленных в этом мире законов. Таковым было восприятие мира не только Эйлером, но и многими учеными XVIII в.

Всю физику, все физические явления Эйлер пытается свести к взаимодействию и соударению атомов - единственному, что, по его мнению, является действенным в мире физических тел. Материя, по мнению Эйлера, обладает четырьмя свойствами: протяженностью, непроницаемостью, подвижностью и инерцией. Из этих основных принципов он чисто формальным путем выводит законы соударений, гравитацию и все другие явления.

Эйлер даже не подозревал, что воображаемая "действенность" атомов является лишь теоретическим допущением; что законы соударений не более постижимы, чем, скажем, гравитация. Но все это давно уже осознали философы, вроде Д'Аламбера или даже Мопертюи. Эйлер же оказался весьма наивным в отношении познаваемости явлений природы и их законов.

"Смешно утверждать, как это делают иные философы, что существо тел неизвестно нам",- заверяет он принцессу в одном из своих "Писем". А в другом месте Эйлер обещает:

"Я надеюсь убедить Ваше высочество, что не остается ни одного электрического явления, разъяснение которого составит такие серьезные трудности".

В 1743 г. Эйлер пишет Фридриху, что ему удалось открыть первопричину магнетизма, которая разъясняет все наблюдаемые явления. Однако позднее Эйлер вынужден был признать, что ошибся. Подобных ошибочных заявлений и утверждений в области физики у Эйлера было немало.

Однако в области механики, где Эйлер мог применить аналитический метод исследования, ему удалось получить результаты колоссальной важности, сыгравшие первостепенную роль в дальнейшем развитии науки.

В предисловии к двухтомному капитальному труду "Механика, или наука о движении, изложенная аналитическим методом" (Петербург, 1736) Эйлер пишет:

"Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину,- тем, которые являются твердыми, не позволяющими менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнять свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел..."

Под механикой Эйлер понимал науку о движении - в отличие от статики, науки о равновесии сил.

Уже в названии работы - и, разумеется, в содержании - есть существенное отличие работы Эйлера от всех предыдущих руководств по механике: Эйлер излагает механику аналитическим путем, широко применяя недавно появившийся математический анализ.

"Если анализ где-либо и необходим,- пишет Эйлер,- так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом".

И действительно: переработав синтетические рассуждения в аналитические, уяснив суть вопроса, Эйлер переходит к аналитическому исследованию новых задач - а это, в свою очередь, приводит его к открытию принципиально новых методов как в механике, так и собственно в анализе.

Первый том "Механики" содержит учение о свободном движении материальной точки. Сюда входят свободное падение, движение в однородной среде с сопротивлением, пропорциональным какой-либо степени скорости, плоское движение в пустоте, а также движение под действием центральной силы, криволинейное движение в сопротивляющейся среде.

Второй том рассматривает несвободное движение точки. Движение в пространстве изучается путем разложения действующих сил по трем взаимно перпендикулярным направлениям - по касательной к направлению движения, по главной нормали и по бинормали. Это позволяет Эйлеру составить три уравнения движения - уравнения, которые оказались основой всех исследований многих ученых вплоть до наших дней.

"Механика" сразу привлекла к себе внимание ученого мира. Уже в ноябре 1737 г. восторженную оценку этой работе дает в письме к Эйлеру И. Бернулли. Вскоре появились и другие весьма лестные отзывы в печати.

Программа, сформулированная Эйлером в предисловии, рассчитана на многолетние исследования. Живя в Берлине (1741-1766), Эйлер написал ряд работ по механике в осуществление этой программы; это были работы по собственно механике, по небесной механике, по теории движения твердого тела, по гидромеханике.

Основанные на законе всемирного тяготения расчеты французского ученого А. К. Клеро давали явно ошибочные результаты обращения апогея лунной орбиты - результаты, резко расходившиеся с наблюдениями. Значит, закон всемирного тяготения неверен?- такие сомнения возникали у многих, в том числе и у Клеро, и у Эйлера. Но в 1749 г. Клеро обнаружил ошибку в своих расчетах - и сообщил о ней в письме к Эйлеру. Тогда Эйлер порекомендовал Петербургской Академии объявить конкурс на тему: "Согласуются или нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона? И какова истинная теория этих неравенств, которая позволила бы точно определить местоположение Луны для любого времени?"

Конкурс был объявлен, и Клеро представил работу "Теория Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояний". Эйлер как член жюри дал блестящий отзыв - и Клеро присудили объявленную премию.

