Введение

При постановке задач оптимального перспективного планирования возникает известная проблема выбора межотраслевых пропорций на конец планового периода (назначаемых в виде целевой функции или фиксированных плановых заданий). Пусть оптимальный перспективный Т-летний план определяется как траектория (т.е. последовательность векторов выпуска в каждый год планового периода) длины Т, максимизирующая некоторую функцию, зависящую от выпуска в последний год, при фиксированном векторе начального состояния и технологических ограничениях^*. Ясно, что планы, получаемые на последние годы планового периода, существенным образом зависят от выбора целевой функции и тем самым могут, вообще говоря, быть неоптимальными с точки зрения дальнейшее развития, т.е. несогласованными с планами последующего периода. Точнее, план на 2Т-летний период, получаемый стыковкой двух последовательных оптимальных Т-летних планов, вообще говоря, сам не будет оптимальным. Поэтому для обоснованного определения плановых заданий на некоторый момент времени необходимо принимать в расчет экономические возможности и цели на последующую перспективу (послеплановый период). В свою очередь, при выборе целей развития для указанного послепланового периода необходим учет еще более далекой перспективы и т.д. На этом требовании основан известный в теории и практике перспективного планирования и прогнозирования принцип скользящего планирования (см. /8, с. 59/, /9, с. 43/, /26, с. 208-209/), согласно которому принятие текущего краткосрочного плана осуществляется в рамках регулярной корректировки долгосрочного плана со сдвигом вперед его временного горизонта. Скользящее планирование состоит формально в следующем: в конце каждого года (или более длительного периода), исходя из достигнутого состояния, заново рассчитывается оптимальная траектория, причем горизонт планирования Т (назовем его горизонтом скольжения) остается постоянным, а в критерий оптимизации могут на каждой итерации вноситься изменения. Рассчитанным Т-летним планом руководствуются в течение первого года, а затем осуществляется новая итерация перспективных расчетов. Заметим, что такая схема планирования хорошо вписывается в естественную ситуацию, когда горизонт прогнозирования будущих технологических возможностей ограничен некоторым числом лет (Т), и отвечает требованию учета при принятии плановых решений послеплановой перспективы (согласно описанной схеме, план на некоторый год окончательно принимается, если к моменту его составления имелся достоверный прогноз динамики технологических параметров на достаточно длинный последующий период)^**.

^* (Понятиям, используемым во введении, далее будут даны точные определения.)

^** (Здесь мы ограничиваемся рассмотрением детерминированной постановки задачи планирования. На самом же деле, поскольку никакая прогнозная информация не является абсолютно достоверной (так что ее можно считать стохастической), то скользящее планирование как более общий принцип обратной связи между производством и планированием предусматривает использование на каждом шаге уточненной информации обо всем отрезке планирования, поступившей в процессе функционирования объекта (такую постановку задачи см. в /34, 22/). Сфера применимости метода скользящего планирования, разумеется, не исчерпывается задачами макроуровня. Исследованию его свойств в моделях оперативного управления производством посвящены статьи /2, 18, 19/.)

Поскольку скользящий план "склеен" из начальных участков оптимальных траекторий, то можно надеяться, что влияние на него произвола при выборе целевых функций (терминальных условий), используемых при построении этих траекторий, относительно невелико. Это позволяет рассматривать скользящее планирование как возможный подход к решению обсуждавшейся выше проблемы динамического согласования плановых заданий. Отметим, что для достижения полного согласования, вообще говоря, потребовался бы учет бесконечной перспективы, т.е. решение задачи оптимального планирования на бесконечном интервале времени. Результат точного решения такой задачи, называемый бесконечной оптимальной траекторией, являясь, разумеется, чисто абстрактным объектом, служит удобным эталоном при рассмотрении динамических планов. В частности, проблему обеспечения согласованности динамических планов можно сформулировать как задачу приближенного вычисления бесконечной оптимальной траектории. Известно, что если технологические параметры постоянны во времени, то в ряде случаев, решив экстремальную задачу относительно небольшой размерности, можно найти стационарное состояние (так наз. луч сбалансированного роста, или магистраль). Из теорем о магистрали (см. /10-12/) следует, что траектория, осуществляющая выход из начального состояния за конечный промежуток времени на указанный луч и дальнейшее движение по нему с максимальным темпом, аппроксимирует бесконечную оптимальную траекторию. Однако в реальной ситуации, когда происходят технологические изменения, этот метод не применим, и следует обратиться к итеративным процедурам, какой и является скользящее планирование.