Однако Эйлер не успокоился. Он дополнительно исследовал проблему своим собственным методом и в 1753 г. опубликовал в Берлине "Теорию движения Луны, выявляющую все ее неравенства". Так Клеро и Эйлер подтвердили справедливость закона всемирного тяготения, открытого еще Ньютоном.

Работа Эйлера оказалась полезной и для решения практических проблем. Именно по методу Эйлера немецкий астроном Т. Майер составил таблицы наблюдаемых движений Луны, которые вскоре вошли в справочники для определения географической долготы в открытом море. А когда английский парламент выдал премию, назначенную за способ определения долготы, часть этой премии была присуждена Эйлеру, на основе формул которого Майер составил свои таблицы.

Большой "Трактат о движении твердых тел" был опубликован в 1765 г. В предисловии к нему Эйлер повторяет основные факты из своей "Механики", вышедшей почти на 30 лет раньше. В "Трактате" уже достаточно подробно рассмотрены вопросы вращения твердого тела, использованы знаменитые "углы Эйлера", изучены свойства момента инерции и вычислены моменты инерции многих часто встречающихся тел. Кроме того, в "Трактате", разработана и самая динамика твердого тела.

Серьезные трудности представляло исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Это движение можно математически описать системой из шести дифференциальных уравнений, в левых частях которых - производные по времени от искомых функций движения, а в правых - квадратичные выражения от тех же функций. Решить такую систему в общем виде оказалось невозможным.

Эйлер рассмотрел частный, но нередко встречающийся на практике случай, ког?а тело произвольной формы закреплено в центре тяжести,- и нашел возможность интегрирования уравнений, то есть отыскания неизвестных функций движения тела для этого случая.

Отметим еще, что исследование другого частного случая - когда центр тяжести тела находится на оси вращения, а само тело обладает некоторой симметрией - удалось вскоре Лагранжу. В каждом из этих случаев систему удается проинтегрировать с помощью так называемых эллиптических функций. Наконец, третий случай интегрируемости был найден лишь в 1888 г. С. В. Ковалевской. А позднее было доказано, что никаких других случаев, которые могут быть исследованы в общем виде, не существует.

Наконец, в последних главах "Трактата" Эйлер рассматривает приложения созданной им теории к движению небесных тел и к движению волчка (гироскопа).

Первоначально полученные Эйлером общие уравнения верно объясняли все аспекты движения гироскопа. Но сам Эйлер удовлетворен не был: они казались ему слишком громоздкими, недостаточно изящными, не соответствовали, по его мнению, ясному и простому "языку природы". И Эйлер не успокаивается, пока ему не удается найти более изящную, более логичную форму записи этих уравнений.

Начиная с 1765 г. Эйлер исследует понятие инерции, в том числе инерции вращательного движения. Он получает важный результат: доказывает, что всякое несимметричное твердое тело имеет три постоянных оси, вокруг которых оно может вращаться достаточно длительное время.

Серия работ Эйлера по теории корабля начинается написанным еще в Базеле мемуаром о наилучшем расположении мачт, получившим почетный отзыв Парижской Академии (1726 г.).

В результате деятельности Петра I, "прорубившего окно в Европу", Россия стала могущественной морской державой. Понятно, что проблемы кораблестроения и кораблевождения играли важную роль в XVIII в. - и, разумеется, были в центре внимания Петербургской Академии наук. По поручению Академии Эйлер подготовил двухтомную "Морскую науку" (правда, издана она была лишь в 1749 г.). В первом томе подробно изложена общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором исследуются проблемы конструкции и правильной нагрузки корабля. В 1759 г. Эйлер представляет на конкурс Парижской Академии сочинение "Исследование усилий, которые должны выносить все части корабля во время боковой и килевой качки". Впоследствии, уже вернувшись в Петербург, Эйлер подготовил по всем этим вопросам сокращенное практическое руководство, которое в 1773 г. было издано на французском языке и предназначено для мореходных школ Франции; в 1778 г. оно вышло на русском языке под названием "Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации"; тогда же были осуществлены английское и итальянское издания.

Знакомясь с работами Эйлера в области механики и считая механику частью физики, можно подумать, что Эйлер был не только великим математиком, но и великим физиком. Но если присмотреться к методам исследований Эйлера в области механики, то нетрудно заметить, что почти все они представляют собой математическую постановку и математическое решение конкретных проблем - будь то проблемы, возникшие в механике, в астрономии или в инженерных дисциплинах. Поэтому механика Эйлера - это математическая механика или, иначе, применение математики к решению проблем механики, а вовсе не особая наука, существенно отличная от математики. И, разумеется, достижения Эйлера в области механики являются триумфом его математического метода мышления.