Предположение о приближенной оптимальности скользящего планирования подтверждается результатами ряда работ, где оно изучается с помощью математических моделей. Переходя к их обсуждению, прежде всего следует отметить, что интерес представляют универсальные свойства рассматриваемой процедуры, т.е. присущие любой строящейся с ее помощью траектории. Очевидно, что если существует бесконечная оптимальная траектория, то существует и оптимальный (совпадающий с ней) скользящий план, однако задача его нахождения эквивалентна вычислению самой бесконечной оптимальной траектории. В /30/ рассмотрена такая исключительная ситуация, когда учет динамики технологических параметров и целевых функций на ближайший период, ограниченный некоторым горизонтом Т, позволяет принимать текущие решения, оптимальные и с точки зрения более отдаленной перспективы. Ясно, что в этом случае скользящее планирование с горизонтом не менее Т гарантирует оптимальность развития на бесконечном интервале времени. На аналогичный факт указано в /5/.

В /24/ траектории скользящего планирования изучаются в рамках неоклассической модели оптимального экономического роста с непрерывным временем. Рассматриваются две стратегии назначения терминальных условий (в виде ограничения снизу на величину фондовооруженности труда в конце периода планирования). Доказано, что если величина терминальной фондовооруженности к остается постоянной от итерации к итерации, то скользящее планирование в пределе приводит к некоторой (вообще говоря, неоптимальной) траектории сбалансированного роста, параметры которой зависят от использовавшейся величины к . Если же на каждой итерации ставится условие, чтобы к концу периода планирования фондовооруженность была не меньшей, чем в текущий момент - к_t+T ≥ к_T, где t - текущий (для данной итерации) момент, Т - горизонт скольжения, - то траектории скользящего планирования стремится к траектории оптимального сбалансированного роста (магистрали), а тем самым и к бесконечной оптимальной траектории. В /1/ для модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов при условии ее так наз. примитивности доказывается существование траекторий скользящего планирования, лежащих вблизи неймановского луча - магистрали. Кроме того- приведен пример траектории скользящего планирования, целиком лежащей на некотором луче сбалансированного роста, близком к неймановскому, но не совпадающем с ним. В /6/ для модели Неймана-Гейла (охватывающей, в частности, случай, рассмотренный в /1/) доказано, что в условиях теоремы о магистрали в сильной форме всякий скользящий план, построенный с использованием достаточно большого горизонта скольжения, лежит, начиная с некоторого 10 момента, в малой окрестности магистрали. Во всех трех названных работах предполагается, что технология не меняется во времени. Однако, как отмечалось выше, наибольшее значение имеет выяснение свойств процедуры скользящего планирования при наличии технологических изменений. В /13/^*, где рассматривается модель равновесного экономического роста, изменение технологий допускается в пределах равномерных ограничений, и кроме того, предполагается, что технологические множества удовлетворяют равномерному условию строгой выпуклости. Траектория скользящего планирования строится в результате последовательных пересчетов траекторий равновесного роста с фиксированным конечным плановым горизонтом и нулевыми терминальными условиями (заданиями на объем производственного накопления в последний момент планового периода). Доказано, что при достаточно большом горизонте скольжения скользящее планирование обеспечивает движение системы вблизи траектории, описывающей оптимальное равновесное развитие на бесконечном интервале времени.

^* (С результатами этой работы автор был знаком до написания /6/.)

Уместно также упомянуть работы /31/ и /29/, где в рамках модели Неймана-Леонтьева с изменяющейся матрицей технологических коэффициентов рассматривается проблема определения длины периода планирования, достаточной для принятия плановых решений, позволяющих, в случае заблаговременной их корректировки (за определенное число лет до истечения достоверного прогноза технологий), достигнуть значений целевых показателей, близких к оптимальным. Однако, при скользящем планировании такие корректировки производятся многократно, и возникает вопрос, не происходит ли при этом накопления ошибок, приводящего к существенному отклонению от оптимума. Решение именно этой проблемы составляет основное содержание доказательства утверждений о приближенной оптимальности траекторий скользящего планирования.

Основной целью данной работы является продолжение исследований по обоснованию эффективности процедур скользящего планирования в случае изменяющейся технологии. Здесь рассматриваются получившие большое распространение динамические межотраслевые модели неймановского и леонтьевского типов. Среди множества таких моделей можно выделить два важных класса, различающиеся по форме представления технологических ограничений:

1. Технологические множества (объединяющие допустимые технологические процессы) являются строго выпуклыми конусами. Конусность следует из предположения о линейной зависимости объема выпуска от объема производственных затрат, свойство же строгой выпуклости можно интерпретировать как явление "внешней экономии", при котором одновременное использование различных технологических процессов приводит к повышению совокупной эффективности.
2. Технологические ограничения заданы в виде линейных неравенств с использованием матриц технологических коэффициентов, что соответствует классической модели Неймана (здесь для простоты рассматривается известный частный случай - модель леонтьевского типа). Заметим, что в моделях этого класса 12 технологические множества являются многогранными выпуклыми конусами.

Как известно, матричные динамические модели нашли широкое применение в практике планирования и прогнозирования, однако и модели, относящиеся к первому классу,, представляют не только теоретический интерес, так как к ним можно свести некоторые модели (с дискретным временем), использующие производственные функции - см., например, /14, 15/.

Моделям первого класса посвящен § 1, второго - § 2. Содержание излагаемых результатов состоит в основном в утверждении, что любая траектория скользящего планирования является близкой (в смысле межотраслевых пропорций) к бесконечной оптимальной, причем указанная близость, вообще говоря, тем теснее, чем больше горизонт скольжения. Используемые в доказательствах предположения различны для названных классов моделей. В первом случае, подобно /13/, предполагается, что условие строгой выпуклости выполняется в некотором смысле равномерно для всей последовательности технологических множеств. Во втором - что технологические матрицы примитивны, и притом также равномерно.

Сущность этих условий сводится к обеспечению слабой чувствительности начальных участков оптимальных траекторий по отношению к изменению терминальных условий и длины периода планирования, если последняя достаточно велика (это свойство оптимальных траекторий весьма типично для многих динамических моделей экономики - см. /21, 25, 33/). Эти допущения являются достаточными и для свойства сильной магистрально оптимальных траекторий в соответствующих моделях, т.е. их слабой чувствительности во все моменты, кроме фиксированного их числа в начале и конце периода планирования, по отношению к изменению начальных и терминальных условий^*.

^* (В /6/ для модели Неймана-Гейла с постоянной технологией приближенная оптимальность скользящего планирования доказывается непосредственно при условии сильной магистральности.)

Следует отметить, что в большинстве названных результатов речь идет лишь о некотором приближении скользящих планов (при фиксированном горизонте скольжения) к бесконечной оптимальной траектории, т.е. попадание в ее малую окрестность. Приводившиеся выше примеры из /1, 24/ показывают, что некоторые скользящие планы могут отклоняться в пределах этой окрестности от бесконечной оптимальной траектории и тем самым не достигать максимальных темпов роста. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения такого специального алгоритма скользящего планирования, который позволял бы строить траектории, сходящиеся к бесконечной оптимальной. В упоминавшемся результате из /24/ сходимость скользящего плана к оптимальной траектории сбалансированного роста в неоклассической модели обеспечивалась с помощью специальной стратегии назначения терминальных условий. В § 3 аналогичная стратегия применяется при построении траекторий скользящего планирования в модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов: на каждом шаге t решается задача максимизации выпуска в конечный момент t + T при фиксированных пропорциях, соответствующих состоянию в текущий момент t, т.е. используется полученная на предыдущем шаге информация. Доказывается сходимость строящихся таким образом скользящих планов к магистрали - траектории максимального сбалансированного роста. Однако в общем случае без дополнительных предположений, исключающих непредсказуемые скачкообразные технологические изменения, ответить на поставленный вопрос следует, по-видимому, отрицательно.

Сводка результатов § 1 была ранее опубликована в /27/, § 3 воспроизводит статью /7/.

Автор благодарит В.М. Полтеровича, предложившего тему настоящего исследования, за плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе, а также М.И. Левина и редактора брошюры И.Ф. Петерсена за полезные замечания.